3.1 正整数指数函数 同步练习（含答案）

3.1
正整数指数函数
同步练习
(30分钟
50分)
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.已知正整数指数函数f（x）=（a-2）ax，则f（2）=(
)
(A)2
(B)3
(C)9
(D)16
2.当x∈N+时，函数y=（a-1）x的值总大于1，则实数a的取值范围是(
)
(A)1＜a＜2
(B)a＜1
(C)a＞1
(D)a＞2
3.某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是(
)
(A)增加7.84%
(B)减少7.84%
(C)减少9.5%
(D)不增不减
4.由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低，设现在的电脑价格为8
100元，则3年后的价格可降为(
)
(A)2
400元
(B)2
700元
(C)3
000元
(D)3
600元
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.正整数指数函数f(x)=(a-2)(2a)x(x∈N+)在定义域N+上是__________的.(填“增加”或“减少”)
6.已知0＜a＜1，则函数y=ax-1（x∈N+）的图像在第___________象限.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.在正整数指数函数y=ax(a＞0且a≠1,x∈N+)中，分别求满足下列条件的a的取值范围.
（1）若y=ax在x∈N+上是减少的,求a的取值范围.
（2）若ax≥a,x∈N+,求a的取值范围.
8.（易错题）某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经过调查，现有森林面积为10
000
m2，每年增长10%，经过x年，森林面积为y
m2.
(1)写出x，y之间的函数关系式；
（2）求出经过10年后森林的面积(可借助计算器).
【挑战能力】
（10分）一个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到0.3
mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少.为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中酒精含量不得超过0.08
mg/mL.问喝了少量酒的驾驶员，至少过几小时才能驾驶 (精确到1小时)
答案解析
1.【解析】选C.由于则a=3，
∴f（x）=3x（x∈N+）,∴f(2)=32=9,故选C.
2.【解题指南】根据函数在N+上的值总大于1确定a-1的范围.
【解析】选D.在y=（a-1）x中，当x=0时，y=1.
而x∈N+时，y＞1，则必有a-1＞1，
∴a＞2，故选D.
3.
【解析】选B.设商品原价为a，两年后价格为a（1+20%）2，
四年后价格为a（1+20%）2（1-20%）2
=a（1-0.04）2=0.921
6a，
∴×100%=7.84%，故选B.
4.【解析】选A.1年后价格为8
100×(1-)=5
400（元）,
2年后价格为5
400×（1-）=3
600（元）,
3年后价格为3
600×（1-）=2
400（元）.
5.【解析】∵f(x)=(a-2)(2a)x是正整数指数函数,
∴a-2=1,且2a＞0，2a≠1,
∴a=3,∴f(x)=6x,x∈N+.
∵6>1,∴f(x)在N+上是增加的.
答案：增加
6.【解析】y=ax的图像在第一象限中x轴上方、直线y=1下方的一个区域内，而y=ax-1的图像是将y=ax图像向下平移1个单位，因此，图像在第四象限.
答案：四
7.【解析】（1）由于y=ax（a＞0且a≠1，x∈N+）在x∈N+上是减少的，所以由正整数指数函数的性质知0＜a＜1.
（2）∵ax≥a1,x∈N+,可知y=ax（x∈N+）在N+上是增加的,∴a＞1.
【方法技巧】函数单调性概念的应用技巧
本题的考点是函数的单调性应用问题，如在（1）中可直接利用指数函数单调减少的概念确定字母a的取值范围.
如在（2）中把不等式问题转化为函数的单调性问题来研究，利用指数函数单调增加的概念确定a的取值范围.函数的单调性还经常应用于求最值、比较大小等问题.
8.【解题指南】（1）归纳出函数关系式；
（2）转化为当x=10时对应的函数值.
【解析】(1)当x=1时，y=10
000+10
000×10%=10
000（1+10%）;
当x=2时，y=10
000（1+10%）+10
000（1+10%）×10%=10
000（1+10%）2；
当x=3时，y=10
000（1+10%）2+10
000（1+10%）2×10%=10
000（1+10%）3；
…
∴x，y之间的函数关系式是y=10
000（1+10%）x（x∈N+）.
(2)当x=10时，y=10
000×（1+10%）10≈25
937.42.
即经过10年后，森林面积约为25
937.42
m2.
【挑战能力】
【解析】1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3（1-50%）
mg/mL，x小时后其酒精含量为
0.3（1-50%）x
mg/mL.
由题意知：0.3（1-50%）x≤0.08，（）x≤.
采用估算法，x=1时，（）1=＞；
x=2时，（）2==＜.
由于y=（）x是减函数，所以满足要求的x的最小整数为2，故至少过2小时驾驶员才能驾驶.