2.5 简单的幂函数 学案7（含答案）

2.5
简单的幂函数
学案
1．了解幂函数的概念．
2．理解函数的奇偶性的含义，掌握函数的奇偶性的判断方法及应用．
1．幂函数
如果一个函数，__________是自变量x，__________是常量α，即y＝__________，这样的函数称为幂函数．
根据课程标准的要求，仅要求学习指数α＝－1，，1,2,3，共5种幂函数的性质．
【做一做1－1】
下列函数中是幂函数的是(
)．
A．y＝xx
B．y＝
C．y＝
D．y＝
【做一做1－2】
幂函数f(x)的图像过点，则f(x)＝__________.
2．奇函数
一般地，图像关于____对称的函数叫作奇函数．
函数f(x)是奇函数
对定义域内任意x，有f(－x)＝－f(x)
对定义域内任意x，有f(－x)＋f(x)＝0
f(x)的图像关于原点对称．
【做一做2】
设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(
)．
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
3．偶函数
一般地，图像关于_____________对称的函数叫作偶函数．
函数f(x)是偶函数
对定义域内任意x，有f(－x)＝f(x)
对定义域内任意x，有f(－x)－f(x)＝0
f(x)的图像关于y轴对称．
【做一做3】
若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(
)．
A．－2
B．－1
C．1
D．2
4．奇偶性
(1)定义：当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性．
(2)几何意义：定义域关于原点对称；图像关于____或____对称．
函数的奇偶性是在整个定义域上的性质，是“整体性质”，而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质，是“局部”性质．
【做一做4】
下列函数图像中能表示函数具有奇偶性的可能是(
)．
答案：1．底数　指数　xα
【做一做1－1】
D　根据幂函数的定义易得到答案．
【做一做1－2】
x－3　设幂函数的解析式为f(x)＝xα(α为常数)，则＝2α，解得α＝－3，即函数的解析式为f(x)＝x－3.
2．原点
【做一做2】
A　y＝x－1＝的定义域不是R，y＝＝的定义域不是R，y＝x1与y＝x3的定义域是R且为奇函数．
3．y轴
【做一做3】
C　令y＝f(x)，取特殊值x＝1，
则f(1)＝2(1－a)；
取特殊值x＝－1，则f(－1)＝0.
∵y＝f(x)为偶函数，
∴f
(1)＝f(－1)，即2(1－a)＝0.∴a＝1.
4．(2)原点　y轴
【做一做4】
B
1．幂函数y＝xα(α是常数)的图像的特点
剖析：(1)所有的图形都通过(1,1)点．
(2)当α大于0时，幂函数在(0，＋∞)上是增加的，而α小于0时，幂函数在(0，＋∞)上是减少的．
(3)当α＞1时，在(0，＋∞)上幂函数图像向下凸起，当0＜α＜1时，幂函数图像向上凸起．
(4)当α小于0时，α越小，图像倾斜程度越大．
(5)α大于0，函数过(0,0)点；α小于0，函数不过(0,0)点．
2．对函数奇偶性定义的理解
剖析：(1)从函数奇偶性定义来看，奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，否则此函数是非奇非偶函数．所以判断函数的奇偶性，应先看其定义域是否关于原点对称．
(2)函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言，这一点与函数单调性不同，从这个意义上说，函数单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质．
(3)函数f(x)＝c(c是常数)是偶函数，当c＝0时，该函数既是奇函数又是偶函数．
题型一判断幂函数
【例1】
在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x中，幂函数的个数为(
)．
A．0
B．1
C．2
D．3
反思：幂函数的定义要求比较严格，系数为1，底数是x，α∈R为常数．形如y＝axα(a≠1)等都不是幂函数．
题型二
判断函数的奇偶性
【例2】
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3＋x；
(2)f(x)＝(x－1)·；
(3)f(x)＝＋.
分析：利用函数奇偶性的等价关系来判断．
反思：(1)判定函数奇偶性一般不用定义判定，而利用等价关系f(－x)＝±f(x)．
(2)判断函数奇偶性分两步：①定义域是否关于原点对称；②f(－x)＝f(x)还是f(－x)＝－f(x)．
(3)如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)定义域关于原点对称，满足f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)的函数，既是奇函数，又是偶函数，如f(x)＝0，x∈R.
题型三
函数奇偶性的应用
【例3】
若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．
分析：将x＞0时的解析式转化为x＜0时的解析式求解．
反思：若函数f(x)是奇函数，f(0)有意义，则f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)＝f(－|x|)．
解决本题的关键是借助于函数的奇偶性，利用x＜0时的解析式求得x＞0时的解析式．
题型四
抽象函数的奇偶性的判断
【例4】
若函数f(x)的定义域为R，且对任意x，y，f(x)＋f(y)＝f(x＋y)恒成立，试判断f(x)的奇偶性；又若f(8)＝4，求f的值．
分析：因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y恒成立，所以可对x，y取某些特殊值．
反思：此题给出的函数无具体的解析式称之为抽象函数，要判断其奇偶性，需要充分利用所给定的条件，对变量赋值．
赋值法，也即特殊值代入法，是解决抽象函数恒成立问题的常用方法．
题型五
易错辨析
易错点
忽略分段函数的整体性致错
【例5】
判断函数f(x)＝的奇偶性．
错解：∵f(x)＝x2＋x－1既不是奇函数也不是偶函数，f(x)＝－x2＋x＋1既不是奇函数也不是偶函数，
∴f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数．
错因分析：错解忽略了分段函数的整体性，把分段函数f(x)看成了两个函数，实际上分段函数是一个函数，需要整体研究．
答案：【例1】
B　根据定义，仅有y＝是幂函数．
【例2】
解：(1)∵函数定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)∵定义域为{x|x＞1或x≤－1}，定义域关于原点不对称，
∴f(x)为非奇非偶函数．
(3)∵定义域为{－2,2}，任取x∈{－2,2}，
则－x∈{－2,2}．f(－x)＝0＝f(x)＝－f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
【例3】
解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
当x＞0时，－x＜0，
∴f(－x)＝－x(1＋x)．∴f(x)＝x(1＋x)．
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，
即f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
【例4】
解：令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，
∴f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．∴函数f(x)是奇函数．
令y＝x，由f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
可得f(2x)＝2f(x)，由此可得
4＝f(8)＝2f(4)＝4f(2)＝8f(1)＝16f，
∴f＝.
∴f＝－f＝－.
【例5】
正解：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称．
当x＜0时，－x＞0，于是f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＋1＝－x2－x＋1＝－(x2＋x－1)＝－f(x)；
当x＞0时，－x＜0，于是f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1＝－(－x2＋x＋1)＝－f(x)．
∴当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
1
(2011黑龙江大庆高一期末)下列所给出的函数中，是幂函数的是(
)．
A．y＝x－3
B．y＝－x3
C．y＝2x3
D．y＝x3－1
2
函数f(x)＝的图像关于(
)．
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
3
幂函数f(x)的图像过，则f(4)等于(
)．
A．16
B．2
C.
D.
4
设奇函数y＝f(x)，x∈[－2，a]，满足f(－2)＝11，则f(a)＝__________.
5
函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增加的，试比较与f(1)的大小．
答案：1．A
2．C　定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，其图像关于坐标原点对称．
3．C　设f
(x)＝xα，则2α＝，所以，f(x)＝，f(4)＝.故选C.
4．－11　由奇函数的定义域关于原点对称知a＝2，且f(a)＝f(2)＝－f(－2)＝－11.
5．解：∵－1＜，且函数y＝f(x)在(－∞，0]上是增加的，
∴f(－1)＜.
又∵y＝f(x)是偶函数，
∴f(－1)＝f(1)．∴f(1)＜.