第30讲 等差数列
【知识点1】等差数列基本量的运算 2
【知识点2】等差数列项的性质 5
【知识点3】等差数列前n项和的性质 7
【知识点4】等差数列前n项和的最值问题 9
【知识点5】等差数列的判定与证明 12
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
数学语言表达式：an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b．
提醒：在等差数列{an}中，从第2项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列 an＋1＋an－1＝2an(n≥2)．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：Sn＝或Sn＝na1＋d．
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，当m＋n＝2p时，am＋an＝2ap.
(3)若已知等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn，则
①等间距抽取ap，ap＋t，ap＋2t，…，ap＋(n－1)t，…为等差数列，公差为td；
②等长度截取Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列，公差为m2d；
③算术平均值，，，…，即数列为等差数列，公差为.
(4)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝；
若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an，S奇－S偶＝an，＝.
(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}(其中p，q为常数)也是等差数列．
常用结论：
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
5．若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则＝.
【知识点1】等差数列基本量的运算
等差数列基本量运算的思想方法
方程思想 等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可通过方程组达到“知三求二”
整体思想 当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解
等价转化思想 运用等差数列性质可以化繁为简，优化解题过程
例1：
【例1】（2025 个旧市模拟）设等差数列的前项和为，若，则
A． B． C．1 D．
【分析】根据等差数列的公式进行求解得到，然后利用等差数列前项和公式进行求解即可．
【解答】解：在等差数列中，由，
得，
即，
即，
即，
则，
故选：．
【例2】（2025春 平谷区期末）已知等差数列中，，，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合等差数列的前项和公式，即可求解．
【解答】解：，，
当时，；
当时，，
故方程组，解得，
故．
故选：．
【例3】（2025春 四川期末）记等差数列的前项和为，若，，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意，利用进行求解即可．
【解答】解：是等差数列，
．
故选：．
【例4】（2025春 涪城区期中）设等差数列的前项和为，若，，则
A．40 B．42 C．44 D．46
【答案】
【分析】根据，，利用等差数列的求和公式求出首项，公差，再代入求和公式求解即可．
【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，
则，解得，
所以．
故选：．
【例5】（2025春 武强县期中）已知数列满足且，则
A． B．3 C． D．
【分析】根据题意，分析可得数列为公差为2的等差数列，由等差数列的性质可得，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，数列满足，即，即数列为公差为2的等差数列，
若，则，
则；
故选：．
【知识点2】等差数列项的性质
等差数列项的性质的关注点
关注点一 项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq
关注点二 等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质
关注点三 项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝相结合
【例6】（2024秋 黑龙江期末）在等差数列中，已知，，则
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】
【分析】本题根据等差中项的性质，有．通过计算可得正确选项．
【解答】解：由题意，根据等差中项的性质，有．
．
故选：．
【例7】（2024秋 深圳期末）已知等差数列满足，则等于
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】利用等差数列的性质，可得答案．
【解答】解：因为等差数列满足，
由等差数列的性质可得，，解得．
故选：．
【例8】（2025春 成都期中）已知数列满足，则其前9项和等于
A．150 B．180 C．300 D．360
【答案】
【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求解．
【解答】解：因为，
所以，所以其前9项和为．
故选：．
【例9】（2025春 河南月考）在等差数列中，若，则
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】
【分析】利用等差数列的下标和的性质可求解．
【解答】解：在等差数列中，
，
由等差数列的通项公式得，解得．
故选：．
【例10】（2025 肥城市模拟）等差数列满足，，则
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】
【分析】根据等差数列的性质求解即可．
【解答】解：设数列公差为，
由题可得，解得，，
故．
故选：．
【知识点3】等差数列前n项和的性质
熟练掌握等差数列前n项和的性质是解决此类试题的关键，解题时注意化归与转化思想的合理运用
【例11】（2025春 闵行区期末）设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论错误的是
A． B．
C． D．或为的最大值
【答案】
【分析】结合等差数列的性质检验各选项即可求解．
【解答】解：因为数列是以为公差的等差数列，，且，
则，即，正确；
所以，正确；
，即，错误；
由，可得，，，
所以或为的最大值，正确．
故选：．
【例12】（2025 临翔区模拟）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则
A． B． C． D．
E．均不是
【答案】
【分析】运用等差数列的等和性及等差数列前项和公式求解即可．
【解答】解：根据题意，数列，是等差数列，
则．
故选：．
【例13】（2024秋 河南期末）已知与分别是等差数列与等差数列的前项和，且，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】利用等差数列的性质，即可求解．
【解答】解：与分别是等差数列与等差数列的前项和，且，
由等差数列的性质可知，
所以．
故选：．
【例14】（2025春 赣州期中）设是等差数列的前项和，若，，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知可得，，成等差数列，计算即可求得的值．
【解答】解：是等差数列的前项和，
由等差数列的性质得：
，，成等差数列，
，，
，，
，，
．
故选：．
【例15】（2025 湖北模拟）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据等差数列前项和的性质，可设，，求出和，可得比值．
【解答】解：因为等差数列的前项和形式必为，
所以若，则不妨设，，
则，，所以．
故选：．
【知识点4】等差数列前n项和的最值问题
求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法
邻项变号法 利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，即可求得最值 (1)当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm； (2)当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm
利用等差数列的性质，求出其正负转折项，即可求得最值
函数法 利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数的最值的方法求解
．
例1：
【例16】（2025春 沙坪坝区期末）等差数列的公差为，前项和为，若，，则当取得最大值时，
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解．
【解答】解：等差数列中，，，
解得，，，
所以，
故，，
则当取得最大值时，．
故选：．
【例17】（2025春 南阳期末）若是等差数列，表示的前项和，，，则中最大的项是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合等差数列的求和公式及等差数列的性质即可求解．
【解答】解：若是等差数列，，，
则，，
故中最大的项是．
故选：．
【例18】（2025春 郏县期末）已知等差数列的前项和为，且，则使的最大值为
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】
【分析】根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，即可求解．
【解答】解：，
则，解得，
又，
故，，
，，
故使的最大值为10．
故选：．
【例19】（2025春 成都期末）已知等差数列的前项和为，，，，则取最大值时的值为
A．8 B．9 C．10 D．18
【答案】
【分析】由等差数列的前项和公式推导出，从而，由此能求出取最大值时的值．
【解答】解：等差数列的前项和为，，，，
，
整理得，
，
取最大值时的值为9．
故选：．
【例20】（2025 鹰潭模拟）记为等差数列的前项和，且，则满足的的最大值为
A．40 B．41 C．42 D．43
【答案】
【分析】根据，可得，，可解出，再解不等式，可求出满足的的最大值．
【解答】解：因为，所以，，故公差，，
令，即，解得且，所以满足的的最大值为41．
故选：．
【知识点5】等差数列的判定与证明
等差数列的判定与证明的常用方法
判定方法 定义法 对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数
等差中项法 对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1
通项公式法 对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)
前n项和公式法 对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)
证明方法 定义法 对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数
等差中项法 对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1
例1：
【例21】（2025 榆阳区开学）已知等差数列满足：，，的前项和为．
（1）求和；
（2）令，，求证数列是等差数列．
【答案】（1），；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据题意，设等差数列的公差为，则有，解可得答案；
（2）求出数列通项公式，进而可得，即可得结论．
【解答】解：（1）根据题意，设等差数列的公差为，
若，，则有，解可得，
故，
则；
（2）证明：由（1）的结论，，则，
满足，且；
故数列是等差数列．
【例22】（2025春 江西期中）已知等差数列的前项和为，若，．
（1）求数列的通项公式．
（2）证明：数列为等差数列．
【答案】（1）；（2）证明见解答．
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式，方程思想，即可求解；
（2）根据等差数列的求和公式，等差数列的定义，即可证明．
【解答】解：（1）等差数列的前项和为，
又，，
，
解得，
；
（2）证明：由（1）可得，
，
，
数列是公差为1的等差数列．
【例23】（2024秋 天津月考）若数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式，
（2）证明是等差数列．
【答案】（1）；
（2）详见解答过程．
【分析】（1）结合数列的和与项的递推关系及等差数列的通项公式即可求解；
（2）结合等差数列的定义即可证明．
【解答】解：（1）因为，
当时，，
当时，适合上式，
故；
（2）证明：因为，
所以，
故数列是等差数列．
【例24】（2023秋 深圳期末）记为数列的前项和．
（1）若为等差数列，满足，求公差；
（2）已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）代入等差数列的求和公式即可得；（2）利用等差数列定义证明即可．
【解答】解：（1）由可得：，解得；
（2）设数列的公差为为常数），
是等差数列，所以当时，，
，
，①，
当时，②，
由①②得 ③，
经检验，当时也满足③，
，，
当时，，
是等差数列．
【例25】（2024秋 渭滨区期末）设是数列的前项和，定义等斜率数列且，等式恒成立．
（1）若是首项为1，公比为3的等比数列，请判断是否为等斜率数列，并说明理由；
（2）已知是等斜率数列，证明：是等差数列．
【答案】（1）不为等斜率数列，理由见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据题意先求出的表达式，然后利用等斜率数列的定义加以判断，可得答案；
（2）由已知条件推导出，可得，进而可证出，可得结论．
【解答】（1）解：若是首项为1，公比为3的等比数列，则不为等斜率数列，理由如下：
证明：等比数列的首项为1，公比，可得，
当，时，，，
此时，故不为等斜率数列．
（2）证明：若是等斜率数列，为数列的前项和，
取时，且，，，整理得，即，
当时，，两式相减，得，即，
所以，即，整理得．
当时，由得，所以；
当时，由，得，所以，
则，所以，即．
综上所述，对于任意正整数，都有，所以是等差数列．第30讲 等差数列
【知识点1】等差数列基本量的运算 2
【知识点2】等差数列项的性质 3
【知识点3】等差数列前n项和的性质 4
【知识点4】等差数列前n项和的最值问题 5
【知识点5】等差数列的判定与证明 6
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
数学语言表达式：an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)．
(2)等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b．
提醒：在等差数列{an}中，从第2项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列 an＋1＋an－1＝2an(n≥2)．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：Sn＝或Sn＝na1＋d．
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，当m＋n＝2p时，am＋an＝2ap.
(3)若已知等差数列{an}，公差为d，前n项和为Sn，则
①等间距抽取ap，ap＋t，ap＋2t，…，ap＋(n－1)t，…为等差数列，公差为td；
②等长度截取Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列，公差为m2d；
③算术平均值，，，…，即数列为等差数列，公差为.
(4)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝；
若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an，S奇－S偶＝an，＝.
(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}(其中p，q为常数)也是等差数列．
常用结论：
1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
3．等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．
4．数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
5．若{an}与{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn与Tn，则＝.
【知识点1】等差数列基本量的运算
等差数列基本量运算的思想方法
方程思想 等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可通过方程组达到“知三求二”
整体思想 当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解
等价转化思想 运用等差数列性质可以化繁为简，优化解题过程
例1：
【例1】（2025 个旧市模拟）设等差数列的前项和为，若，则
A． B． C．1 D．
【例2】（2025春 平谷区期末）已知等差数列中，，，则
A． B． C． D．
【例3】（2025春 四川期末）记等差数列的前项和为，若，，则
A． B． C． D．
【例4】（2025春 涪城区期中）设等差数列的前项和为，若，，则
A．40 B．42 C．44 D．46
【例5】（2025春 武强县期中）已知数列满足且，则
A． B．3 C． D．
【知识点2】等差数列项的性质
等差数列项的性质的关注点
关注点一 项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq
关注点二 等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质
关注点三 项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝相结合
【例6】（2024秋 黑龙江期末）在等差数列中，已知，，则
A．5 B．6 C．7 D．8
【例7】（2024秋 深圳期末）已知等差数列满足，则等于
A．1 B．2 C．3 D．4
【例8】（2025春 成都期中）已知数列满足，则其前9项和等于
A．150 B．180 C．300 D．360
【例9】（2025春 河南月考）在等差数列中，若，则
A．8 B．7 C．6 D．5
【例10】（2025 肥城市模拟）等差数列满足，，则
A．14 B．16 C．18 D．20
【知识点3】等差数列前n项和的性质
熟练掌握等差数列前n项和的性质是解决此类试题的关键，解题时注意化归与转化思想的合理运用
【例11】（2025春 闵行区期末）设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论错误的是
A． B．
C． D．或为的最大值
【例12】（2025 临翔区模拟）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则
A． B． C． D．
E．均不是
【例13】（2024秋 河南期末）已知与分别是等差数列与等差数列的前项和，且，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【例14】（2025春 赣州期中）设是等差数列的前项和，若，，则
A． B． C． D．
【例15】（2025 湖北模拟）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则
A． B． C． D．
【知识点4】等差数列前n项和的最值问题
求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法
邻项变号法 利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，即可求得最值 (1)当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm； (2)当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm
利用等差数列的性质，求出其正负转折项，即可求得最值
函数法 利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数的最值的方法求解
．
例1：
【例16】（2025春 沙坪坝区期末）等差数列的公差为，前项和为，若，，则当取得最大值时，
A．4 B．5 C．6 D．7
【例17】（2025春 南阳期末）若是等差数列，表示的前项和，，，则中最大的项是
A． B． C． D．
【例18】（2025春 郏县期末）已知等差数列的前项和为，且，则使的最大值为
A．9 B．10 C．11 D．12
【例19】（2025春 成都期末）已知等差数列的前项和为，，，，则取最大值时的值为
A．8 B．9 C．10 D．18
【例20】（2025 鹰潭模拟）记为等差数列的前项和，且，则满足的的最大值为
A．40 B．41 C．42 D．43
【知识点5】等差数列的判定与证明
等差数列的判定与证明的常用方法
判定方法 定义法 对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数
等差中项法 对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1
通项公式法 对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)
前n项和公式法 对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)
证明方法 定义法 对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数
等差中项法 对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1
例1：
【例21】（2025 榆阳区开学）已知等差数列满足：，，的前项和为．
（1）求和；
（2）令，，求证数列是等差数列．
【例22】（2025春 江西期中）已知等差数列的前项和为，若，．
（1）求数列的通项公式．
（2）证明：数列为等差数列．
【例23】（2024秋 天津月考）若数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式，
（2）证明是等差数列．
【例24】（2023秋 深圳期末）记为数列的前项和．
（1）若为等差数列，满足，求公差；
（2）已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列．
【例25】（2024秋 渭滨区期末）设是数列的前项和，定义等斜率数列且，等式恒成立．
（1）若是首项为1，公比为3的等比数列，请判断是否为等斜率数列，并说明理由；
（2）已知是等斜率数列，证明：是等差数列．
