3.1 正整数指数函数 学案8（含答案）

3.1正整数指数函数
学案
1.了解正整数指数函数模型的实际背景.
2.了解正整数指数函数的概念.
3.理解具体的正整数指数函数的图像特征及其单调性.
4.借助计算器、计算机的运算功能,计算一些正整数指数函数值.
一个叫杰米的百万富翁,一天,他碰上一件奇怪的事,一个叫韦伯的人对他说,我想和你定个合同,我将在整整一个月中每天给你10万元,而你第一天只需给我一分钱,以后每一天给我的钱是前一天的两倍.杰米心中暗自高兴,说:“真的 你说话算数!”
合同开始生效了,杰米欣喜若狂,第一天杰米支出1分钱,收入10万元;第二天,杰米支出2分钱,收入10万元;第三天,杰米支出4分钱,收入10万元,第四天杰米支出8分钱,收入10万元……到了第十天,杰米得到100万元,而总共才付出10元2角3分,到了第20天,杰米得到了200万元,而韦伯才得到1048575分,共10000元多点.杰米想:要是合同定两个月、三个月该多好!事情真的如杰米想的一样吗
问题1:(1)第21天,杰米支出　　　　　　　　　　　　　,收入　　　　.
(2)第28天,杰米支出　　　　　　　　　　,收入　　　　.
(3)在一个月(31天)内,杰米总共得到　　　　,并付给韦伯　　　　.
问题2:一般地,函数　
　　　　　　　　　叫作正整数指数函数,其中x是自变量,定义域是　　　　.
问题3:整数指数幂的性质
(1)正整数指数幂an=　　　　　　　　　　.
(2)指数为0的幂a0=　　　　(a≠0).
(3)负整数指数幂a-n=　　　　(a≠0,n∈N+).
问题4:某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x,本利和(本金加上利息)为y元,写出本利和y随存期x变化的函数关系式:　　　　　　　　　　.
1.下列函数中是正整数指数函数的是(　　).
A.y=-2x,x∈N+　　　　　B.y=2x,x∈R
C.y=x2,x∈N+　　　　　D.y=()x,x∈N+
2.函数y=()x,x∈N+的值域是(　　).
A.R　　　　B.R+　　　C.N　　　　　D.{,,,…}
3.某种细菌在培养过程中,每20
min分裂一次(一个分裂为两个),经过3
h,这种细菌由一个分裂为　　　　个.
4.一种产品的成本原来是220元,在今后10年内,计划使成本每年比上一年降低20%,写出成本y(元)随经过年数x变化的函数关系式.
正整数指数函数的概念
下列表达式是否为正整数指数函数
(1)y=1x;(2)y=(-2)x;(3)y=3-x(x∈R);(4)y=ex(x∈N+).
正整数指数函数的性质
比较下面两个正整数指数函数的性质:
(1)y=2x(x∈N+);
(2)y=0.997520x(x∈N+).
正整数指数函数的应用
某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x,本利和(本金加上利息)为y元.
(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式;
(2)如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和.
函数y=(3a-2)x表示正整数指数函数应满足什么条件
某地区现有森林面积1万亩,为增加森林覆盖率,计划从今年起每年比上一年森林面积增长10%,求:
(1)经过1,2,3,4,5年后森林面积分别是多少万亩;
(2)森林面积y(万亩)与经过年数x的关系式,并根据图像说明其单调性.
某地区2000年底人口为100万,人口平均每年增长率为1%,问2015年底该地区人口约为多少(单位:百万)
1.函数y=3x(x∈N+)(　　).
A.是增函数　
B.是减函数
C.先增后减
D.先减后增
2.随着计算机技术的迅猛发展,电脑的价格不断降低,若每隔4年电脑的价格降低三分之一,则现在价格8100元的电脑12年后的价格可降为(　　).
A.2400元
B.2700元
C.3000元
D.3600元
3.若f(52x-1)=x-2,则f(125)=　　　　.
4.已知集合A={m|正整数指数函数y=(m2+m+1)·()x,x∈N+},求集合A.
　　对于五年可成材的树木,在此期间的年生长率为18%,以后的年生长率为10%,树木成材后,既可以售树木,重栽新树木,也可以让其继续生长,问:哪一种方案可获得较大的木材量 (只需考虑十年后的情形)(借助于计算器)
考题变式(我来改编):


答案
第三章　指数函数和对数函数
3.1　正整数指数函数
知识体系梳理
问题1:(1)220=1048576
(分)≈1.049(万元)　10万元　(2)227=134217728(分)≈134.218(万元)　10万元　(3)310万元　2000多万元
问题2:y=ax(a>0,a≠1,x∈N+)　N+
问题3:(1)a×a×…×a(共n个,n∈N+)　(2)1　(3)
问题4:y=a(1+r)x(x∈N+)
基础学习交流
1.D　结合正整数指数函数的定义,选D.
2.D　注意x取正整数,值域是不连续的,故选D.
3.512　经过9次分裂,得到29=512(个).
4.解:每年的成本是上一年的1-20%=80%.
当x=1时,y=220×0.8;
当x=2时,y=220×0.8×0.8=220×0.82;
当x=3时,y=220×0.82×0.8=220×0.83;
……
所以y=220×0.8x(x∈N+,x≤10).
重点难点探究
探究一:【解析】(1)(2)底数不符合,要大于0且不等于1,(3)中y=3-x=()x,但定义域不符合,所以只有(4)为正整数指数函数.
【小结】判断函数是否为正整数指数函数,应注意函数形式是否符合,特别还应看定义域是否为正整数集.
探究二:【解析】列表比较如下:
函数
y=2x(x∈N+)
y=0.997520x(x∈N+)
图像
定义域
正整数集N+
单调性
增函数
减函数
图像特征
一群孤立的点组成
　　【小结】通过列表、描点画图,即可得到正整数指数函数的图像,由于定义域为正整数集,所以不需要连成光滑曲线,图像就是由一群孤立的点组成.
探究三:【解析】(1)已知本金为a元,利率为r,则
1期后的本利和为y=a+a×r=a(1+r),
2期后的本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,
3期后的本利和为y=a(1+r)3,
x期后的本利和为y=a(1+r)x,x∈N+,
即本利和y随存期x变化的函数关系式为
y=a(1+r)x,x∈N+.
(2)将a=1000(元),r=2.25%,x=5代入上式,得
y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255≈1117.68(元),
即5期后本利和约为1117.68元.
【小结】在实际问题中,经常会遇到类似探究三中的指数增长模型:设原有量为N,平均增长率为p,则对于经过时间x后的总量y可以用y=N(1+p)x表示,我们把形如y=kax(k∈R,a>0且a≠1)的函数称为指数型函数,这是非常有用的函数模型.
思维拓展应用
应用一:∵3a-2>0,且3a-2≠1,∴a>,且a≠1,x∈N+.
　　应用二:
(1)由计算器可计算经过1,2,3,4,5年后森林面积分别为:1.11=1.1;1.12=1.21;1.13=1.331;1.14=1.4641;1.15=1.61051.
(2)经过x年森林面积为y,则y=1.1x(x∈N+),由图像可知函数为单调递增函数.
应用三:由题意知,人口数y(百万)与经过年数x的关系式为y=1×(1+1%)x=1.01x(x∈N+),到2015年底经过15年,∴y=1.0115≈1.1610(百万).
基础智能检测
1.A
2.A　12年共降价3次,每次降价后的价格是原价格的,12年后价格降为8100×()3=2400(元).
3.0　令52x-1=125=53,得2x-1=3,x=2,所以f(125)=f(52×2-1)=2-2=0.
4.解:由题意得m2+m+1=1,
解得m=0或m=-1,
∴A={0,-1}.
全新视角拓展
设新树苗的木材量为Q,则十年后有两种结果:
①连续生长十年,木材量N=Q(1+18%)5(1+10%)5,
②生长五年后重栽,木材量M=2Q(1+18%)5,
则=,
因为(1+10%)5≈1.61<2,所以>1,即M>N.
因此,生长五年后重栽可获得较大的木材量.
思维导图构建
y=ax　R+