素养提升课(二) 匀变速直线运动推论的应用
[学习目标]
1．会推导初速度为零的匀加速直线运动的比例式。
2．掌握中点位置的瞬时速度公式并解答相关问题。
3．会推导位移差公式Δx＝aT2并解答相关问题。
探究1 初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1．按时间等分(设相等的时间间隔为T)的比例式
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
2．按位移等分(设相等的位移为x)的比例式
(1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶。
(2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。
(3)通过连续相同的位移所用时间之比
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶()∶…∶()。
【典例1】 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为 4 m/s。 求：
(1)第6 s末的速度大小；
(2)前6 s内的位移大小；
(3)第6 s内的位移大小。
[解析] (1)由于第4 s末与第6 s末的速度之比 v4∶v6＝4∶6＝2∶3
故第6 s末的速度v6＝v4＝6 m/s。
(2)由v4＝at4得a＝＝ m/s2＝1 m/s2
所以第1 s内的位移x1＝＝×1×12 m＝0.5 m
第1 s内与前6 s内的位移之比x1∶x6＝12∶62
故前6 s内小球的位移大小x6＝36x1＝18 m。
(3)第1 s内与第6 s内的位移之比
x1∶x′6＝1∶(2×6－1)＝1∶11
故第6 s内的位移大小x′6＝11x1＝5.5 m。
[答案] (1)6 m/s (2)18 m (3)5.5 m
应用比例关系的三点注意
(1)以上比例式只能直接应用于初速度为零的匀加速直线运动。
(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例式快速解题。
(3)对于初速度和末速度均不为零的匀变速直线运动，可以掐段应用比例式，如位移之比5∶7∶9∶11。
[针对训练]
1．(多选)如图所示，光滑固定的斜面AE被分成等距离的四段，一物体在A点由静止释放，物体沿斜面做匀加速直线运动，则下列说法正确的是( )
A．物体通过各点的瞬时速度大小之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶2∶3∶4
B．物体从A点到达各点所经历的时间之比tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2
C．通过各段位移所用时间之比为1∶(－1)∶()∶(2－)
D．物体经过BC段和CD段的速度变化量大小相等
BC [根据v2＝2ax得v＝，物体通过各点的瞬时速度大小之比vB∶vC∶vD∶vE＝∶∶∶＝1∶∶∶2，故A错误；根据v＝at，可得t＝，则物体从A点到达各点所经历的时间之比等于速度之比，故tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2，故B正确；tAB＝tB＝t0，tBC＝tC－tB＝(－1)t0，tCD＝tD－tC＝()t0，tDE＝tE－tD＝(2－)t0，故tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶(－1)∶()∶(2－)，故C正确；物体在A点由静止释放，沿斜面做匀加速直线运动，相等距离所用时间越来越小，由Δv＝aΔt，可知ΔvBC>ΔvCD，故D错误。]
探究2 中点位置的瞬时速度公式的理解及应用
1．中点位置的瞬时速度公式：＝，即在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位移的初、末速度的“方均根”值。
2．推导：如图所示，前一段位移有–＝2a·，后一段位移有v2－2＝2a·，所以有2＝＋v2)，即有＝。
3．两点说明
(1)公式＝只适用于匀变速直线运动。
(2)对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度均大于中间时刻的瞬时速度，即＞。
【典例2】 (多选)一个做匀加速直线运动的物体，先后经过相距为x的A、B两点时的速度分别为v和7v，从A到B的运动时间为t，则下列说法正确的是( )
A．经过AB中点的速度为4v
B．经过AB中间时刻的速度为4v
C．通过前位移所需时间是通过后位移所需时间的2倍
D．前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5vt
BCD [由匀变速直线运动的规律得，物体经过AB中点的速度为＝＝5v，A错误；物体经过AB中间时刻的速度为＝＝4v，B正确；通过前位移所需时间t1＝＝，通过后位移所需时间t2＝＝，C正确；前时间通过的位移x1＝＝vt，后时间通过的位移x2＝＝vt，Δx＝x2－x1＝1.5vt，D正确。]
[针对训练]
2．(多选)固定光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法正确的是( )
A．物体运动全过程中的平均速度是
B．物体在时的瞬时速度是
C．物体运动到斜面中点时的瞬时速度是
D．物体从顶端运动到斜面中点所需的时间是
ACD [全程的平均速度＝，A正确；时，物体的速度等于全程的平均速度，B错误；若末速度为v，则＝，v＝，由中点位置的瞬时速度公式可得中间位置的速度v中＝＝，C正确；设到达中间位置用时t′，由按位移等分的比例式可得t′∶t＝1∶，所以t′＝，D正确。]
探究3 逐差相等公式的理解及应用
1．逐差相等公式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2，即做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ，xⅡ，xⅢ，…，xN，则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。
2．推导：x1＝v0T＋aT2，x2＝v0·2T＋a·T2，x3＝v0·3T＋a·T2，…。
所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT2，xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT2，xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT2，…
故xⅡ－xⅠ＝aT2，xⅢ－xⅡ＝aT2，…
所以Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
3．拓展公式：匀变速直线运动中对于相等时间不相邻的任意两段位移有xm－xn＝(m－n)aT2。
4．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。
(2)求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝。
【典例3】 如图所示，一质点从A点开始做匀加速直线运动，随后依次经过B、C、D三点。已知AB段、CD段距离分别为5 m、13 m，质点经过AB段、BC段、CD段的时间相等，均为1 s，则( )
A．质点的加速度大小为4 m/s2
B．质点的加速度大小为2 m/s2
C．质点在C点的速度大小为9 m/s
D．质点在B点的速度大小为6 m/s
A [质点经过AB、BC、CD段的时间相等，均为T＝1 s，由x3－x1＝2aT2得a＝＝ m/s2＝4 m/s2，故A正确，B错误；由x2－x1＝x3－x2得BC段长度x2＝9 m，过B点时刻对应AC段的中间时刻，vB＝＝＝ m/s＝7 m/s，故D错误；过C点时刻对应BD段的中间时刻，vC＝＝＝ m/s＝11 m/s，故C错误。]
[针对训练]
3．(多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为 0.2 s，则下列说法正确的是( )
A．物体的加速度为20 m/s2
B．物体的加速度为25 m/s2
C．CD＝4 m
D．CD＝5 m
BC [由匀变速直线运动的规律知，连续相等时间内的位移差为常数，即Δx＝aT2，可得a＝＝25 m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4 m，故C正确，D错误。]
素养提升练(二)
1．一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，到达斜面底端时速度为4 m/s，则物体经过斜面中点时的速度为( )
A．2 m/s B．2 m/s
C． m/s D． m/s
B [已知v0＝0，v＝4 m/s，根据＝，解得物体经过斜面中点时的速度为2 m/s，故B正确。]
2．一质点从O点由静止开始做匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，已知通过OA、AB、BC所用时间之比为1∶2∶3，则OA、AB、BC的距离之比为( )
A．1∶4∶9 B．1∶3∶5
C．1∶8∶27 D．1∶2∶3
C [初速度为0的匀加速直线运动，第1个T、第2个T、第3个T、…、第6个T内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11，所以xOA∶xAB∶xBC＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27，故C正确。]
3．(多选)一个做匀变速直线运动的物体，在两段连续相等的时间内通过的位移分别是AB＝12 m和BC＝32 m，已知连续相等的时间间隔为2 s，则物体的初速度vA和加速度a分别为( )
A．物体的初速度为1 m/s
B．物体的加速度为3 m/s2
C．物体的初速度为3 m/s
D．物体的加速度为5 m/s2
AD [根据Δx＝at2可得a＝＝5 m/s2，根据位移与时间的关系式可得AB＝vAt＋at2，解得vA＝1 m/s，故A、D正确，B、C错误。]
4．云南龙江大桥是亚洲最大的高速公路悬索桥，总长 2 470.58 m，桥面宽33.5 m，为双向四车道设计，设计速度为80 km/h，如图甲所示，图乙中A、B、C、D、E为大桥上五根钢丝绳吊索，每两根吊索之间距离相等，若汽车从吊索A处开始做匀减速直线运动，刚好在吊索E处停下，汽车通过吊索D时的瞬时速度为vD，通过DE段的时间为t，则( )
A．汽车通过吊索A时的速度大小为4vD
B．汽车减速的时间大于2t
C．汽车通过吊索C时的瞬时速度等于通过AE段的平均速度
D．汽车通过AD段的平均速度是通过DE段平均速度的3倍
D [汽车减速到零，可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，根据初速度为零的匀加速直线运动的比例关系，可知汽车通过DE、AD段所用的时间之比为1∶1，可得汽车减速的时间等于2t，汽车通过吊索A时的速度大小为2vD，故A、B错误；汽车通过DE段的平均速度为，通过AD段的平均速度为＝vD，故D正确；汽车通过吊索D时为通过AE段的中间时刻，故通过吊索D时的瞬时速度等于通过AE段的平均速度，故C错误。]
5．一列火车进站后做匀减速直线运动直至停下，则匀减速运动前三分之一位移与后三分之二位移所用时间的比值为( )
A．－1 B．1－
C．
A [匀减速直线运动至停下可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，初速度为零的匀加速直线运动中相邻相等位移内的时间之比为1∶(－1)∶()∶…，则匀减速直线运动前三分之一位移与后三分之二位移所用时间的比值为＝－1，故选A。]
6．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为( )
A．1 m/s2 B．2.25 m/s2
C．3 m/s2 D．4.25 m/s2
B [轿车车身总长4.5 m，则题图中每一小格为 1.5 m，可得两段距离分别为s1＝12 m，s2＝21 m，又曝光周期为T＝2 s，据匀变速直线运动规律Δs＝s2－s1＝aT2，解得a＝2.25 m/s2，故选B。]
7．(多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论正确的是( )
A．物体经过AB位移中点的速度大小为
B．物体经过AB位移中点的速度大小为
C．若为匀减速直线运动，则v3＜v2＝v1
D．在匀变速直线运动中一定有v3＞v4＝v5
BD [由题意可知，在匀变速直线运动中，物体经过AB位移中点的速度为v3＝，时间中点的速度为v4＝，A错误，B正确；全程的平均速度为v5＝，不论物体做匀加速还是匀减速直线运动，都有v3>v4＝v5，若物体做匀加速直线运动，则v1v2，故D正确，C错误。]
8．(多选)如图所示，在一个桌面上方有三个金属小球a、b、c，离桌面的高度分别为h1∶h2∶h3＝3∶2∶1，若先后顺次释放a、b、c，球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则( )
A．三者运动时间之比为3∶2∶1
B．三者到达桌面时的速度大小之比是∶∶1
C．b与a开始下落的时间差等于c与b开始下落的时间差
D．若三个小球同时释放，落至桌面的时间之比为 ∶∶1
BD [根据h＝gt2，得三者运动时间之比t1∶t2∶t3＝∶∶1，所以若三个小球同时释放，落至桌面的时间之比为t1∶t2∶t3＝∶∶1，故A错误，D正确；根据v2＝2gh，可得到达桌面时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故B正确；由上述分析可得b与a开始下落的时间差为Δt1＝()·，c与b开始下落的时间差为Δt2＝(－1)·，可知Δt1≠Δt2，故C错误。]
9．(多选)一物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4 s内与第2 s内的位移之差是8 m。则下列说法正确的是( )
A．物体运动的加速度为8 m/s2
B．第2 s末的速度为8 m/s
C．第2 s内的位移为6 m
D．物体在0～3 s内的平均速度为6 m/s
BCD [由x4－x2＝2aT2可知，物体运动的加速度为a＝＝4 m/s2，故A错误；由速度与时间的关系式v2＝at可得v2＝8 m/s，故B正确；由x＝可得Δx2＝(×4×22－×4×12) m＝6 m，故C正确；由平均速度定义有＝＝6 m/s，故D正确。]
10．一物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为 1 m/s2，求：
(1)物体在前2 s内的位移大小；
(2)物体在第2 s内的位移大小；
(3)物体在第二个2 s内的位移大小。
[解析] (1)物体在前2 s内的位移大小为
x2＝＝×1×22 m＝2 m。
(2)物体在第1 s内的位移大小为
x1＝＝×1×12 m＝0.5 m
由xⅠ∶xⅡ＝1∶3得xⅡ＝3xⅠ＝3x1＝1.5 m。
(3)以2 s为一个时间单位，设物体在第二个2 s内的位移为x′，由x2∶x′＝1∶3
得x′＝3x2＝3×2 m＝6 m。
[答案] (1)2 m (2)1.5 m (3)6 m
11．从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。求：
(1)小球的加速度大小；
(2)拍摄时小球B的速度大小；
(3)拍摄时xCD的长度。
[解析] 小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球间的时间间隔相等，均为0.1 s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置。
(1)由推论Δx＝aT2可知，小球的加速度为
a＝＝＝5 m/s2。
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知小球在B点的速度等于AC段上的平均速度，即
vB＝＝＝1.75 m/s。
(3)由匀加速直线运动的特点知，连续相等时间内位移差恒定，所以
xCD－xBC＝xBC－xAB
所以xCD＝2xBC－xAB＝0.25 m。
[答案] (1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m
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说明：单选题每小题4分，多选题每小题6分，本试卷总分68分
1．一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，到达斜面底端时速度为4 m/s，则物体经过斜面中点时的速度为( )
A．2 m/s B．2 m/s
C． m/s D． m/s
2．一质点从O点由静止开始做匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，已知通过OA、AB、BC所用时间之比为1∶2∶3，则OA、AB、BC的距离之比为( )
A．1∶4∶9 B．1∶3∶5
C．1∶8∶27 D．1∶2∶3
3．(多选)一个做匀变速直线运动的物体，在两段连续相等的时间内通过的位移分别是AB＝12 m和BC＝32 m，已知连续相等的时间间隔为2 s，则物体的初速度vA和加速度a分别为( )
A．物体的初速度为1 m/s
B．物体的加速度为3 m/s2
C．物体的初速度为3 m/s
D．物体的加速度为5 m/s2
4．云南龙江大桥是亚洲最大的高速公路悬索桥，总长 2 470.58 m，桥面宽33.5 m，为双向四车道设计，设计速度为80 km/h，如图甲所示，图乙中A、B、C、D、E为大桥上五根钢丝绳吊索，每两根吊索之间距离相等，若汽车从吊索A处开始做匀减速直线运动，刚好在吊索E处停下，汽车通过吊索D时的瞬时速度为vD，通过DE段的时间为t，则( )
A．汽车通过吊索A时的速度大小为4vD
B．汽车减速的时间大于2t
C．汽车通过吊索C时的瞬时速度等于通过AE段的平均速度
D．汽车通过AD段的平均速度是通过DE段平均速度的3倍
5．一列火车进站后做匀减速直线运动直至停下，则匀减速运动前三分之一位移与后三分之二位移所用时间的比值为( )
A．－1 B．1－
C．
6．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为( )
A．1 m/s2 B．2.25 m/s2
C．3 m/s2 D．4.25 m/s2
7．(多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论正确的是( )
A．物体经过AB位移中点的速度大小为
B．物体经过AB位移中点的速度大小为
C．若为匀减速直线运动，则v3＜v2＝v1
D．在匀变速直线运动中一定有v3＞v4＝v5
8．(多选)如图所示，在一个桌面上方有三个金属小球a、b、c，离桌面的高度分别为h1∶h2∶h3＝3∶2∶1，若先后顺次释放a、b、c，球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则( )
A．三者运动时间之比为3∶2∶1
B．三者到达桌面时的速度大小之比是∶∶1
C．b与a开始下落的时间差等于c与b开始下落的时间差
D．若三个小球同时释放，落至桌面的时间之比为 ∶∶1
9．(多选)一物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4 s内与第2 s内的位移之差是8 m。则下列说法正确的是( )
A．物体运动的加速度为8 m/s2
B．第2 s末的速度为8 m/s
C．第2 s内的位移为6 m
D．物体在0～3 s内的平均速度为6 m/s
10．一物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为 1 m/s2，求：
(1)物体在前2 s内的位移大小；
(2)物体在第2 s内的位移大小；
(3)物体在第二个2 s内的位移大小。
11．从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。求：
(1)小球的加速度大小；
(2)拍摄时小球B的速度大小；
(3)拍摄时xCD的长度。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)素养提升课(二) 匀变速直线运动推论的应用
[学习目标]
1．会推导初速度为零的匀加速直线运动的比例式。
2．掌握中点位置的瞬时速度公式并解答相关问题。
3．会推导位移差公式Δx＝aT2并解答相关问题。
探究1 初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1．按时间等分(设相等的时间间隔为T)的比例式
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
2．按位移等分(设相等的位移为x)的比例式
(1)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移时的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶。
(2)通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。
(3)通过连续相同的位移所用时间之比
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶()∶…∶()。
【典例1】 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为 4 m/s。 求：
(1)第6 s末的速度大小；
(2)前6 s内的位移大小；
(3)第6 s内的位移大小。
[听课记录]
应用比例关系的三点注意
(1)以上比例式只能直接应用于初速度为零的匀加速直线运动。
(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例式快速解题。
(3)对于初速度和末速度均不为零的匀变速直线运动，可以掐段应用比例式，如位移之比5∶7∶9∶11。
[针对训练]
1．(多选)如图所示，光滑固定的斜面AE被分成等距离的四段，一物体在A点由静止释放，物体沿斜面做匀加速直线运动，则下列说法正确的是( )
A．物体通过各点的瞬时速度大小之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶2∶3∶4
B．物体从A点到达各点所经历的时间之比tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2
C．通过各段位移所用时间之比为1∶(－1)∶()∶(2－)
D．物体经过BC段和CD段的速度变化量大小相等
探究2 中点位置的瞬时速度公式的理解及应用
1．中点位置的瞬时速度公式：＝，即在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位移的初、末速度的“方均根”值。
2．推导：如图所示，前一段位移有–＝2a·，后一段位移有v2－2＝2a·，所以有2＝＋v2)，即有＝。
3．两点说明
(1)公式＝只适用于匀变速直线运动。
(2)对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度均大于中间时刻的瞬时速度，即＞。
【典例2】 (多选)一个做匀加速直线运动的物体，先后经过相距为x的A、B两点时的速度分别为v和7v，从A到B的运动时间为t，则下列说法正确的是( )
A．经过AB中点的速度为4v
B．经过AB中间时刻的速度为4v
C．通过前位移所需时间是通过后位移所需时间的2倍
D．前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5vt
[听课记录]
[针对训练]
2．(多选)固定光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法正确的是( )
A．物体运动全过程中的平均速度是
B．物体在时的瞬时速度是
C．物体运动到斜面中点时的瞬时速度是
D．物体从顶端运动到斜面中点所需的时间是
探究3 逐差相等公式的理解及应用
1．逐差相等公式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2，即做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ，xⅡ，xⅢ，…，xN，则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。
2．推导：x1＝v0T＋aT2，x2＝v0·2T＋a·T2，x3＝v0·3T＋a·T2，…。
所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT2，xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT2，xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT2，…
故xⅡ－xⅠ＝aT2，xⅢ－xⅡ＝aT2，…
所以Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
3．拓展公式：匀变速直线运动中对于相等时间不相邻的任意两段位移有xm－xn＝(m－n)aT2。
4．应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。
(2)求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝。
【典例3】 如图所示，一质点从A点开始做匀加速直线运动，随后依次经过B、C、D三点。已知AB段、CD段距离分别为5 m、13 m，质点经过AB段、BC段、CD段的时间相等，均为1 s，则( )
A．质点的加速度大小为4 m/s2
B．质点的加速度大小为2 m/s2
C．质点在C点的速度大小为9 m/s
D．质点在B点的速度大小为6 m/s
[听课记录]
[针对训练]
3．(多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为 0.2 s，则下列说法正确的是( )
A．物体的加速度为20 m/s2
B．物体的加速度为25 m/s2
C．CD＝4 m
D．CD＝5 m
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素养提升课(二) 匀变速直线运动推论的应用
第二章 匀变速直线运动的研究
[学习目标]
1．会推导初速度为零的匀加速直线运动的比例式。
2．掌握中点位置的瞬时速度公式并解答相关问题。
3．会推导位移差公式Δx＝aT 2并解答相关问题。
探究重构·关键能力达成
探究1 初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1．按时间等分(设相等的时间间隔为T)的比例式
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2。
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比
x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
【典例1】 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为 4 m/s。 求：
(1)第6 s末的速度大小；
(2)前6 s内的位移大小；
(3)第6 s内的位移大小。
(3)第1 s内与第6 s内的位移之比
x1∶x′6＝1∶(2×6－1)＝1∶11
故第6 s内的位移大小x′6＝11x1＝5.5 m。
[答案] (1)6 m/s (2)18 m (3)5.5 m
规律方法 应用比例关系的三点注意
(1)以上比例式只能直接应用于初速度为零的匀加速直线运动。
(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例式快速解题。
(3)对于初速度和末速度均不为零的匀变速直线运动，可以掐段应用比例式，如位移之比5∶7∶9∶11。
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探究3 逐差相等公式的理解及应用
1．逐差相等公式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2，即做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ，xⅡ，xⅢ，…，xN，则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。
【典例3】 如图所示，一质点从A点开始做匀加速直线运动，随后依次经过B、C、D三点。已知AB段、CD段距离分别为5 m、13 m，质点经过AB段、BC段、CD段的时间相等，均为1 s，则( )
A．质点的加速度大小为4 m/s2
B．质点的加速度大小为2 m/s2
C．质点在C点的速度大小为9 m/s
D．质点在B点的速度大小为6 m/s
√
[针对训练]
3．(多选)如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为 0.2 s，则下列说法正确的是( )
A．物体的加速度为20 m/s2
B．物体的加速度为25 m/s2
C．CD＝4 m
D．CD＝5 m
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素养提升练(二)
2．一质点从O点由静止开始做匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，已知通过OA、AB、BC所用时间之比为1∶2∶3，则OA、AB、BC的距离之比为( )
A．1∶4∶9 B．1∶3∶5
C．1∶8∶27 D．1∶2∶3
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C [初速度为0的匀加速直线运动，第1个T、第2个T、第3个T、…、第6个T内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11，所以xOA∶xAB∶xBC＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27，故C正确。]
3．(多选)一个做匀变速直线运动的物体，在两段连续相等的时间内通过的位移分别是AB＝12 m和BC＝32 m，已知连续相等的时间间隔为2 s，则物体的初速度vA和加速度a分别为( )
A．物体的初速度为1 m/s B．物体的加速度为3 m/s2
C．物体的初速度为3 m/s D．物体的加速度为5 m/s2
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4．云南龙江大桥是亚洲最大的高速公路悬索桥，总长 2 470.58 m，桥面宽33.5 m，为双向四车道设计，设计速度为80 km/h，如图甲所示，图乙中A、B、C、D、E为大桥上五根钢丝绳吊索，每两根吊索之间距离相等，若汽车从吊索A处开始做匀减速直线运动，刚好在吊索E处停下，汽车通过吊索D时的瞬时速度为vD，通过DE段的时间为t，则( )
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A．汽车通过吊索A时的速度大小为4vD
B．汽车减速的时间大于2t
C．汽车通过吊索C时的瞬时速度等于通过AE段的平均速度
D．汽车通过AD段的平均速度是通过DE段平均速度的3倍
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6．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成是匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为( )
A．1 m/s2
B．2.25 m/s2
C．3 m/s2
D．4.25 m/s2
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B [轿车车身总长4.5 m，则题图中每一小格为 1.5 m，可得两段距离分别为s1＝12 m，s2＝21 m，又曝光周期为T＝2 s，据匀变速直线运动规律Δs＝s2－s1＝aT2，解得a＝2.25 m/s2，故选B。]
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9．(多选)一物体从静止开始做匀加速直线运动，已知第4 s内与第
2 s内的位移之差是8 m。则下列说法正确的是( )
A．物体运动的加速度为8 m/s2
B．第2 s末的速度为8 m/s
C．第2 s内的位移为6 m
D．物体在0～3 s内的平均速度为6 m/s
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10．一物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为 1 m/s2，求：
(1)物体在前2 s内的位移大小；
(2)物体在第2 s内的位移大小；
(3)物体在第二个2 s内的位移大小。
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[答案] (1)2 m (2)1.5 m (3)6 m
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11．从斜面上某一位置每隔0.1 s释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。求：
(1)小球的加速度大小；
(2)拍摄时小球B的速度大小；
(3)拍摄时xCD的长度。
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(3)由匀加速直线运动的特点知，连续相等时间内位移差恒定，所以
xCD－xBC＝xBC－xAB
所以xCD＝2xBC－xAB＝0.25 m。
[答案] (1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m素养提升练(二)
1．B [已知v0＝0，v＝4 m/s，根据，解得物体经过斜面中点时的速度为2 m/s，故B正确。]
2．C [初速度为0的匀加速直线运动，第1个T、第2个T、第3个T、…、第6个T内的位移之比为1∶3∶5∶7∶9∶11，所以xOA∶xAB∶xBC＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27，故C正确。]
3．AD [根据Δx＝at2可得a＝＝5 m/s2，根据位移与时间的关系式可得AB＝vAt＋at2，解得vA＝1 m/s，故A、D正确，B、C错误。]
4．D [汽车减速到零，可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，根据初速度为零的匀加速直线运动的比例关系，可知汽车通过DE、AD段所用的时间之比为1∶1，可得汽车减速的时间等于2t，汽车通过吊索A时的速度大小为2vD，故A、B错误；汽车通过DE段的平均速度为，通过AD段的平均速度为vD，故D正确；汽车通过吊索D时为通过AE段的中间时刻，故通过吊索D时的瞬时速度等于通过AE段的平均速度，故C错误。]
5．A [匀减速直线运动至停下可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，初速度为零的匀加速直线运动中相邻相等位移内的时间之比为1∶(－1)∶()∶…，则匀减速直线运动前三分之一位移与后三分之二位移所用时间的比值为－1，故选A。]
6．B [轿车车身总长4.5 m，则题图中每一小格为 1.5 m， 可得两段距离分别为s1＝12 m，s2＝21 m，又曝光周期为T＝2 s， 据匀变速直线运动规律Δs＝s2－s1＝aT2，解得a＝2.25 m/s2， 故选B。]
7．BD [由题意可知，在匀变速直线运动中，物体经过AB位移中点的速度为v3＝，时间中点的速度为v4＝，A错误，B正确；全程的平均速度为v5＝，不论物体做匀加速还是匀减速直线运动，都有v3>v4＝v5，若物体做匀加速直线运动，则v1v2，故D正确，C错误。]
8．BD [根据h＝gt2，得三者运动时间之比t1∶t2∶t3＝∶∶1，所以若三个小球同时释放，落至桌面的时间之比为t1∶t2∶t3＝∶∶1，故A错误，D正确；根据v2＝2gh，可得到达桌面时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故B正确；由上述分析可得b与a开始下落的时间差为Δt1＝(，c与b开始下落的时间差为Δt2＝(－1)，可知Δt1≠Δt2，故C错误。]
9．BCD [由x4－x2＝2aT2可知，物体运动的加速度为a＝＝4 m/s2，故A错误；由速度与时间的关系式v2＝at可得v2＝8 m/s，故B正确；由x＝at2可得Δx2＝(×4×22－×4×12) m＝6 m，故C正确；由平均速度定义有＝6 m/s，故D正确。]
10．解析：(1)物体在前2 s内的位移大小为
x2＝a×1×22 m＝2 m。
(2)物体在第1 s内的位移大小为
x1＝a×1×12 m＝0.5 m
由xⅠ∶xⅡ＝1∶3得xⅡ＝3xⅠ＝3x1＝1.5 m。
(3)以2 s为一个时间单位，设物体在第二个2 s内的位移为x'，由x2∶x'＝1∶3
得x'＝3x2＝3×2 m＝6 m。
答案：(1)2 m (2)1.5 m (3)6 m
11．解析：小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球间的时间间隔相等，均为0.1 s，可以认为A、B、C、D各点是一个小球在不同时刻的位置。
(1)由推论Δx＝aT2可知，小球的加速度为
a＝＝5 m/s2。
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，可知小球在B点的速度等于AC段上的平均速度，即
vB＝＝1.75 m/s。
(3)由匀加速直线运动的特点知，连续相等时间内位移差恒定，所以
xCD－xBC＝xBC－xAB
所以xCD＝2xBC－xAB＝0.25 m。
答案：(1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m
