2.5 简单的幂函数 学案1（含答案）
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2.5 简单的幂函数
学案
问题导学
一、幂函数的概念及应用
活动与探究1
(1)下列函数中是幂函数的是__________．(只填序号)
①y＝x－2；②y＝4x2；③y＝x3－x；④y＝
(x＋3)4；
⑤y＝.
(2)若一个幂函数f(x)的图像经过点，那么f的值等于__________．
迁移与应用
1．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2－x，y＝x0中，幂函数的个数为( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．已知f(x)是幂函数，且f(2)＝8，则f的值等于__________．
(1)幂函数是一种“形式化定义”的函数，必须完全符合形式“y＝xα(α∈R)”的函数才是幂函数．其中，幂的底数是自变量，幂的指数是一个常数；幂前面的系数必须是1，且为单项式，否则不是幂函数．如果函数是以根式的形式给出的，则应先对根式进行化简整理，再对照幂函数的定义判断．
(2)由于幂函数的解析式中只含有一个参数α，因此只须一个条件就可确定幂函数的解析式．若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法，设函数为f(x)＝xα，根据条件求出α.
二、函数的奇偶性的判定
活动与探究2
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x＋；
(2)f(x)＝2－|x|；
(3)f(x)＝(x－2)2；
(4)f(x)＝.
迁移与应用
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x3－2x；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|.
1．用定义判断函数奇偶性的步骤是：
2．对于一些较复杂的函数，也可以用如下性质判断函数奇偶性：
(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
(2)奇函数的和、差仍为奇函数；
(3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
三、奇偶函数图像的应用
活动与探究3
奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，其y轴右侧的图像如图所示，则f(x)＜0的x的取值集合为__________．
迁移与应用
已知偶函数f(x)的一部分图像如图所示．
(1)请画出f(x)的另一部分图像；
(2)判断f(x)是否有最大值或最小值．
(1)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．
(2)函数奇偶性反映到图像上是图像的对称性，因而当问题涉及奇函数或偶函数的有关问题时，不妨利用图像的对称性来解决，或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律即可．
四、函数奇偶性的综合应用
活动与探究4
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．
(2)已知函数f(x)在R上是偶函数，且在(－∞，0]上是递减的，试比较f(3)与f(π)的大小．
迁移与应用
1．已知函数f(x)是[－5,5]上的偶函数，f(x)在[0,5]上具有单调性，且f(－3)＜f(－1)，则下列不等式一定成立的是( )．
A．f(－1)＜f(3)
B．f(2)＜f(3)
C．f(－3)＜f(5)
D．f(0)＞f(1)
2．函数y＝f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x－3，求函数f(x)的解析式．
1．利用函数奇偶性求函数解析式的关注点
求奇、偶函数在某个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．
2．单调性与奇偶性的关系
(1)奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的单调性相同．
(2)偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上的单调性相反．
当堂检测
1．下列函数为幂函数的是( )．
A．y＝2x3－1
B．y＝
C．y＝
D．y＝2x2
2．若函数f(x)＝3x2＋bx－1是偶函数，则b等于( )．
A．1
B．－1
C．0
D．任意实数
3．f(x)＝x3＋的图像关于( )．
A．原点对称
B．y轴对称
C．y＝x对称
D．y＝－x对称
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )．
A．－3
B．－1
C．1
D．3
5．如图给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)的值是______．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．自变量 常量 y＝xα
预习交流1 提示：并不是所有的一次函数和二次函数都是幂函数，只有其中的y＝x和y＝x2是幂函数．若y＝mxα是幂函数，则必有m＝1.
2．原点 y轴 －f(x) f(x) 奇偶性
预习交流2 (1)提示：函数f(x)的定义域一定关于原点对称．由函数奇偶性的定义知：若x在定义域内，则－x一定在定义域内．因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称．
(2)提示：由于函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又函数f(x)在0处有定义，于是f(－0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，所以f(0)＝0.
(3)提示：奇函数在关于y轴对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于y轴对称的两个区间上的单调性相反．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)根据幂函数的定义进行判断；(2)先设出f(x)的解析式，由图像经过的点的坐标确定解析式后再代入计算f的值．
(1)①⑤ (2)2 解析：(1)按照幂函数的定义可知y＝x－2是幂函数，又y＝＝x，所以函数y＝也是幂函数，其余函数均不是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，由于其图像经过点，
所以4α＝，解得α＝－2，即f(x)＝x－2，
于是f＝－2＝＝2.
迁移与应用 1．C 解析：y＝＝x－3是幂函数；y＝3x2系数是3不是1，不是幂函数；y＝x2－x有两项，不是幂函数；y＝x0是幂函数，所以幂函数的个数为2.
2．－ 解析：设f(x)＝xα，依题意得2α＝8，所以α＝3，即f(x)＝x3，故f＝3＝－.
活动与探究2 思路分析：判断函数是奇函数还是偶函数，首先判断该函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则一定是非奇非偶函数；若关于原点对称，再判断f(x)与f(－x)的关系．
解：(1)∵函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)f(x)的定义域是R，关于原点对称，f(－x)＝(－x－2)2＝(x＋2)2，
所以f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，因此函数f(x)是非奇非偶函数．
(4)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，显然不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
迁移与应用 1．解：(1)函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，所以f
(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)函数的定义域为R，
f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)函数的定义域为R，
f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(4)函数的定义域为R.
f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
活动与探究3 思路分析：奇函数的图像关于原点对称，据此可作出f(x)在[－5,0)上的图像，然后找出图像位于x轴下方的部分即得x的取值集合．
{x|－2＜x＜0或2＜x＜5} 解析：奇函数f(x)在[－5,5]上的图像如图所示，由图像可知，x∈(2,5)时，f(x)＜0，x∈(0,2)时，f(x)＞0.由于图像关于原点对称，所以x∈(－5，－2)时，f(x)＞0，x∈(－2,0)时，f(x)＜0，所以使f(x)＜0的x的取值集合为{x|－2＜x＜0或2＜x＜5}．
迁移与应用 解：(1)由题意知f(x)的图像关于y轴对称，作图如下：
(2)由图像可知f(x)有最大值，无最小值．
活动与探究4 思路分析：(1)设x＞0，则－x＜0，先求出f(－x)，再由奇函数满足的关系式求得f(x)．(2)先根据函数的奇偶性和它在(－∞，0]上的单调性，得到f(x)在[0，＋∞)上的单调性，再比较f(3)与f(π)的大小．或直接根据偶函数满足的关系式，将f(3)和f(π)分别化为f(－3)、f(－π)再比较大小．
解：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
当x＞0时，－x＜0，
∴f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x)．
当x＝0时，f(0)＝0.
∴函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)方法一：∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上递减，∴f(x)在(0，＋∞)上递增．
而3＜π，所以f(3)＜f(π)．
方法二：∵f(x)是偶函数，
∴f(3)＝f(－3)，f(π)＝f(－π)．
又∵f(x)在(－∞，0]上是减少的，且－3＞－π，
∴f(－3)＜f(－π)，即f(3)＜f(π)．
迁移与应用 1．D 解析：函数f(x)是[－5,5]上的偶函数，
因此f(x)＝f(|x|)，于是f(－3)＝f(3)，
f(－1)＝f(1)，则f(3)＜f(1)．
又f
(x)在[0,5]上具有单调性，从而函数f(x)在[0,5]上是减少的，观察选择项，并注意到f(x)＝f(|x|)，只有D正确．
2．解：∵当x＜0时，－x＞0.
∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)－3＝x2＋2x－3.
∵函数f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∴当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－3.
∴f(x)＝
【当堂检测】
1．C 解析：A，B，D都是幂函数经过变化得到的函数，C中，y＝x－2是幂函数．
2．C 解析：由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立，
即3x2－bx－1＝3x2＋bx－1，因此2bx＝0，必有b＝0.
3．A 解析：∵f(－x)＝(－x)3＋＝－x3－＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称．
4．A 解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
5．－ 解析：由图像知f(2)＝.
又∵f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－.
学案
问题导学
一、幂函数的概念及应用
活动与探究1
(1)下列函数中是幂函数的是__________．(只填序号)
①y＝x－2；②y＝4x2；③y＝x3－x；④y＝
(x＋3)4；
⑤y＝.
(2)若一个幂函数f(x)的图像经过点，那么f的值等于__________．
迁移与应用
1．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2－x，y＝x0中，幂函数的个数为( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．已知f(x)是幂函数，且f(2)＝8，则f的值等于__________．
(1)幂函数是一种“形式化定义”的函数，必须完全符合形式“y＝xα(α∈R)”的函数才是幂函数．其中，幂的底数是自变量，幂的指数是一个常数；幂前面的系数必须是1，且为单项式，否则不是幂函数．如果函数是以根式的形式给出的，则应先对根式进行化简整理，再对照幂函数的定义判断．
(2)由于幂函数的解析式中只含有一个参数α，因此只须一个条件就可确定幂函数的解析式．若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法，设函数为f(x)＝xα，根据条件求出α.
二、函数的奇偶性的判定
活动与探究2
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x＋；
(2)f(x)＝2－|x|；
(3)f(x)＝(x－2)2；
(4)f(x)＝.
迁移与应用
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x3－2x；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|.
1．用定义判断函数奇偶性的步骤是：
2．对于一些较复杂的函数，也可以用如下性质判断函数奇偶性：
(1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；
(2)奇函数的和、差仍为奇函数；
(3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；
(4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．
三、奇偶函数图像的应用
活动与探究3
奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，其y轴右侧的图像如图所示，则f(x)＜0的x的取值集合为__________．
迁移与应用
已知偶函数f(x)的一部分图像如图所示．
(1)请画出f(x)的另一部分图像；
(2)判断f(x)是否有最大值或最小值．
(1)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．
(2)函数奇偶性反映到图像上是图像的对称性，因而当问题涉及奇函数或偶函数的有关问题时，不妨利用图像的对称性来解决，或者研究关于原点对称的区间上的函数值的有关规律即可．
四、函数奇偶性的综合应用
活动与探究4
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．
(2)已知函数f(x)在R上是偶函数，且在(－∞，0]上是递减的，试比较f(3)与f(π)的大小．
迁移与应用
1．已知函数f(x)是[－5,5]上的偶函数，f(x)在[0,5]上具有单调性，且f(－3)＜f(－1)，则下列不等式一定成立的是( )．
A．f(－1)＜f(3)
B．f(2)＜f(3)
C．f(－3)＜f(5)
D．f(0)＞f(1)
2．函数y＝f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x－3，求函数f(x)的解析式．
1．利用函数奇偶性求函数解析式的关注点
求奇、偶函数在某个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．
2．单调性与奇偶性的关系
(1)奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的单调性相同．
(2)偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上的单调性相反．
当堂检测
1．下列函数为幂函数的是( )．
A．y＝2x3－1
B．y＝
C．y＝
D．y＝2x2
2．若函数f(x)＝3x2＋bx－1是偶函数，则b等于( )．
A．1
B．－1
C．0
D．任意实数
3．f(x)＝x3＋的图像关于( )．
A．原点对称
B．y轴对称
C．y＝x对称
D．y＝－x对称
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )．
A．－3
B．－1
C．1
D．3
5．如图给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)的值是______．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．自变量 常量 y＝xα
预习交流1 提示：并不是所有的一次函数和二次函数都是幂函数，只有其中的y＝x和y＝x2是幂函数．若y＝mxα是幂函数，则必有m＝1.
2．原点 y轴 －f(x) f(x) 奇偶性
预习交流2 (1)提示：函数f(x)的定义域一定关于原点对称．由函数奇偶性的定义知：若x在定义域内，则－x一定在定义域内．因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称．
(2)提示：由于函数f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，又函数f(x)在0处有定义，于是f(－0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，所以f(0)＝0.
(3)提示：奇函数在关于y轴对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于y轴对称的两个区间上的单调性相反．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)根据幂函数的定义进行判断；(2)先设出f(x)的解析式，由图像经过的点的坐标确定解析式后再代入计算f的值．
(1)①⑤ (2)2 解析：(1)按照幂函数的定义可知y＝x－2是幂函数，又y＝＝x，所以函数y＝也是幂函数，其余函数均不是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，由于其图像经过点，
所以4α＝，解得α＝－2，即f(x)＝x－2，
于是f＝－2＝＝2.
迁移与应用 1．C 解析：y＝＝x－3是幂函数；y＝3x2系数是3不是1，不是幂函数；y＝x2－x有两项，不是幂函数；y＝x0是幂函数，所以幂函数的个数为2.
2．－ 解析：设f(x)＝xα，依题意得2α＝8，所以α＝3，即f(x)＝x3，故f＝3＝－.
活动与探究2 思路分析：判断函数是奇函数还是偶函数，首先判断该函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则一定是非奇非偶函数；若关于原点对称，再判断f(x)与f(－x)的关系．
解：(1)∵函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)f(x)的定义域是R，关于原点对称，f(－x)＝(－x－2)2＝(x＋2)2，
所以f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，因此函数f(x)是非奇非偶函数．
(4)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，显然不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
迁移与应用 1．解：(1)函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，所以f
(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)函数的定义域为R，
f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)函数的定义域为R，
f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(4)函数的定义域为R.
f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
活动与探究3 思路分析：奇函数的图像关于原点对称，据此可作出f(x)在[－5,0)上的图像，然后找出图像位于x轴下方的部分即得x的取值集合．
{x|－2＜x＜0或2＜x＜5} 解析：奇函数f(x)在[－5,5]上的图像如图所示，由图像可知，x∈(2,5)时，f(x)＜0，x∈(0,2)时，f(x)＞0.由于图像关于原点对称，所以x∈(－5，－2)时，f(x)＞0，x∈(－2,0)时，f(x)＜0，所以使f(x)＜0的x的取值集合为{x|－2＜x＜0或2＜x＜5}．
迁移与应用 解：(1)由题意知f(x)的图像关于y轴对称，作图如下：
(2)由图像可知f(x)有最大值，无最小值．
活动与探究4 思路分析：(1)设x＞0，则－x＜0，先求出f(－x)，再由奇函数满足的关系式求得f(x)．(2)先根据函数的奇偶性和它在(－∞，0]上的单调性，得到f(x)在[0，＋∞)上的单调性，再比较f(3)与f(π)的大小．或直接根据偶函数满足的关系式，将f(3)和f(π)分别化为f(－3)、f(－π)再比较大小．
解：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
当x＞0时，－x＜0，
∴f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x)．
当x＝0时，f(0)＝0.
∴函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)方法一：∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上递减，∴f(x)在(0，＋∞)上递增．
而3＜π，所以f(3)＜f(π)．
方法二：∵f(x)是偶函数，
∴f(3)＝f(－3)，f(π)＝f(－π)．
又∵f(x)在(－∞，0]上是减少的，且－3＞－π，
∴f(－3)＜f(－π)，即f(3)＜f(π)．
迁移与应用 1．D 解析：函数f(x)是[－5,5]上的偶函数，
因此f(x)＝f(|x|)，于是f(－3)＝f(3)，
f(－1)＝f(1)，则f(3)＜f(1)．
又f
(x)在[0,5]上具有单调性，从而函数f(x)在[0,5]上是减少的，观察选择项，并注意到f(x)＝f(|x|)，只有D正确．
2．解：∵当x＜0时，－x＞0.
∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)－3＝x2＋2x－3.
∵函数f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
∴当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－3.
∴f(x)＝
【当堂检测】
1．C 解析：A，B，D都是幂函数经过变化得到的函数，C中，y＝x－2是幂函数．
2．C 解析：由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立，
即3x2－bx－1＝3x2＋bx－1，因此2bx＝0，必有b＝0.
3．A 解析：∵f(－x)＝(－x)3＋＝－x3－＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称．
4．A 解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
5．－ 解析：由图像知f(2)＝.
又∵f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－.