3.1 正整数指数函数 学案10（含答案）

3.1
正整数指数函数
学案
课标解读
1.了解正整数指数函数模型的实际背景．2．了解正整数指数函数的概念．(重点)3．理解具体的指数函数的图像特征．(重点)4．会用正整数指数函数解决某些实际问题．(难点)
知识点
正整数指数函数的概念
【问题导思】　
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．
1．你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时，得到的细胞个数吗？
【提示】
分裂次数
1
2
3
4
5
6
7
8
细胞个数
2
4
8
16
32
64
128
256
2．你能用图像表示1个细胞分裂的次数n(n∈N＋)与得到的细胞个数y之间的关系吗？
【提示】
3．请你写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式．
1．正整数指数函数
一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
2．正整数指数函数的图像特点
前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点．
3．指数型函数
把形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数.
(见学生用书第35页)
类型1
正整数指数函数的定义
　下列函数中一定是正整数指数函数的是(　　)
A．y＝(－4)x(x∈N＋)　　　B．y＝()x(x∈N＋)
C．y＝2×3x(x∈N＋)
D．y＝x3(x∈N＋)
【思路探究】　熟练掌握定义中的三个特征是解决本题的关键．
【自主解答】　y＝(－4)x的底数－4<0，不是正整数指数函数；y＝2×3x中3x的系数等于2，不是正整数指数函数；y＝x3中自变量x在底数的位置上，是幂函数，不是正整数指数函数；由正整数指数函数的定义知，只有y＝()x是正整数指数函数．
【答案】　B
1．正整数指数函数解析式的基本特征：ax前的系数必须是1，自变量x∈N＋，且x在指数的位置上，底数a是大于零且不等于1的常数．
2．要注意正整数指数函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)与幂函数y＝xa的区别．
若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则实数a的值为________．
【解析】　若函数y＝(a2－3a＋3)·ax为正整数指数函数，则ax的系数a2－3a＋3＝1，且底数a>0，a≠1.由此可知，实数a的值为2.
【答案】　2
类型2
正整数指数函数的图像与性质
　(1)画出函数y＝()x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性；
(2)画出函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．
【思路探究】　使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．
【自主解答】　(1)函数y＝()x(x∈N＋)的图像如图(1)所示，从图像可知，函数y＝()x(x∈N＋)是单调递减的；
(2)函数y＝3x(x∈N＋)的图像如图(2)所示，从图像可知，函数y＝3x(x∈N＋)是单调递增的．
(1)　　　　　　　　　　(2)
1．正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．
2．当01时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．
　(1)函数y＝()x，x∈N＋的图像是(　　)
A．一条上升的曲线　　　B．一条下降的曲线
C．一系列上升的点
D．一系列下降的点
(2)函数y＝7x，x∈N＋的单调递增区间是(　　)
A．R
B．N＋
C．[0，＋∞)
D．不存在
【解析】　(1)因为正整数指数函数y＝()x，x∈N＋的底数大于零且小于1，所以它的图像从左向右是一系列下降的点．
(2)虽然正整数指数函数y＝7x，x∈N＋在定义域N＋上单调递增，但是N＋不是区间，所以该函数不存在单调区间．
【答案】　(1)D　(2)D
类型3
正整数指数函数的应用
　某种储蓄按复利计算利息，已知本金为a元，每期利率为r.
(1)写出本利和y(单位：元)关于存期x的函数关系式；
(2)如果存入本金1
000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．
【思路探究】　列出本利和随存期逐期变化的情况，总结变化过程便可得到函数关系式，再根据函数关系式求解第(2)小题．
【自主解答】　(1)已知本金为a元，每期利率为r，则
1期后的本利和为a＋a×r＝a(1＋r)元，
2期后的本利和为a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2元，
3期后的本利和为a(1＋r)3元，
……
x期后的本利和为a(1＋r)x元，
所以本利和y关于存期x的函数关系式为
y＝a(1＋r)x，x∈N＋.
(2)已知a＝1
000，r＝2.25%，x＝5，
所以y＝1
000×(1＋2.25%)5＝1
000×1.022
55≈1
117.68(元)．
所以5期后的本利和约为1
117.68元．
1．由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段．
2．在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式y＝N(1＋p)x表示．
　已知镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20克的镭经过x百年后剩留量为y克(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1
000年后镭的质量．(可以用计算器)
【解】　由题意知，镭原来质量为20克，如果把100年看成一个基数，那么每经过100年镭的质量变化如下：
100年后镭的质量为20×95.76%克；
200年后镭的质量为20×(95.76%)2克；
300年后镭的质量为20×(95.76%)3克；
……
x百年后镭的质量为20×(95.76%)x克．
∴y与x之间的函数关系式为
y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)．
∴经过1
000年(即x＝10)后镭的质量为y＝20×(95.76%)10＝12.967
95(克)．
(见学生用书第36页)
忽略实际问题中函数的定义域致误
　一种机器的年产量原为1万台，在今后10年内，计划使年产量平均比上一年增加10%.
(1)试写出年产量y(万台)随年数x(年)变化的关系式，并写出其定义域；
(2)画出其函数图像．
【错解】　(1)y＝(1＋10%)x＝1.1x，∴y与x的关系式是y＝1.1x，其定义域是[0，＋∞)．
(2)
【错因分析】　本题错误的原因是没有注意自变量x的实际意义，错误地将定义域写成[0，＋∞)．
【防范措施】　解决此类问题首先应认真阅读题意，弄清自变量x的实际意义，再根据实际意义确定函数的定义域．
【正解】　(1)y＝(1＋10%)x＝1.1x，∴y与x的关系式是y＝1.1x，其定义域是{x|x≤10，x∈N＋}．
(2)
1．一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫正整数指数函数，其中x是自变量，定义域为正整数集，图像是一些孤立的点，当a>1时，函数是递增的，当02．形如y＝N(1＋P)x的函数叫做指数型函数．在实际问题中，常常遇到有关增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，增长率为P，则对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.
3．正整数指数函数y＝ax(x∈N＋)从形式上与幂函数形式上的对比：
x
a(α)
形式
指数函数y＝ax
指数
底数
幂
幂函数y＝xα
底数
指数
幂
(见学生用书第37页)
1．函数y＝5x，x∈N＋的值域是(　　)
A．R　　　　　　　B．N＋
C．N
D．{5,52,53,54，…}
【解析】　因为函数y＝5x，x∈N＋的定义域为正整数集N＋，所以当自变量x取1,2,3,4，…时，其相应的函数值y依次是5,52,53,54，….因此，函数y＝5x，x∈N＋的值域是{5,52,53,54，…}．
【答案】　D
2．函数y＝()x，x∈N＋是(　　)
A．增函数
B．减函数
C．奇函数
D．偶函数
【解析】　由正整数指数函数不具有奇偶性，可排除C、D；因为函数y＝()x，x∈N＋的底数大于1，所以此函数是增函数．
【答案】　A
3．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积平均每年比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图像大致为(　　)
【解析】　y＝f(x)的解析式为y＝(1＋10.4%)x(x≥)．可知函数的图像大致为D选项．
【答案】　D
4．据国务院发展研究中心2
000年发表的《未来20年我国发展前景思路》判断，未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%.那么，到2
020年，我国的GDP可望为2
000年的________倍．
【解析】　如果把我国2
000年的GDP看成是1个单位，2
001年为第1年，那么1年后，即2001年的GDP为2
000年的(1＋7.3%)1倍．
同理，2
002年的GDP为2
000年的(1＋7.3%)2倍，依此类推，2
020年的GDP为2
000年的(1＋7.3%)20倍．
【答案】　(1＋7.3%)20
(见学生用书第101页)
一、选择题
1．下列函数：①y＝3x2(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝3×2x(x∈N＋)，其中正整数指数函数的个数为(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
【解析】　由正整数指数函数的定义知，只有②中的函数是正整数指数函数．
【答案】　B
2．函数f(x)＝()x，x∈N＋，则f(2)等于(　　)
A．2
B．8
C．16
D.
【解析】　∵f(x)＝(x)x∈N＋，
∴f(2)＝()2＝.
【答案】　D
3．(2013·阜阳检测)若正整数指数函数过点(2,4)，则它的解析式为(　　)
A．y＝(－2)x
B．y＝2x
C．y＝()x
D．y＝(－)x
【解析】　设y＝ax(a＞0且a≠1)，
由4＝a2得a＝2.
【答案】　B
4．正整数指数函数f(x)＝(a＋1)x是N＋上的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．a<0
B．－1C．0D．a<－1
【解析】　∵函数f(x)＝(a＋1)x是正整数指数函数，且f(x)为减函数，
∴0∴－1【答案】　B
5．由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低，设现在的电脑价格为8
100元，则3年后的价格可降为(　　)
A．2
400元
B．2
700元
C．3
000元
D．3
600元
【解析】　1年后价格为
8
100×(1－)＝8
100×＝5
400(元)，
2年后价格为
5
400×(1－)＝5
400×＝3
600(元)，
3年后价格为
3
600×(1－)＝3
600×＝2
400(元)．
【答案】　A
二、填空题
6．已知正整数指数函数y＝(m2＋m＋1)()x(x∈N＋)，则m＝______.
【解析】　由题意得m2＋m＋1＝1，
解得m＝0或m＝－1，
所以m的值是0或－1.
【答案】　0或－1
7．比较下列数值的大小：
(1)()3________()5；
(2)()2________()4.
【解析】　由正整数指数函数的单调性知，
()3<()5，()2>()4.
【答案】　(1)<　(2)>
8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2012年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为________吨，2020年的垃圾量为________吨．
【解析】　由题意知，下一年的垃圾量为a×(1＋b)，从2012年到2020年共经过了8年，故2020年的垃圾量为a×(1＋b)8.
【答案】　a×(1＋b)　a×(1＋b)8
三、解答题
9．已知正整数指数函数f(x)＝(3m2－7m＋3)mx，x∈N＋是减函数，求实数m的值．
【解】　由题意，得3m2－7m＋3＝1，解得m＝或m＝2，又f(x)是减函数，则010．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．
【解】　(1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)∵f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，
∴f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3；f(x)无最大值．
11．某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t)．
(1)写出函数y＝f(t)的定义域和值域；
(2)在坐标系中画出y＝f(t)(0≤t<6)的图像；
(3)写出研究进行到n小时(n≥0，n∈Z)时，细菌的总个数(用关于n的式子表示)．
【解】　(1)y＝f(t)的定义域为{t|t≥0}，值域为{y|y＝2m，m∈N＋)}；
(2)0≤t<6时，f(t)为一分段函数，
y＝
图像如图所示．
(3)n为偶数且n≥0时，y＝2＋1；
n为奇数且n≥0时，y＝2＋1.
∴y＝