第29讲 数列的概念与简单表示法
【知识点1】已知Sn求an 2
【知识点2】已知an与Sn的关系求an 6
【知识点3】累加法求通项公式 11
【知识点4】累乘法求通项公式 14
【知识点5】数列的周期性 17
【知识点6】数列的最值 20
1．数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的表示方法
列表法 列出表格表示n与an的对应关系
图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中
解析 式法 通项公式 数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
3.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
4.数列的前n项和
(1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列{an}的前n项和．
(2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
【知识点1】已知Sn求an
已知Sn求an的步骤
步骤一 利用a1＝S1，求出a1
步骤二 用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出当n≥2时an的表达式
步骤三 检验当n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并
例1：
【例1】（2024秋 金安区期末）若数列满足，，则 ．
【答案】．
【分析】根据与的关系，结合累乘法求解即可．
【解答】解：因为，
所以，
两式相减可得，，
由累乘法可得：，，，，
将上述个式相乘可得：
，
所以．
故答案为：．
【例2】（2024秋 昆明期末）已知数列的前项和，则下列正确的是
A．为递增数列 B． C． D．
【答案】
【分析】根据数列的性质即可求解．
【解答】解：，令得，
当时，，
，
①②得，，所以．
故选：．
【例3】（2025春 崇义县月考）数列的前项和为，已知，则
A． B．是递减数列
C．当时， D．当或4时，取得最大值
【答案】
【分析】首先根据，的关系求出数列的分段表达式，然后结合数列的性质即可逐一判断各个选项求解．
【解答】解：根据题意，数列满足，
当时，有，
当，时，，
依次分析选项：
对于，，故正确；
对于，，故错误；
对于，显然，当，时，当且仅当，故正确；
对于，由于，，所以当或4时，取得最大值，故正确．
故选：．
【例4】（2025春 孝感期中）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）已知数列满足．①，当时，，②，两式相减即可得解；
（2）由（1）可得：，然后累加求和即可．
【解答】解：（1）已知数列满足．①
当时，，②
由①②可得：，
即，，
又满足上式，
即；
（2）由（1）可得：，
则．
【例5】（2025春 南宁月考）数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据给定条件结合与的关系求解；
（2）由结合（1）可求出，再利用裂项相消法计算得解．
【解答】解：（1）当时，，
当时，，
所以，
又满足上式，
所以；
（2）由（1）得，．
所以，
所以，
即．
【知识点2】已知an与Sn的关系求an
n与an关系问题的解题策略
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
策略一 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解
策略二 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解
【例6】（2025春 盐城期中）已知数列的前项和为，满足，则
A．364 B．362 C．121 D．120
【答案】
【分析】首先利用公式可确定是等比数列，进一步利用等比数列前项和公式求出即可．
【解答】解：当时，，解得，
当时，由，得，
两式相减得，，即，故，
所以数列是以为首项以为公比的等比数列，
所以．
故选：．
【例7】（2025春 宝山区期中）已知数列的前项和为，且，，则 97 ．
【答案】97．
【分析】由递推关系得到，再用累加法和等差数列的求和公式求出结果即可．
【解答】解：依题意，由，
可得，
即，
则，
，
，
，
各项相加，
可得，
化简整理，可得
．
故答案为：97．
【例8】（2025 和平区一模）已知正项数列的前项和满足，则 ．
【答案】．
【分析】通过题给条件逐项计算发现规律，即可写出的值．
【解答】解：由题知，
当时，，
所以，因为，
解得，
时，，
即，
所以，
因为，解得，
时，，
即，
即，
所以，
因为，
解得，
同理可得，．
故答案为：．
【例9】（2025 汉中模拟）设正项数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和的取值范围．
【答案】（1）；
（2），．
【分析】（1）利用降标作差得，，再分别求出奇偶项的通项公式即可；
（2）利用错位相减法求出数列的前项和，再令，求证其增减性即可求出范围．
【解答】解：（1）由，得，
两式相减得，
因为数列为正项数列，
所以，
令，得，解得，
所以数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，
故为奇数时，，
数列的偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，
故为偶数时，，
综上可得，数列的通项公式为；
（2）由（1）可得，
设数列的前项和为，则，
则，
两式相减得，
即，
所以，
令，则，
则数列为递减数列，且，
则，
所以，
所以数列的前项和的取值范围是，．
【例10】（2025 辽宁模拟）记数列的前项和为，已知．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用和等比数列的定义即可求证；
（2）由（1）通过等比数列求通项公式即可求解；
（3）利用错位相减法和分组求和即可求解．
【解答】解：（1）证明：根据题意，当时，，解得，
当时，由，得，
所以，
即，即，
又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得，
所以，
（3）由（2）得，
记，
则，
两式相减得，
即，
所以，
所以．
【知识点3】累加法求通项公式
形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式
【例11】（2024秋 合浦县期中）数列满足且，则
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】由，得，利用累加法可求得答案，注意检验时的情形．
【解答】解：由，得，
时，，，，，，
以上各式相加，得，
又，，
又适合上式，
，
故选：．
【例12】（2024 潮州二模）已知数列满足：，，则
A． B． C． D．
【分析】通过数列的递推关系式，利用累加法转化求解即可．
【解答】解：数列满足：，，
即，
所以，
，
，
，
累加可得：
．
．
故选：．
【例13】（2024 龙潭区模拟）数列，若，，则
A．34 B．43 C．53 D．64
【分析】利用数列的递推关系式，逐项求解即可．
【解答】解：数列，若，，
所以：时，，
时，，
时，，
时，，
时，，
时，，
时，，
故选：．
【例14】（2025 沧州一模）已知数列满足：，，则
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】
【分析】根据题设有，累加可得，即可求结果．
【解答】解：数列满足：，，
可得，则，
即，则．
故选：．
【例15】（2024秋 潞州区月考）已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和，求证．
【分析】（1）将，移向并裂项，得出 利用累加法求数列的通项公式；
（2）由（1）知，，利用错位相消法求出，再证．
【解答】解：（1），
，
．
（2）由（1）知，，
，
两式相减得
，
化简得，
．
【知识点4】累乘法求通项公式
形如＝f(n)的数列，常令n分别为1，2，3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
例1：
【例16】（2024秋 集美区月考）在数列中，，且，则数列的通项公式 ．
【答案】．
【分析】根据数列的递推关系式，结合累乘法即可求解结论．
【解答】解：数列中，，且，
，
可得：，
，
，
．
，
，
，也适合）
故答案为：．
【例17】（2025春 吉林期中）已知数列满足，且，则 ．
【答案】．
【分析】直接根据递推关系式整理得到，进而求解结论．
【解答】解：数列满足，且，
，
，
，
故答案为：．
【例18】（2025春 海淀区期中）已知，，则数列的通项公式
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】
【分析】由可得，即，从而利用累加法即可求出．
【解答】解：由，得，即，
所以．
故选：．
【例19】（2025春 南宁期末）已知数列，且，则的通项公式 ．
【答案】．
【分析】由题意得，即当时，，，，，利用累乘法，即可得出答案．
【解答】解：且，
，即当时，，，，，
由累乘法得，即，
又符合上式，
．
故答案为：．
【例20】已知数列满足，，求的通项公式．
【分析】通过与作差、整理可知，进而利用累乘法计算即得结论．
【解答】解：，
，
两式相减得：，
整理得：，
，，，，
累乘得：，
又，
．
【知识点5】数列的周期性
解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，或者根据给出的关系式进行变形，推导出an＝an＋T，从而得到数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和．
例1：
【例21】（2025春 振兴区期中）若数列满足，，则
A．8 B． C． D．
【答案】
【分析】根据递推关系得到数列的前几项以及它的周期性，据此求解．
【解答】解：因为，，
所以，同理，，
，，，
所以是周期为4的数列，
故．
故选：．
【例22】（2025春 南宁期中）已知数列满足，且，则
A． B．1 C． D．
【答案】
【分析】先求出前几项，发现规律，为周期数列，一个周期为4，并且，从而得到，计算出答案．
【解答】解：根据题意，，解得，
所以，，
，，
所以是以4为周期的周期数列，
又，
所以．
故选：．
【例23】（2025 清江浦区模拟）已知数列满足，，，设，则数列的前21项和为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】令，证出数列是以3为周期的周期数列，再利用分组求和法，结合等比数列求和公式即可求解．
【解答】解：因为，则，
令，
所以，
因为，所以，
当时，，
当时，，
当时，，
所以数列是以3为周期的周期数列，
因此，数列的通项公式为：，，
所以，，
由可得，数列的通项公式为：，，
数列的前21项和可分组求和：
，
这是一个首项为，公比为的等比数列的前7项和，
根据等比数列求和公式可得：．
故选：．
【例24】（2025 铜仁市三模）数列满足，若，则 1 ．
【答案】1．
【分析】由题意可得：数列是周期为4的周期数列，则，得解．
【解答】解：数列满足，
则，
则，
即数列是周期为4的周期数列，
又，
则．
故答案为：1．
【例25】（2025春 盐城期末）数列满足，，则
A． B． C． D．3
【答案】
【分析】由数列递推式求数数列的前几项，得到数列的周期，再结合周期性即可求得．
【解答】解：因为，，
所以，，，
所以数列是周期为3的周期数列，
所以．
故选：．
【知识点6】数列的最值
求数列的最大项与最小项的常用方法
单调性法 根据数列的单调性判断
不等式法 利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项
例1：
【例26】（2025 固始县二模）已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为
A．63 B．64 C．71 D．72
【答案】
【分析】根据题意分析可得：若取最大值时，，结合等差数列分析、验证可得答案．
【解答】解：根据题意，因为为递增数列且均为正整数，
若取最大值时，，
，
，
，，
，
，
的最大值为63，此时，，，，，，
的最大值为．
故选：．
【例27】（2025 岳阳模拟）已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】
【分析】对通项公式化简变形后可求得当或时，，当时，，从而可求出取到最小值时的值．
【解答】解：，
由，得，解得或，
，当或时，，当时，，
当时，取得最小值．
故选：．
【例28】（2025春 赣州期中）已知数列的通项公式为，则的最小项为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据二次函数的图象与性质研究，结合求出答案．
【解答】解：二次函数的图象是开口向上的抛物线，关于直线对称，
因为，，且，，所以可能的最小项为或，
结合，，可知的最小项为．
故选：．
【例29】（2025春 沈阳月考）已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】
【分析】分，和，判断的单调性，即可求解．
【解答】解：因为，
当，时，，单调递减，
且，
所以当，时，，单调递减，
且，
所以取到最小值时的值是7．
故选：．
【例30】（2025春 宝山区期末）已知数列的通项公式是，数列最大项是 ．
【答案】．
【分析】设数列第项最大，将通项公式代入不等式组，求出，即可得到数列的最大项．
【解答】解：由，
可得，，
若为最大项，则有，
即，解得，
当或时，数列取得最大项，
故数列的最大项为．
故答案为：．第29讲 数列的概念与简单表示法
【知识点1】已知Sn求an 2
【知识点2】已知an与Sn的关系求an 3
【知识点3】累加法求通项公式 4
【知识点4】累乘法求通项公式 5
【知识点5】数列的周期性 6
【知识点6】数列的最值 7
1．数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的表示方法
列表法 列出表格表示n与an的对应关系
图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中
解析 式法 通项公式 数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
3.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
4.数列的前n项和
(1)表示：在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列{an}的前n项和．
(2)an与Sn的关系：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
【知识点1】已知Sn求an
已知Sn求an的步骤
步骤一 利用a1＝S1，求出a1
步骤二 用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出当n≥2时an的表达式
步骤三 检验当n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并
例1：
【例1】（2024秋 金安区期末）若数列满足，，则 ．
【例2】（2024秋 昆明期末）已知数列的前项和，则下列正确的是
A．为递增数列 B． C． D．
【例3】（2025春 崇义县月考）数列的前项和为，已知，则
A． B．是递减数列
C．当时， D．当或4时，取得最大值
【例4】（2025春 孝感期中）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求．
【例5】（2025春 南宁月考）数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【知识点2】已知an与Sn的关系求an
n与an关系问题的解题策略
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
策略一 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解
策略二 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解
【例6】（2025春 盐城期中）已知数列的前项和为，满足，则
A．364 B．362 C．121 D．120
【例7】（2025春 宝山区期中）已知数列的前项和为，且，，则 97 ．
【例8】（2025 和平区一模）已知正项数列的前项和满足，则 ．
【例9】（2025 汉中模拟）设正项数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和的取值范围．
【例10】（2025 辽宁模拟）记数列的前项和为，已知．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和．
【知识点3】累加法求通项公式
形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式
【例11】（2024秋 合浦县期中）数列满足且，则
A． B．
C． D．
【例12】（2024 潮州二模）已知数列满足：，，则
A． B． C． D．
【例13】（2024 龙潭区模拟）数列，若，，则
A．34 B．43 C．53 D．64
【例14】（2025 沧州一模）已知数列满足：，，则
A．10 B．11 C．12 D．13
【例15】（2024秋 潞州区月考）已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和，求证．
【知识点4】累乘法求通项公式
形如＝f(n)的数列，常令n分别为1，2，3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
例1：
【例16】（2024秋 集美区月考）在数列中，，且，则数列的通项公式 ．
【例17】（2025春 吉林期中）已知数列满足，且，则 ．
【例18】（2025春 海淀区期中）已知，，则数列的通项公式
A．3 B．4 C．5 D．6
【例19】（2025春 南宁期末）已知数列，且，则的通项公式 ．
【例20】已知数列满足，，求的通项公式．
【知识点5】数列的周期性
解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，或者根据给出的关系式进行变形，推导出an＝an＋T，从而得到数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和．
例1：
【例21】（2025春 振兴区期中）若数列满足，，则
A．8 B． C． D．
【例22】（2025春 南宁期中）已知数列满足，且，则
A． B．1 C． D．
【例23】（2025 清江浦区模拟）已知数列满足，，，设，则数列的前21项和为
A． B． C． D．
【例24】（2025 铜仁市三模）数列满足，若，则 1 ．
【例25】（2025春 盐城期末）数列满足，，则
A． B． C． D．3
【知识点6】数列的最值
求数列的最大项与最小项的常用方法
单调性法 根据数列的单调性判断
不等式法 利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项
例1：
【例26】（2025 固始县二模）已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为
A．63 B．64 C．71 D．72
【例27】（2025 岳阳模拟）已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是
A．6 B．7 C．8 D．9
【例28】（2025春 赣州期中）已知数列的通项公式为，则的最小项为
A． B． C． D．
【例29】（2025春 沈阳月考）已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是
A．6 B．7 C．8 D．9
【例30】（2025春 宝山区期末）已知数列的通项公式是，数列最大项是 ．
