7.2 认识证明
第1课时 定义与命题
1.了解定义、命题的概念.能分清命题的组成，会判断一个命题的真假，会用反例说明一个命题是假命题.
2.通过讨论、探究、交流等形式，使学生在辩论中获得知识体验.
3.在学习过程中培养学生敢于质疑、大胆探究的品质.
重点：命题的概念及真假的判断.
难点：正确找出命题的条件和结论.
知识链接
上节课我们认识了证明，回忆一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：定义和命题
问题1：你知道什么是定义吗？请举例说明.例子见教材P183
归纳总结：证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.
问题2：（教材P183尝试·思考）下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断？哪些没有？与同学们交流.
（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；
（2）对顶角相等；
（3）无论n为怎样的自然数，式子n2－n＋11的值都是质数；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（5）你喜欢数学吗？
（6）作线段AB＝CD.
（1）（2）（3）（4）作了判断，是命题；（5）（6）没有作出判断，不是命题.
归纳总结：判断一件事情的句子，叫作命题.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.
问题3：（教材P184思考·交流）观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的特征？与同学们交流.
（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
（2）如果a＝b，那么a2＝b2；
（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.
归纳总结：一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
【对应训练】教材P184随堂练习第1题.
探究点二：真命题、假命题、反例
问题4：（教材P184尝试·思考）指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？与同学们交流.
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
条件：两个角相等，结论：它们是对顶角.命题错误.
（2）如果a≠b，b≠c，那么a≠c；
条件：a≠b，b≠c，结论：a≠c.命题错误.
（3）全等三角形的面积相等；
条件：两个三角形全等，结论：它们的面积相等.命题正确.
（4）三角形三个内角的和等于180°.
条件：一个三角形的三个内角，结论：它们的和等于180°.命题正确.
归纳总结：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.
【对应训练】教材P185随堂练习第2题.
1.下列语句中属于定义的是（ C ）
A.直角都相等
B.作已知角的平分线
C.连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离
D.两点之间，线段最短
2.下列四个选项不是命题的是（ D ）
A.同位角相等 B.全等三角形的对应角相等
C.若x＝1，则x2＝1 D.过直线外一点作已知直线的垂线
3.下列命题是假命题的是（ C ）
A.锐角小于90° B.平角的度数等于两个直角的度数和
C.无理数包括正无理数，0，负无理数 D.若a2≠b2，则a≠b
4.命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是 两个数的绝对值相等 ，结论是 这两个数互为相反数 ，它是一个 假 （填“真”或“假”）命题.
5.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.
（1）两个锐角的和是锐角；
（2）无限不循环小数是无理数；
（3）同旁内角互补.
解：（1）假命题.反例为：40°与60°的和为100°.
（2）真命题.
（3）假命题.反例为：如图，∠1＋∠2＜180°.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
定义与命题第7章 命题与证明
7.2 认识证明
第1课时 定义与命题
【素养目标】
1. 了解定义、命题的概念. 能分清命题的组成,会判断一个命题的真假, 会用反例说明一个命题是假命题. (重、难点)
2. 通过讨论、探究、交流等形式,在辩论中获得知识体验.
【情境导入】
《墨经》提出 “以名举实,以辞抒意,以说出故”,其中 “辞” 即命题,强调命题需符合事实 (“当者,胜也”)。
以名举实:通过名称来指代事物的本质和实际内容。
以辞抒意:用语言表达内心的想法和情感。
以说出故:通过言辞阐述事物的原因和背景。
例如,“圆,一中同长也”是对几何概念的定义性命题。
亚里士多德被公认为逻辑学的创始人,其著作 《工具论》系统研究了命题逻辑: 《工具论》由《范畴篇》《解释篇》《前分析篇》《后分析篇》《论题篇》《辩谬篇》六篇组成。亚里士多德在《工具论》中提出了形式逻辑的基本规律,为正确思维提供了基本准则。他的三段论理论是其逻辑学的核心内容,通过大前提、小前提和结论的结构,为演绎推理提供了严密的逻辑形式。
【合作探究】
探究点一:定义和命题
为了进行有理有据的证明,必须对某些名称和术语形成共同的认识。为此, 就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.
思考: 生活中有哪些给出定义的例子
例如:
1.“具有中华人民共和国国籍的人,叫作中华人民共和国公民”是“__________________”的定义；
2.“两点之间线段的长度,叫作这两点之间的距离”是“______________”的定义；
3.“无限不循环小数称为无理数”是“______________”的定义；
4. “有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是“______________”的定义.
你还能举出曾学过的“定义” 吗？
思考: 定义常见的形式有什么样的特点
例1 下面的语句中,哪些语句对事情作出了判断？哪些没有 与同学们交流.
(1) 任何一个三角形一定有一个角是直角；
(2) 对顶角相等；
(3) 无论 为怎样的自然数,式子 的值都是质数；
(4) 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;
(5) 你喜欢数学吗
(6) 作线段 .
命题的定义:
判断一件事情的句子,叫作命题.
例如,上面 例1 中的语句 (1) (2) (3) (4) 对事情进行了判断,都是命题.
注意:只要对一件事情作出了判断,不管正确与否, 都是命题.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断, 那么它就不是命题。
例如, 上面 例1 中的语句 (5) (6) 都不是命题.
不是命题的形式, 如:
① 疑问句；如:你喜欢数学吗？
② 感叹句；如:今天天气很好啊！
③ 祈使句；如:作线段 .
【思考·交流】观察下列命题,你能发现这些命题有什么共同的结构特征 与同伴进行交流.
(1) 如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等;
(2) 如果 ,那么 ；
(3) 如果两个三角形中有两边和一个角分别相等, 那么这两个三角形全等.
【练一练】
1.请将下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并指出条件和结论.
(1) 同位角相等;
(2) 垂直于同一直线的两条直线互相垂直.
探究点二: 真命题、假命题、反例
【思考】指出下列各命题的条件和结论,其中哪些命题是错误的 你是如何判断的 与同伴进行交流.
(1) 如果两个角相等,那么它们是对顶角；
(2) 如果 ,那么 ；
(3) 全等三角形的面积相等；
(4) 三角形三个内角的和等于180°.
判断命题的真假: 正确的命题称为真命题; 错误的命题称为假命题.
真命题——可以用推理的方法,假命题——可以举反例来说明
反例:指具备命题的条件,而不具备命题的结论的例子.
判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×”
(1) 同旁内角互补. ( ) (2) 一个角的补角大于这个角. ( )
(3) 相等的两个角是对顶角. ( ) (4) 两点可以确定一条直线. ( )
(5) 两点之间线段最短. ( ) (6) 同角的余角相等. ( )
(7) 互补的两个角的平分线互相垂直. ( )
当堂反馈
1. 下列语句中属于定义的是( )
A. 直角都相等
B. 作已知角的平分线
C. 连接两点的线段的长度, 叫作这两点间的距离
D. 两点之间, 线段最短
2. 下列四个选项不是命题的是( )
A. 同位角相等
B. 全等三角形的对应角相等
C. 若 ,则
D. 过直线外一点作已知直线的垂线
3. 下列命题是假命题的是( )
A. 锐角小于
B. 平角的度数等于两个直角的度数和
C. 无理数包括正无理数、0、负无理数
D. 若 ,则
4. 对于下列假命题,各举一个反例写在横线上.
(1)“如果 ,那么 ” 是一个假命题.
反例:_________________________________;
(2)“如果 ,那么 ”是一个假命题.
反例:_________________________________;
5. 判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题, 举出一个反例.
(1) 两个锐角的和是锐角；
(2) 无限不循环小数是无理数；
(3) 同旁内角互补.
参考答案
探究点一:定义和命题
思考:
1. “中华人民共和国公民” 2. “两点之间的距离”
3. “无理数” 4. “ 等腰三角形 ”
例1 (1) 作出了判断 (2) 作出了判断 (3) 作出了判断
(4) 作出了判断 (5) 没有作出判断 (6) 没有作出判断
【思考·交流】
命题的形式: 如果……那么……
【练一练】1.(1) 同位角相等;如果两个角是同位角, 那么这两个角相等.
( 2 )垂直于同一直线的两条直线互相垂直.
如果两条直线垂直于同一直线, 那么这两条直线互相垂直.
探究点二: 真命题、假命题、反例
【思考】
(1) 命题错误 条件 成立 结论 不一定成立
(2) 命题错误 条件 成立 结论 不一定成立 反例： ，
(3) 如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等.
命题正确 条件 成立 结论 一定成立
(4). 如果三个角是一个三角形的内角,那么它们的和等于
命题正确 条件 成立. 结论 一定成立
判断下列命题的真假
(1) ( × ) (2) ( × ) (3) ( × ) (4) ( √ )
(5) ( √ ) (6) ( √ ) (7) ( × )
当堂反馈
1. C 2. D 3. C
4. (1). 反例: ; (2). 反例: .
5. 解:(1) 假命题. 反例为: 40°与 60°的和为100°.
解:(2) 真命题.
(3) 假命题. 反例为:如图, .(共23张PPT)
7.2 认识证明
第1课时 定义与命题
1. 了解定义、命题的概念. 能分清命题的组成，会判断一个命题的真假，会用反例说明一个命题是假命题.(重、难点)
2. 通过讨论、探究、交流等形式，在辩论中获得知识体验.
《墨经》提出 “以名举实，以辞抒意，以说出故”，其中 “辞” 即命题，强调命题需符合事实
(“当者，胜也”) 。
以名举实：通过名称来指代事物的本质和实际内容。
以辞抒意：用语言表达内心的想法和情感。
以说出故：通过言辞阐述事物的原因和背景。
例如，“ 圆，一中同长也 ” 是对几何概念的定义性命题。
亚里士多德被公认为逻辑学的创始人，其著作《工具论》系统研究了命题逻辑：
《工具论》由《范畴篇》《解释篇》《前分析篇》《后分析篇》《论题篇》《辩谬篇》六篇组成。亚里士多德在《工具论》中提出了形式逻辑的基本规律，为正确思维提供了基本准则。他的三段论理论是其逻辑学的核心内容，通过大前提、小前提和结论的结构，为演绎推理提供了严密的逻辑形式。
为了进行有理有据的证明，必须对某些名称和术语形成共同的认识。为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.
思考：生活中有哪些给出定义的例子
探究点一： 定义和命题
例如：
1.“具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民” 是“ ”的定义；
2.“两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”是“ ”的定义；
3.“无限不循环小数称为无理数” 是“ ”的定义；
4.“有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是
“ ”的定义.
中华人民共和国公民
两点之间的距离
无理数
等腰三角形
探究点一： 定义和命题
你还能举出曾学过的“定义”吗
2. 规定了原点、单位长度、正方向的直线称为数轴.
1. 如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x = a，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根；
“……叫作……”
“……称为……”
思考：定义常见的形式有什么样的特点
探究点一： 定义和命题
例1 下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断
哪些没有 与同学们交流.
(1) 任何一个三角形一定有一个角是直角；
(2) 对顶角相等；
(3) 无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数；
(4) 如果两条直线都和第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行；
(5) 你喜欢数学吗？ (6) 作线段 AB = CD .
没有作出判断
没有作出判断
作出了判断
作出了判断
作出了判断
作出了判断
探究点一： 定义和命题
判断一件事情的句子，叫作命题.
例如，上面 例1 中的语句 (1) (2) (3) (4) 对事情进行了判断，都是命题.
探究点一： 定义和命题
命题的定义
注意：只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，
都是命题.
不是命题的形式，如：
① 疑问句；如：你喜欢数学吗？
② 感叹句；如：今天天气很好啊！
③ 祈使句；如：作线段 AB = CD.
如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。
例如 ，上面 例1 中的语句 (5) (6) 都不是命题 .
探究点一： 定义和命题
【思考·交流】观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征 与同伴进行交流.
命题的形式：如果……那么……
(1) 如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
(2) 如果 a = b，那么 a2 = b2；
(3) 如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.
探究点一： 定义和命题
探究点一： 定义和命题
已知
命题
结论
条件
____事项
已知事项推出的事项
a = b
a2 = b2
如果 a = b，那么 a2 = b2.
探究点一： 定义和命题
(1) 同位角相等；
【练一练】1.请将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出条件和结论.
(2) 垂直于同一直线的两条直线互相垂直.
如果两个角是同位角，那么这两个角相等.
如果两条直线垂直于同一直线，那么这两条直线互相垂直.
条件
结论
条件
结论
(2) 如果 a≠b，b≠c，那么 a ≠ c；
(1) 如果两个角相等，那么它们是对顶角；
【思考】指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的 你是如何判断的 与同伴进行交流.
条件
结论
条件
结论
命题错误
命题错误
成立
不一定成立
成立
不一定成立
2≠3，3≠2
2＝2
举反例
探究点二： 真命题、假命题、反例
(4) 三角形三个内角的和等于180°.
(3) 全等三角形的面积相等；
命题正确
如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.
如果三个角是一个三角形的内角，
那么它们的和等于180°.
命题正确
条件
结论
条件
结论
成立
一定成立
成立
一定成立
探究点二： 真命题、假命题、反例
探究点二： 真命题、假命题、反例
判断命题的真假：
正确的命题称为真命题；
错误的命题称为假命题.
真命题——可以用推理的方法
假命题——可以举反例来说明
反例：指具备命题的条件，而不具备命题的结论的例子.
（1）同旁内角互补.（ ）
（4）两点可以确定一条直线.（ ）
（7）互补的两个角的平分线互相垂直.（ ）
（2）一个角的补角大于这个角.（ ）
判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”.
（5）两点之间线段最短.（ ）
（3）相等的两个角是对顶角.（ ）
×
×
（6）同角的余角相等.（ ）
×
√
√
√
×
探究点二： 真命题、假命题、反例
定义与命题
定义
概念：判断一个事件的句子
结构：如果……那么……
分类：真命题、假命题
命题
1. 下列语句中属于定义的是( C )
A. 直角都相等
B. 作已知角的平分线
C. 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离
D. 两点之间，线段最短
C
2. 下列四个选项不是命题的是( D )
A. 同位角相等
B. 全等三角形的对应角相等
C. 若x＝1，则x2＝1
D. 过直线外一点作已知直线的垂线
D
3. 下列命题是假命题的是( C )
A. 锐角小于90°
B. 平角的度数等于两个直角的度数和
C. 无理数包括正无理数、0、负无理数
D. 若a2≠b2，则a≠b
C
4. 对于下列假命题，各举一个反例写在横线上.
(1)“如果ac＝bc，那么a＝b”是一个假命题.反
例： ；
(2)“如果｜a｜＝｜b｜，那么a＝b”是一个假命
题.反例： .
a＝1，b＝－1，c＝0
a＝1，b＝－1
5. 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命
题，举出一个反例.
(1)两个锐角的和是锐角；
解：(1)假命题.反例为：40°与60°的和为100°.
(2)无限不循环小数是无理数；
解：(2)真命题.
(3)同旁内角互补.
解：(3)假命题.反例为：如图，∠1
＋∠2＜180°.
解：(1)假命题.反例为：40°与60°的和为100°.
解：(2)真命题.
解：(3)假命题.反例为：如图，∠1＋∠2＜180°.
