3.1 正整数指数函数 学案3（含答案）

3.1
正整数指数函数
学案
1．理解正整数指数函数的概念，会求正整数指数函数的值域．
2．掌握正整数指数函数的性质及应用．
正整数指数函数
(1)定义：一般地，函数y＝_______(a＞0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数．其中x是______(x在指数位置上)，底数a是常数．
(2)定义域：__________.
(3)正整数指数函数的图像是一群__________的点，且都位于x轴的__________．
【做一做1－1】
下列函数是正整数指数函数的为(
)．
A．y＝－2x(x∈N＋)
B．y＝2x(x∈R)
C．y＝x2(x∈N＋)
D．y＝x(x∈N＋)
【做一做1－2】
函数f(x)＝x(x∈N＋)，则f(2)＝__________.
答案：1．(1)ax　自变量　(2)N＋　(3)孤立　上方
【做一做1－1】
D
【做一做1－2】
1．在正整数指数函数的定义中，为什么限定底数的范围为a＞0且a≠1
剖析：(1)若a＝0，则由于x∈N＋，则ax＝0，即ax是一个常量，没有研究的必要．
(2)若a＜0，则在正整数指数函数的定义直接扩充到指数函数的定义时对于x的某些取值，ax无意义，即不利于定义的扩充，这是因为{正整数指数函数}{指数函数}，即正整数指数函数是指数函数的特例．(3)若a＝1，则对于任意x∈N＋，ax＝1，即ax是一个常量，没有研究的必要．
为了避免出现上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1，在规定以后，对于任意x∈N＋，ax都有意义，且ax＞0.
2．为什么正整数指数函数的图像不是曲线？
剖析：由于正整数指数函数的定义域是正整数集N＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的曲线连起来．也就是说，正整数指数函数的图像是由一系列孤立的点组成的．例如：正整数指数函数y＝x(x∈N＋)的图像如图所示．
题型一
判断正整数指数函数
【例1】
若x∈N＋，下列哪个函数是正整数指数函数？
(1)y＝(－2)x；(2)y＝x3；(3)y＝7×2x；
(4)y＝()x；(5)y＝(π－1)x.
分析：只需判断函数的解析式是否符合形式y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)即可．
反思：根据函数的解析式判断是否为正整数指数函数时，关键是抓住正整数指数函数解析式的基本特征：ax前的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数的位置上，底数a＞0，a≠1.要注意正整数指数函数与幂函数y＝xα(α是常数)的区别．
题型二
正整数指数函数的性质
【例2】
画出正整数指数函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并指出其单调性和值域．
反思：正整数指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)的值域是{a，a2，a3，…}．当a＞1时，为增函数，当0＜a＜1时，为减函数．
题型三
实际应用中的正整数指数函数
【例3】
已知镭每经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1
000年后镭的质量．(可以用计算器)
分析：把100年看成一个基数，然后看每经过100年镭的质量的变化，归纳出函数关系式．
反思：通常利用归纳法求实际应用中的正整数指数函数型的解析式．
答案：【例1】
解：(1)y＝(－2)x的底数小于0，不是正整数指数函数．
(2)y＝x3中自变量x在底数的位置上，是幂函数，不是正整数指数函数．
(3)y＝7×2x中2x的系数等于7，是正整数指数型函数，不是正整数指数函数．
(4)(5)是正整数指数函数．
【例2】
解：列表，描点作图，如图所示.
x
1
2
3
…
y
3
9
27
…
单调性：函数y＝3x(x∈N＋)是增函数．
值域是：{3,32,33，…}．
【例3】
解：镭原来质量为20克；
100年后镭的质量为20×95.76%(克)；
200年后镭的质量为20×(95.76%)2(克)；
300年后镭的质量为20×(95.76%)3(克)；
……
x百年后镭的质量为20×(95.76%)x(克)．
∴y与x之间的函数关系式为
y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)．
∴经过1
000年(即x＝10)后镭的质量为
y＝20×(95.76%)10≈12.97(克)．
1
若x∈N＋，下面几个函数中，是正整数指数函数的是(
)．
A．y＝x4
B．y＝－2x
C．y＝(－2)x
D．y＝πx
2函数y＝(x∈N＋)的值域是(
)．
A．R
B．R＋
C．N
D.
3
函数y＝(x∈N＋)是(
)．
A．增函数
B．减函数
C．奇函数
D．偶函数
4
已知f(x)＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)的图像过点(3,64)，则f(2)＝________.
5
一种产品的成本原来是220元，在今后10年内，计划使成本每年比上一年降低20%，写出成本y随经过年数x变化的函数关系式．
答案：1．D　2.D　3.A
4．16　由题意，得a3＝64，∴a＝4.
∴f(x)＝4x.∴f(2)＝42＝16.
5．分析：归纳出函数关系式．
解：每年的成本是上一年的1－20%＝80%＝0.8.
当x＝1时，y＝220×0.8；
当x＝2时，y＝220×0.8×0.8＝220×0.82；
当x＝3时，y＝220×0.82×0.8＝220×0.83；
……
所以成本y与年数x的函数关系式为y＝220×0.8x(x＝1,
2,3，…10)．