2.5 幂函数及函数的奇偶性 学案1（含答案）

2.5幂函数及函数的奇偶性
学案
1.通过实例,了解幂函数的概念,结合函数的图像,了解它的变化情况.
2.理解函数的奇偶性及其几何意义,培养学生观察、抽象的能力,以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力.
3.会利用定义证明简单函数的奇偶性.
4.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法.
取一张白纸,在其上画出平面直角坐标系,并在第一象限任画一可作为函数图像的图形,然后按如下操作:以y轴为折痕将纸对折,并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形.
问题1:一个函数,底数是自变量x,指数是常量α,即y=xα,这样的函数叫作幂函数,幂函数的特点有:①指数为常数;②底数为自变量;③系数为1,④它的图像恒过定点　　　　.
问题2:对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有　　　　　　,那么f(x)就叫作奇函数;它的图像关于　　　　对称.
对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有　　　　,那么f(x)就叫作偶函数;它的图像关于　　　　对称.
问题3:在幂函数的表达式中,当α>0和α<0时,幂函数有下列性质:
(1)当α>0时,幂函数的图像过点　　　　、　　　　,并且在区间[0,+∞)上为　　　　函数;
(2)当α<0时,幂函数的图像过点　　　　,在区间(0,+∞)上是　　　　函数,在第一象限内,当x从右边趋于原点时,图像在y轴右方无限地逼近　　　　轴,当x趋向+∞时,图像在　　　　轴上方无限地逼近　　　　轴.
问题4:奇函数和偶函数的和、差、积、商(分母不能为0)的特点:
偶函数的和、差、积、商(分母不能为0)仍为　　　　函数;
奇函数的和、差仍为奇函数;
奇数个奇函数的积为　　　　函数,偶数个奇函数的积为　　　　函数;
一个奇函数与一个偶函数的积为　　　　函数.
1.下列函数中为幂函数的是(　　).
A.y=2x2　
B.y=x2+1
C.y=
D.y=2x
2.下面四个结论:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②奇函数的图像一定过原点;
③偶函数的图像一定关于y轴对称;
④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是y=0(x∈R).
其中正确的结论的个数是(　　).
A.1
B.2　
C.3　
D.4
3.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)=　　　　.
4.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,求当x∈(0,+∞)时,f(x)的解析式.
　　幂函数的概念
在函数y=,y=2x2,y=x2+x,y=1中,幂函数的个数为(　　).
A.0　
B.1　　　　　
C.2　　
D.3
　　简单幂函数的图像与性质
分别写出函数y=x0,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的定义域和值域,并在同一直角坐标系中画出它们的图像.
　　判断函数的奇偶性
(1)函数f(x)=x2+(　　).
A.是奇函数　　　
B.是偶函数
C.是非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
(2)函数y=x|x|+px,x∈R,则f(x)(　　).
A.是偶函数
B.是奇函数
C.不具有奇偶性
D.奇偶性与p有关
幂函数图像过点(2,),则它的单调递增区间是(　　).
A.(0,+∞)
B.[0,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,+∞)
比较下列各组数的大小:
(1)和3.;(2)-和-(;
(3)(-和(-;(4)4.,3.和(-1.9.
1.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=5;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=.
2.判断函数(x-1)的奇偶性.
1.下列幂函数中,是奇函数且在(0,+∞)内递增的为(　　).
A.y=　
B.y=x　
C.y=　
D.y=x2
2.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为(　　).
A.-1
B.0
C.1
D.2
3.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图像,则f(-2)的值是　　　　.
4.判断函数f(x)=的奇偶性.
　　如图所示,曲线是幂函数y=xα在第一象限的图像,已知α可取±2、±四个值,则相应的曲线C2的α值为(　　).
A.-2
B.2
C.-
D.
考题变式(我来改编):



答案
2.5　幂函数及函数的奇偶性
知识体系梳理
问题1:(1,1)
问题2:f(-x)=-f(x)　原点　f(-x)=f(x)　y轴
问题3:(1)(0,0)　(1,1)　增　(2)(1,1)　减　y　x　x
问题4:偶　奇　偶　奇
基础学习交流
1.C　根据幂函数的定义知,A、B、D均不是幂函数,C中函数化为y=x-2,符合幂函数的定义,故选C.
2.A　偶函数的图像一定关于y轴对称,但不一定与y轴相交,如y=x-2,故①错误,③正确;奇函数的图像关于原点对称,但不一定过原点,如y=x-1,故②不正确;若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数,由定义可得f(x)=0,但未必x∈R,如x∈(-1,1),
x∈{-1,1}等,只要其定义域关于原点对称,都满足条件,故④错误.所以四个结论中只有③正确,故选A.
3.-5　因为f(x)是R上的奇函数,
故f(-x)=-f(x),
所以f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5.
4.解:设x∈(0,+∞),则-x∈(-∞,0),因为当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,
所以f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4,
又函数f(x)是定义在
(-∞,+∞)上的偶函数,于是,f(-x)=f(x),所以f(x)=-x-x4.
重点难点探究
探究一:【解析】函数y==x-2为幂函数;函数y=2x2的系数不是“1”,∴它不是幂函数;函数y=x2+x是两个函数的和的形式,∴它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不是同一函数,∴它也不是幂函数,故选B.
【答案】B
【小结】判断一个函数是否为幂函数,依据是该函数是否为形如y=xα(α为常数)的形式,函数的解析式为一个幂的形式.
探究二:【解析】①y=x0,定义域为{x|x≠0},值域为{1};
②y=x,定义域为R,值域为R;
③y=x2,定义域为R,值域为{y|y≥0};
④y=x3,定义域为R,值域为R;
⑤y=,定义域为{x|x≥0},值域为{y|y≥0};
⑥y=x-1,定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}.
【小结】(1)对于幂函数的性质,要结合图像熟记,并且要灵活运用.已知幂函数的图像特征或性质求解析式时,常用待定系数法;判断幂函数的单调性时,通常借助于其指数的符号来分析.
(2)幂函数与其他函数相比,其图像的位置和形状变化更加复杂,因为幂函数的指数稍有变化,其图像就有可能发生很大的变化,因此,要学会归纳总结,并举一反三.
探究三:【解析】(1)由于函数的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数,故选C.
(2)因为该函数的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=-x|x|-px=-(x|x|+px)=-f(x),所以该函数是奇函数,故选B.
【答案】(1)C　(2)B
【小结】用定义法判断函数的奇偶性必须先求函数的定义域,当定义域不关于原点对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当定义域关于原点对称时,再判断f(-x)与f(x)或-f(x)是否相等.
思维拓展应用
应用一:C　设幂函数的解析式为y=xα,则=2α,解得α=-2,即幂函数为y=x-2,由于指数小于0,则在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数,所以选C.
应用二:(1)函数y=在(0,+∞)上为减函数,又3<3.1,所以>3..
(2)-=-(,函数y=在(0,+∞)上为增函数,又>,则(>(,从而-<-(.
(3)(-=(,(-=(,函数y=在(0,+∞)上为减函数,又>,所以(-<(-.
(4)4.>=1,0<3.<=1,(-1.9<0,所以(-1.9<3.<=1<4.,所以(-1.9<3.<4..
应用三:1.(1)该函数的定义域为R,且f(-x)=f(x)=5,所以它是偶函数.从图像上看,函数的图像是平行于x轴的直线,关于y轴对称,所以它是偶函数.
(2)由x2-1≥0且1-x2≥0,得x2=1,∴x=±1,即函数的定义域为{-1,1},则f(x)=0,所以该函数既是奇函数又是偶函数.
(3)函数的定义域为{x|x∈R且x≠1},不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.
2.∵f(x)=(x-1)=,
∴f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.
[问题]上述解法正确吗
[结论]不正确,本题出错的原因是对函数奇偶性概念理解不透彻,一拿到题就直接求解f(-x)与f(x)、-f(x)的关系,忽视了函数定义域,从而导致出错.
正确解答如下:∵≥0 x≤-1或x>1.
∴函数的定义域为(-∞,-1]∪(1,+∞).由于函数的定义域在数轴上不关于原点对称,
∴函数为非奇非偶函数.
基础智能检测
1.B　y=在(0,+∞)上为减函数;y=是非奇非偶函数;y=x2为偶函数,所以A、C、D均不正确,选B.
2.B　f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0)=-f(0).又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,∴f(6)=0.
3.-　由图像知f(2)=.
∵函数y=f(x)是奇函数,
∴f(-2)=-f(2)=-.
4.解:由题意知,函数f(x)的定义域是R,关于原点对称.当x>0时,f(x)=x(x-1),则-x<0,
∴f(-x)=-(-x)(-x+1)=-x(x-1)=-f(x).
当x<0时,f(x)=-x(x+1),则-x>0,
∴f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1)=-f(x).
当x=0时,f(0)=0,f(-0)=0,f(-0)=-f(0).
综上所得,对任意x∈R,总有f(-x)=-f(x)成立,
∴f(x)是奇函数.
全新视角拓展
D　在第一象限幂函数的图像,当α>0时为增函数,当α<0时为减函数,所以所求α的值为正,又当0<α<1时,曲线是向上凸的,所以C2对应的函数为y=.
思维导图构建
常数　自变量　f(-x)=f(x)　y轴　f(-x)=-f(x)　原点