3.1 正整数指数函数 学案7（含答案）

3.1　正整数指数函数
学案
1．正整数指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
谈重点
对正整数指数函数定义的理解
(1)正整数指数函数解析式的基本特征：ax前的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数的位置上，底数a是大于零且不等于1的常数．要注意正整数指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)与幂函数y＝xα的区别．
(2)在正整数指数函数的定义中，为什么要规定底数a是一个大于零且不等于1的常数？这是因为，若a＝0或a＝1，则对于任意的x∈N＋，都有ax＝0或ax＝1，这时，ax是一个常量，没有研究的必要；若a＜0，则在后面的学习中，当我们把正整数指数函数扩充到实数指数函数时，对于x的某些取值，ax无意义，从而无法扩充．
【例1】下列函数中一定是正整数指数函数的是(　　)．
A．y＝(－4)x(x∈N＋)　　
B．y＝3－x(x∈N＋)
C．y＝2×3x(x∈N＋)
D．y＝x3(x∈N＋)
解析：根据函数的解析式判断一个函数是否为正整数指数函数，关键是抓住正整数指数函数解析式的基本特征．y＝(－4)x的底数－4＜0，不是正整数指数函数；y＝2×3x中3x的系数等于2，不是正整数指数函数；y＝x3中自变量x在底数的位置上，是幂函数，不是正整数指数函数；由排除法可选B.实际上，由后面将要学习的指数运算的性质可知，y＝3－x＝是正整数指数函数．
答案：B
2．正整数指数函数的图像特征
正整数指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)的图像由一些孤立的点组成．当a＞1时，它的图像从左向右是上升的；当0＜a＜1时，它的图像从左向右是下降的，整个图像都在第一象限内．如，函数y＝2x
(x∈N＋)和y＝(x∈N＋)的图像如下．
　　
y＝2x(x∈N＋)　　　y＝(x∈N＋)
破疑点
为什么正整数指数函数的图像不是一条连续的曲线
这是因为，正整数指数函数的定义域是正整数集N＋，而正整数集是不连续的，所以用描点法画正整数指数函数的图像时，不能用平滑的连续曲线连起来．也就是说，正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成，而不是一条连续的曲线．
【例2】函数，x∈N＋的图像是(　　)．
A．一条上升的连续曲线
B．一条下降的连续曲线
C．一系列上升的孤立的点
D．一系列下降的孤立的点
解析：因为正整数指数函数，x∈N＋的底数大于零且小于1，所以它的图像从左向右是一系列下降的孤立的点．
答案：D
3．正整数指数函数的性质
正整数指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)有如下性质：
(1)定义域：正整数集N＋；
(2)值域：从函数值域的定义来分析，函数的值域是所有函数值组成的集合，由于正整数指数函数的定义域是N＋，不连续，故其值域也不连续，是由一组“孤立”的实数组成的集合，其值域是{a，a2，a3，…}．
(3)单调性：y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)的单调性取决于底数a.当a＞1时，函数是增函数；当0＜a＜1时，函数是减函数，这里要特别注意的是，虽然正整数指数函数是单调函数，但是不存在单调区间．
(4)奇偶性：因为正整数指数函数的图像既不关于原点对称也不关于y轴对称，所以其不具有奇偶性．
(5)最值：当a＞1时，函数有最小值，无最大值，最小值为a；当0＜a＜1时，函数有最大值，无最小值，最大值为a.
解技巧
正整数指数函数的性质的理解
正整数指数函数的图像和性质分别从形、数两个方面对正整数指数函数加以剖析，因此在处理与正整数指数函数有关的问题时应注意数形结合思想的运用；由于底数大于1时与底数小于1时的单调性不同，所以也应注意分类讨论思想的运用．
【例3－1】函数y＝5x，x∈N＋的值域是(　　)．
A．R
B．N＋
C．N
D．{5,52,53,54，…}
解析：因为函数y＝5x，x∈N＋的定义域为正整数集N＋，所以当自变量x取1,2,3,4，…时，其相应的函数值y依次是5,52,53,54，….因此，函数y＝5x，x∈N＋的值域是{5,52,53,54，…}．
答案：D
【例3－2】函数，x∈N＋是(　　)．
A．增函数
B．减函数
C．奇函数
D．偶函数
解析：由正整数指数函数不具有奇偶性，可排除C，D；因为函数，x∈N＋的底数大于1，所以此函数是增函数．
答案：A
【例3－3】函数y＝7x，x∈N＋的单调递增区间是(　　)．
A．R
B．N＋
C．[0，＋∞)
D．不存在
解析：虽然正整数指数函数y＝7x，x∈N＋在定义域N＋上单调递增，但是N＋不是区间，所以该函数不存在单调区间．
答案：D
4．利用正整数指数函数的单调性比较幂值的大小
比较幂的大小常用构造法，若两个幂的指数相同，则可构造同指数的幂函数；若两个幂的底数相同，则可构造同底数的指数函数，构造好函数模型后，通过研究函数的单调性，利用自变量的大小来确定函数值的大小．例如，比较下列几个幂0.910,0.911,1.14,1.15,0.010的大小．可先考察正整数指数函数y＝0.9x(x∈N＋)，因为此函数是减函数，所以0.911＜0.910＜1；再考察正整数指数函数y＝1.1x(x∈N＋)，因为此函数是增函数，所以1.15＞1.14＞1.因此，0.911＜0.910＜0.010＜1.14＜1.15.
【例4】比较下列各组幂值的大小(用“＞”或“＜”填空)．
(1)1.5819________1.5820；(2)0.52
009________0.52
010.
解析：由于每组中两个幂的底数相同，且指数都是正整数，所以，可构造正整数指数函数，利用正整数指数函数的单调性来比较大小．
(1)考虑正整数指数函数y＝1.58x，x∈N＋.
∵1.58＞1，∴y＝1.58x在N＋上是增函数．
又∵19＜20，∴1.5819＜1.5820.
(2)考虑正整数指数函数y＝0.
5x，x∈N＋.
∵0＜0.5＜1，∴y＝0.5x在N＋上是减函数．
又∵2
009＜2
010，∴0.52
009＞0.52
010.
答案：(1)＜　(2)＞
谈重点
比较幂值大小的关键
两个幂值比较大小，确定所要考查的函数是关键．
5．利用正整数指数函数的单调性求解析式中参数的取值范围
若正整数指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)是增函数，则必有a＞1；若是减函数，则必有0＜a＜1.由此可确定解析式中参数的取值范围．
例如，已知正整数指数函数y＝(1－m)x，x∈N＋是增函数，则实数m的取值范围是________．根据函数的单调性可得到底数1－m大于1，即1－m＞1，所以实数m的取值范围是(－∞，0)．
【例5】若正整数指数函数f(x)＝(a2－1)x在定义域N＋上是减函数，则a的取值范围是(　　)．
A．|a|＞1　　　
B．|a|＜
C．|a|＞
D．1＜|a|＜
解析：因为正整数指数函数f(x)＝(a2－1)x在定义域N＋上是减函数，所以其底数满足0＜a2－1＜1，即1＜a2＜2，故1＜|a|＜.
答案：D
6．正整数指数函数在实际问题中的应用
正整数指数函数的应用范围非常广泛，如在研究复利计算、增长率问题、质量浓度问题中常见这类函数．我们通常利用归纳法求实际应用中的正整数指数函数的解析式，再由正整数指数函数的解析式解决实际问题．
例如，已知镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1
000年后镭的质量．(可以用计算器)
由题意知，镭原来质量为20克，如果把100年看成一个基数，那么每经过100年镭的质量变化如下：
100年后镭的质量为20×95.76%(克)；
200年后镭的质量为20×(95.76%)2(克)；
300年后镭的质量为20×(95.76%)3(克)；
……
x百年后镭的质量为20×(95.76%)x(克)．
∴y与x之间的函数关系式为
y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)．
∴经过1
000年(即x＝10)后镭的质量为y＝20×(95.76%)10≈12.967
95(克)．
析规律
指数型函数
在实际问题中，经常会遇到的指数增长模型为：设原有量为N，平均增长率为p，则经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x表示．我们把形如y＝kax(k∈R，a＞0，a≠1)的函数称为指数型函数．
【例6】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%.
(1)写出这种物质的剩留量y随时间x(x∈N＋)变化的函数关系式；
(2)画出该函数的图像；
(3)说明该函数的单调性；
(4)从图像上求出经过多少年，剩留量是原来的一半．
解：(1)设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，由题意得
经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；
经过2年，剩留量y＝1×84%×84%＝0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量y随时间x变化的函数关系式为y＝0.84x(x∈N＋)．
(2)根据函数关系式列表如下：
x
1
2
3
4
5
y
0.84
0.71
0.59
0.50
0.42
用描点法画出指数函数y＝0.84x(x∈N＋)的图像，它的图像是由一些孤立的点组成的．
(3)通过计算和看图知道，随着时间的增加，剩留量在逐渐减少，该函数为减函数．
(4)从图上看出y＝0.5，只需x≈4.
即约经过4年，剩留量是原来的一半．
析规律
正整数指数函数的应用
正整数指数函数是一种非常重要的函数，我们在研究增长问题、降低问题、复利问题、质量浓度问题时常用到这种函数，它的图像是由一些孤立的点组成的，当a＞1时，它是单调递增函数；当0＜a＜1时，它是单调递减函数．要注意自变量x∈N＋.