2.5 简单的幂函数 学案4（无答案）

2.5简单的幂函数
学案
知识点一
幂函数
自学导引
我们学习过几种基本初等函数如正比例函数y＝x，反比例函数y＝x－1，二次函数y＝x2.看下面两个例子：
(1)如果正方体的棱长为x，正方体的体积为y；
(2)如果正方形场地面积为x，其边长为y.
问题1：在第一个例子中，y关于x的函数关系式怎样？
问题2：在第二个例子中，y关于x的函数关系式怎样？
问题3：这两个问题中的函数关系式与y＝x，y＝x－1，y＝x2有什么共同特点？
新知自解
如果一个函数，底数是
，指数是
，
即y＝xα，这样的函数称为幂函数.
知识点二
奇函数与偶函数
自学导引
给定我们熟悉的四个函数
f(x)＝x2，f(x)＝|x|，f(x)＝x，f(x)＝.
问题1：函数f(x)＝x2与f(x)＝|x|的图像各关于什么对称？以－x代替x函数值发生变化吗？
问题2：函数f(x)＝x与f(x)＝的图像各关于什么对称？以－x代替x函数值发生变化吗？
新知自解
(1)一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，图像关于
轴对称的函数叫作偶函数．
(2)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
，那么函数f(x)一定是偶函数．
(3)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
，那么函数f(x)一定是奇函数．
1．幂函数的定义是一种形式上的定义，只有符合y＝xα这种形式的函数才是幂函数．
2．奇偶性是函数在定义域上的对称性，是相对整个定义域来说的，是函数的整体性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数．
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考点一
幂函数的概念
[例1]　下列函数中是幂函数的是(　　)
①y＝；②y＝axm(a，m为非零常数，且a≠1)；
③y＝x＋x4；④y＝xn；⑤y＝(x－6)3；⑥y＝8x2；
⑦y＝x2＋x；⑧y＝1.
A．①②③⑧　　　　　　
B．①④
C．③④⑤⑥
D．②④⑦
[思路点拨]　解答本题可先考虑幂函数的定义，紧紧抓住其形式特点再一一判断．
[一点通]　幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据之一．
题组集训
1．在函数y＝，y＝2x3，y＝x2＋1，y＝(x＋1)3中，幂函数的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知y＝(m2＋2m－2)·x＋(2n－3)是幂函数，求m，n的值．
考点二
幂函数的图像和性质
[例2]　点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图像上，当x为何值时，有①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)[思路点拨]　用待定系数法求出两个函数的解析式，再画出两个幂函数的图像，根据数形结合法写出不等式的解集．
[一点通]　
研究幂函数的性质常借助于幂函数的图像，利用图像可以较直观地分析出相应函数的性质，进而利用性质来解决相关的问题．
题组集训
3．函数y＝(x2－2x)－的定义域为(　　)
A．{x|x≠0，或x≠2}
B．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞)
D．(0,2)
4．关于x的函数y＝(x－1)α(其中α的取值可以是1,2,3，－1，)的图像恒过定点________．
考点三
函数奇偶性的判断
[例3]　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
[思路点拨]　首先要看定义域是否关于原点对称，然后通过f(－x)与f(x)的关系作出结论．对于(4)，要分别在x>0和x<0的情况下考察f(－x)与f(x)的关系．
[一点通]　
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称．
(2)若定义域不关于原点对称，函数非奇非偶．
若定义域关于原点对称，看f(－x)与f(x)及－f(x)的关系．
(3)若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数；
若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数；
若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数．
题组集训
5．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(　　)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
6．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
7．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，求f(x)的值域．
1．判断一个函数是否是幂函数应严格按其定义判断．
2．幂函数性质可以通过其图像研究，只需掌握α＝1,2,3，，－1这几种情况即可，其他的不做研究．
3．判断函数的奇偶性的方法
(1)定义法；
(2)图像法：若函数的图像关于原点对称，函数是奇函数；若函数的图像关于y轴对称，函数是偶函数．