2.5 简单的幂函数 学案2（含答案）

2.5
简单的幂函数
学案
[读教材·填要点]
1．幂函数的定义
如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．
[提醒]　在中学时段只要求关注α＝－1，，1，2，3，共5种幂函数的性质．
2．函数的奇偶性
(1)奇函数：
一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数f(x)中，f(x)和f(－x)的绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．
(2)偶函数：
一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数，在偶函数f(x)中，f(x)和f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．
(3)奇偶性：
当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性．
[小问题·大思维]
1．具有奇偶性的函数其定义域有何特点？
提示：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，由奇函数的定义可知f(－x)＝－f(x)，故变量x，－x均在定义域中，同理，对于偶函数，由f(－x)＝f(x)可知，－x，x也均在定义域内．
2．既是奇函数，又是偶函数的函数不存在，对吗？
提示：不对．如函数y＝0(x∈R)，其图像既关于原点对称，又关于y轴对称，所以函数y＝0(x∈R)既是奇函数又是偶函数．
3．定义在R上的奇函数f(x)，f(0)的值是多少？
提示：f(0)＝0.
[研一题]
[例1]　已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时为减函数．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)用描点法作出f(x)的图像；
(3)给出y＝f(x)的单调区间及其值域，并判断其奇偶性．
[自主解答]　(1)∵f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，解之得m＝－1或m＝2.
当m＝－1时，f(x)＝x0＝1(x≠0)，易知不符合题意．当m＝2时．f(x)＝x－3(x≠0)，易知在(0，＋∞)上为减函数．∴f(x)＝x－3(x≠0)；
(2)列表：
x
…
－2
－1
－
0
1
2
…
y
…
－
－1
－8
不存在
8
1
…
作图：
(3)由(2)可知f(x)的单调减区间为(0，＋∞)及(－∞，0)，
f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)为奇函数．
[悟一法]
(1)幂函数y＝xα要满足三个特征：
①幂xα的系数为1；
②底数只能是自变量x，指数是常数；
③项数只有一项．
只有满足这三个特征，才是幂函数．
(2)幂函数的图像可用描点法得到，其性质可由图像得到．
[通一类]
1．(1)若函数f(x)既是幂函数又是反比例函数，则f(x)＝
________．
(2)已知幂函数y＝f(x)的图像过点(2，4)，则f(－1)＝________．
解析：(1)∵f(x)为反比例函数，
∴设f(x)＝＝k·x－1(k≠0)．
又∵f(x)为幂函数，
∴k＝1，∴f(x)＝x－1.
(2)设y＝xα，把点(2，4)代入得4＝2α，∴α＝2，
∴解析式为y＝x2，∴f(－1)＝(－1)2＝1.
答案：(1)x－1　(2)1
[研一题]
[例2]　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3＋x；
(2)f(x)＝(x－1)·；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
[自主解答]　(1)∵函数的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数；
(2)∵定义域为{x|x＞1或x≤－1}，定义域不关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数；
(3)∵定义域为{－2，2}，任取x∈{－2，2}，
则－x∈{－2，2}．f(－x)＝0＝f(x)＝－f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数；
(4)法一：可知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
①设x>0，则－x<0，
f(－x)＝－(－x)2－1＝－(x2＋1)＝－f(x)，
②设x<0，则－x>0，
f(－x)＝(－x)2＋1
＝x2＋1
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
法二：作出函数f(x)的图像，如图，由图像可知，f(x)的图像关于原点对称，
∴f(x)为奇函数．
[悟一法]
判断函数的奇偶性常用的方法：
(1)定义法：若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若关于原点对称，则进一步判断f(－x)与f(x)的关系，注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论．
(2)图像法：若函数图像关于原点对称，则此函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称，则此函数为偶函数．
[通一类]
2．判断下列函数是奇函数还是偶函数．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x3－2x；
(3)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(4)f(x)＝
解：(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)＝是偶函数；
(2)定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)3－2(－x)
＝－x3＋2x＝－(x3－2x)＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数；
(3)函数的定义域为(－∞，＋∞)，
∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数；
(4)法一：可知函数f(x)的定义域关于原点对称．
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3
＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，
综上可知，f(x)为奇函数．
法二：f(x)＝
作出f(x)的图像，由图像知，函数f(x)是奇函数．
[研一题]
[例3]　已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x，
(1)求f(－2)；
(2)求出函数f(x)在R上的解析式；
(3)在坐标系中画出函数f(x)的图像．
[自主解答]　由于函数是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，因此对于任意的x都有f(－x)＝－f(x)，
而f(x)＝－f(－x)．
(1)f(－2)＝－f(2);
而f(2)＝22－2×2＝0，∴f(－2)＝0；
(2)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(0)＝0；
②当x＜0时，－x＞0，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
综上：f(x)＝
(3)图像如下图：
[悟一法]
(1)已知函数的奇偶性和其在某一区间上的解析式，利用奇偶性，可求另一关于原点对称的区间上的函数值及解析式．
(2)已知函数的奇偶性和其在某一区间上的图像、单调性，利用奇偶性可知另一关于原点对称的区间上的图像、单调性．
(3)已知函数的奇偶性，利用f(－x)与f(x)的恒等关系，可求解析式中字母的值．
[通一类]
3．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1，2a]，求a，b的值．
解：定义域应关于原点对称，故有a－1＝－2a，得a＝.
又对于所给的函数f(x)，要使其为偶函数，
需f(－x)＝f(x)恒成立，
即x2－bx＋1＋b＝x2＋bx＋1＋b，得b＝0.(或者二次函数f(x)的图像的对称轴x＝－＝0，得b＝0).
设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上是减少的，若f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围．
[错解]　由f(m)＋f(m－1)＞0，
得f(m)＞－f(m－1)，即f(1－m)＜f(m)．
又∵f(x)在[0，2]上是减少的，且f(x)在[－2，2]上是奇函数，∴f(x)在[－2，2]上是减少的．
∴1－m＞m，解得m＜.
[错因]　导致错误的原因是忽略了函数自身定义域对参数的限制．
[正解]　由f(m)＋f(m－1)＞0，
得f(m)＞－f(m－1)，即f(1－m)＜f(m)．
又∵f(x)在[0，2]上是减少的，且f(x)在[－2，2]上是奇函数，∴f(x)在[－2，2]上是减少的．
∴即
解得－1≤m＜.即实数m的取值范围是[－1，)．
1．下列函数中是幂函数的是(　　)
①y＝axm(a，m为非零常数，且a≠1)；
②y＝x＋x2；
③y＝x9；
④y＝(x－1)3.
A．①③④　　　　　　　　　
B．③
C．③④
D．全不是
解析：由幂函数的定义知③为幂函数．
答案：B
2．f(x)＝x3＋的图像关于(　　)
A．原点对称
B．y轴对称
C．y＝x对称
D．y＝－x对称
解析：∵函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
f(－x)＝(－x)3＋＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
∴其图像关于原点对称．
答案：A
3．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)
A．y＝x＋1
B．y＝－x3
C．y＝
D．y＝x|x|
解析：由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知当x>0时此函数为增函数，又该函数为奇函数．
答案：D
4．已知对于任意实数x，函数f(－x)＝－f(x)，若方程f(x)＝0有2
009个实数解，则这2
009个实数解之和为________．
解析：由奇函数的图像的对称性可知，这些解之和为0.
答案：0
5．函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上为增函数，则f(－)与f(1)的大小关系为__________．
解析：∵－1＜－，且函数y＝f(x)在(－∞，0]上为增函数，
∴f(－1)＜f(－)．
又∵y＝f(x)是偶函数，
∴f(－1)＝f(1)．∴f(1)＜f(－)．
答案：f(1)＜f(－)
6．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．
解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
当x＞0时，－x＜0，
∴f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x)．
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，
即f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
一、选择题
1．下列幂函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x－1　　　　　　　
B．y＝x
C．y＝x3
D．y＝x2
解析：由偶函数的性质f(－x)＝f(x)知，D正确．
答案：D
2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
解析：由f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数得b＝0，
∴g(x)＝ax3＋cx，(a≠0)，其定义域为R，
且g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．
答案：A
3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f()的x的取值范围是(　　)
A．(，)
B．[，)
C．(，)
D．[，)
解析：作出示意图可知：
f(2x－1)＜f() －＜2x－1＜，即＜x＜.
答案：A
4．已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则(　　)
A．f(6)＞f(7)
B．f(6)＞f(9)
C．f(7)＞f(9)
D．f(7)＞f(10)
解析：y＝f(x＋8)为偶函数，∴f(－x＋8)＝f(x＋8)，
∴y＝f(x)的对称轴为x＝8.∵f(x)在(8，＋∞)为减函数，∴由对称性知f(x)在(－∞，8)上为增函数，故由单调性及对称轴结合图像知f(7)＞f(10)．
答案：D
二、填空题
5．若点(2，)在幂函数y＝f(x)的图像上，则f()＝____________．
解析：设f(x)＝xα(α为常数)，则2α＝＝2－1，
∴α＝－1，∴f(x)＝x－1，∴f()＝()－1＝4.
答案：4
6．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝__________，g(x)＝__________．
解析：∵f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，　　　　　　①
∴f(－x)＋g(－x)＝(－x)2＋(－x)－2.
又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(x)－g(x)＝x2－x－2.　　　　　　　
　②
由①②解得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
答案：x2－2　x
7．如果y＝是奇函数，则f(x)＝________．
解析：设g(x)＝当x<0时，－x>0，
则
g(－x)＝2(－x)－3＝－(2x＋3)．
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
∴当x<0时，g(x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.
答案：2x＋3
8．已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域为[－π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图像如图所示，则不等式＜0的解集是________．
解析：作出函数y＝f(x)与y＝g(x)在[－π，π]上的图像．
由图像知，不等式＜0的解集为(－，0)∪(，π)．
答案：(－，0)∪(，π)
三、解答题
9．研究函数y＝x－2(即y＝)的奇偶性、单调性，并作出函数的图像．
解：∵y＝x－2＝，
∴函数的定义域为{x|x≠0}．
取任意的x(x≠0)，则－x≠0.
又∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴y＝x－2在定义域内是偶函数．
当任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2时，
f(x1)－f(x2)＝eq
\f(1,x)－eq
\f(1,x)
＝eq
\f(x－x,xx)
＝eq
\f(（x1＋x2）（x2－x1）,xx)，
∵0＜x1＜x2，
∴xx＞0，x1＋x2＞0，x2－x1＞0.
∴f(x1)－f(x2)＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，
即f(x)＝x－2在(0，＋∞)上为减函数．
由偶函数的性质知f(x)＝x－2在(－∞，0)上为增函数．
通过描点作图可得y＝x－2(x≠0)的图像如上图所示．
10．已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝2.
(1)求m;
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数还是减函数？并证明．
解：(1)因为f(1)＝2，所以1＋m＝2，即m＝1；
(2)由(1)知f(x)＝x＋，显然函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)＋＝－x－＝－(x＋)＝－f(x)，
所以，函数f(x)＝x＋是奇函数．
(3)函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，设x1、x2是(1，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－(x2＋)
＝x1－x2＋(－)
＝x1－x2－
＝(x1－x2)，
当1＜x1＜x2时，x1x2＞1，x1x2－1＞0，x1－x2<0，
从而f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上为增函数．