第31讲 等比数列
【知识点1】等比数列基本量的运算 3
【知识点2】等比数列项的性质 4
【知识点3】等比数列前n项和的性质 5
【知识点4】等比数列前n项和(积)的最值问题 6
【知识点5】等比数列的判定与证明 7
1．等比数列的有关概念
(1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时G2＝ab．
提醒：(1)“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．
(2)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数．
(3)等比数列的奇数项符号相同，偶数项符号相同．
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3．等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有akal＝aman．
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm．
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn．
常用结论：
1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{can}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{anbn}，也是等比数列．
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
4．三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.
5．若已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则Sn＝＝·qn＋＝kqn－k(k≠0，q≠1)，即Sn为关于n的指数型函数，且qn的系数与常数项互为相反数．
6．{an}为等比数列，若a1a2…an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
7．若{an}为正项等比数列，则{logcan}(c>0，c≠1)为等差数列．
8．若{an}为等差数列，则{can}(c>0，c≠1)为等比数列．
9．若{an}既是等差数列又是等比数列 {an}是非零常数列．
10．(1)项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则＝q.
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm qn＝(q为公比)．
11．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列
【知识点1】等比数列基本量的运算
等比数列基本量运算的解题策略
方程思想 等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等比数列中包含a1，q，n，an，Sn五个量，可“知三求二”
整体思想 当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，q表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解
分类讨论思想 若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式时，要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论
例1：
【例1】（2025春 武汉期末）若等比数列满足，，则
A． B． C．16 D．32
【例2】（2025春 西城区期末）已知等差数列满足，且是和的等比中项，则
A．6 B．8 C．6或8 D．10
【例3】（2025春 遂宁期末）在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为
A．2 B．3 C．4 D．5
【例4】（2025 丰泽区模拟）在等比数列中，，，则
A．36 B． C． D．6
【例5】（2025春 南宁期末）已知递增等比数列的前项和为，，，则
A．8 B．6 C．4 D．2
【知识点2】等比数列项的性质
利用项的性质的解题策略
策略一 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q＝2k，则aman＝apaq＝a”，可以减少运算量，提高解题速度
策略二 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用
【例6】（2025春 东兴区月考）在等比数列中，，则
A． B．2 C． D．1
【例7】（2025 北京模拟）在等比数列中，，公比．若，则
A．9 B．10 C．11 D．12
【例8】（2025春 成都月考）若等比数列满足，，则等于
A． B． C． D．
【例9】（2024秋 厦门期末）正项等比数列中，，，则
A．4 B．8 C．32 D．64
【例10】（2024秋 深圳期末）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则
A． B． C． D．
【知识点3】等比数列前n项和的性质
利用前n项和的性质的解题策略
策略一 利用等比数列连续n项的片段和性质解决与前n项和有关的问题
策略二 利用项的个数的“奇偶”性质解决与公比有关的问题
【例11】（2025 临翔区模拟）已知等比数列，为其前项和，若，，则
A．3 B． C．2 D．3或
【例12】（2024秋 山西期末）已知等比数列的前项和为，若，，则
A．9 B．8 C．7 D．6
【例13】（2024秋 青铜峡市期末）已知在递增的正项等比数列中，，，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【例14】（2024秋 保定期末）已知等比数列的前项和满足，则常数 2 ．
【例15】（2024 玉山县模拟）记为等比数列的前项和，若，，则
A．120 B．85 C． D．
【知识点4】等比数列前n项和(积)的最值问题
等比数列前n项和(积)最值问题的解题策略
策略一 考虑公比与首项的符号对最值的影响
策略二 利用二次函数的单调性求最值
策略三 利用基本不等式求最值
例1：
【例16】（2025春 罗湖区期末）记等比数列的前项和为，若，则的最小值为
A． B． C． D．
【例17】（2025春 抚顺月考）设等比数列的前项和为，前项积为，且和的等差中项为5，则的最大值为
A．128 B．64 C．16 D．8
【例18】（2025 胶州市模拟）已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，
A．4 B．5 C．6 D．7
【例19】（2024秋 天山区期末）已知为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取最大值时为
A．4 B．5 C．4或5 D．5或6
【例20】（2024秋 自贡期末）已知为各项均为正数的等比数列，为其前项积，，当取得最大值时，为
A．3 B．4 C．5 D．6
【知识点5】等比数列的判定与证明
等比数列的判定与证明的方法
提示： (1)在解答题中证明一个数列为等比数列时，一般用定义法与等比中项法，在选填题中还可以用通项公式法和前n项和公式法来判定一个数列是否是等比数列．
(2)如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可．
(3)判定一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.
(4)在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证
例1：
【例21】（2024秋 新吴区期末）在数列中，，．
（1）求证是等比数列；
（2）记，求数列的前项和．
【例22】（2023秋 嘉定区期中）已知数列的前项和为，且，为正整数．
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的通项公式及其前项和．
【例23】（2023秋 鼓楼区期末）已知数列满足，，且．
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）若数列满足，求实数的取值范围．
【例24】（2024秋 芦淞区月考）数列的前项和为，已知，，证明：
（1）数列是等比数列；
（2）求与．
【例25】（2024秋 邻水县期中）已知数列的前项和，．
（1）求，的值；
（2）求证数列是等比数列并求通项公式．第31讲 等比数列
【知识点1】等比数列基本量的运算 3
【知识点2】等比数列项的性质 5
【知识点3】等比数列前n项和的性质 8
【知识点4】等比数列前n项和(积)的最值问题 11
【知识点5】等比数列的判定与证明 14
1．等比数列的有关概念
(1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时G2＝ab．
提醒：(1)“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．
(2)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数．
(3)等比数列的奇数项符号相同，偶数项符号相同．
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3．等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有akal＝aman．
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm．
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn．
常用结论：
1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{can}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{anbn}，也是等比数列．
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
4．三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个符号相同的数成等比数列，通常设为，，xq，xq3.
5．若已知等比数列{an}，公比为q，前n项和为Sn，则Sn＝＝·qn＋＝kqn－k(k≠0，q≠1)，即Sn为关于n的指数型函数，且qn的系数与常数项互为相反数．
6．{an}为等比数列，若a1a2…an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
7．若{an}为正项等比数列，则{logcan}(c>0，c≠1)为等差数列．
8．若{an}为等差数列，则{can}(c>0，c≠1)为等比数列．
9．若{an}既是等差数列又是等比数列 {an}是非零常数列．
10．(1)项的个数的“奇偶”性质，在等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇＝q；
②若共有2n＋1项，则＝q.
(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm qn＝(q为公比)．
11．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列
【知识点1】等比数列基本量的运算
等比数列基本量运算的解题策略
方程思想 等比数列的基本量为首项a1和公比q，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等比数列中包含a1，q，n，an，Sn五个量，可“知三求二”
整体思想 当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，q表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解
分类讨论思想 若题目中公比q未知，则运用等比数列前n项和公式时，要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论
例1：
【例1】（2025春 武汉期末）若等比数列满足，，则
A． B． C．16 D．32
【答案】
【分析】根据已知条件可建立关于首项和公比的方程组，计算出首项和公比后即可计算出即可．
【解答】解：设等比数列的公比为，
由题可得：，，
解得，，
则．
故选：．
【例2】（2025春 西城区期末）已知等差数列满足，且是和的等比中项，则
A．6 B．8 C．6或8 D．10
【答案】
【分析】根据等差数列的定义与通项公式，求出公差，再根据等比中项列方程求出，即可求出．
【解答】解：等差数列中，，所以公差，
又因为是和的等比中项，所以，解得，
所以．
故选：．
【例3】（2025春 遂宁期末）在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【分析】设等比数列的公比为，则，由，，成等差数列得出，结合得出，即可求解．
【解答】解：等比数列中，，，成等差数列，所以，
又，所以，
所以，故．
故选：．
【例4】（2025 丰泽区模拟）在等比数列中，，，则
A．36 B． C． D．6
【答案】
【分析】根据等比数列的性质即可求解．
【解答】解：等比数列中，由等比数列的性质可得，
，，，
则．
故选：．
【例5】（2025春 南宁期末）已知递增等比数列的前项和为，，，则
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】
【分析】根据等比数列递增确定的定义，利用首项和公比表示和，求出首项公比，代入求出即可．
【解答】解：由递增等比数列的前项和为，，，可得，
解得，与数列为递增数列矛盾，舍去），故．
故选：．
【知识点2】等比数列项的性质
利用项的性质的解题策略
策略一 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q＝2k，则aman＝apaq＝a”，可以减少运算量，提高解题速度
策略二 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用
【例6】（2025春 东兴区月考）在等比数列中，，则
A． B．2 C． D．1
【答案】
【分析】利用等比中项化简计算即得解．
【解答】解：等比数列中，，得，
．
故选：．
【例7】（2025 北京模拟）在等比数列中，，公比．若，则
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】
【分析】根据等比数列的性质得，结合条件和等比数列的通项公式列出方程，求出的值．
【解答】解：根据等比数列的性质得，，
又，所以，
因为，，
所以，所以，即，
故选：．
【例8】（2025春 成都月考）若等比数列满足，，则等于
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据已知条件求得，进而求得．
【解答】解：等比数列满足，，
设等比数列的公比为，，
依题意，，
由于，所以，
所以，
所以．
符合条件的只有选项．
故选：．
【例9】（2024秋 厦门期末）正项等比数列中，，，则
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】
【分析】利用等比数列的性质运算即可．
【解答】解：因为是等比数列，
所以．
故选：．
【例10】（2024秋 深圳期末）已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据韦达定理可得，利用等比数列的中项性质即可求解．
【解答】解：数列为等比数列，其中，为方程的两根，
由题得，根据韦达定理可得，，则，，
由等比数列的中项性质可得：，．
因为等比数列的偶数项符号相同，，都是负数，
所以．
故选：．
【知识点3】等比数列前n项和的性质
利用前n项和的性质的解题策略
策略一 利用等比数列连续n项的片段和性质解决与前n项和有关的问题
策略二 利用项的个数的“奇偶”性质解决与公比有关的问题
【例11】（2025 临翔区模拟）已知等比数列，为其前项和，若，，则
A．3 B． C．2 D．3或
【答案】
【分析】结合等比数列求和公式得，即可求出或2，同理由即可求值．
【解答】解：由得，，即，与题设矛盾，故；
，
即，
或2．
由得或3．
故选：．
【例12】（2024秋 山西期末）已知等比数列的前项和为，若，，则
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】
【分析】由等比数列的前项和公式和因式分解化简可得，求出的值，同理化简并求出的值，从而得到．
【解答】解：设等比数列的公比为，
因为，，显然，
所以，解得，
所以，
所以．
故选：．
【例13】（2024秋 青铜峡市期末）已知在递增的正项等比数列中，，，则
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【分析】根据题意求得，，再利用等比数列的通项公式求得，进而利用等比数列的片段和性质即可得解．
【解答】解：因为是递增的正项等比数列，所以，
又，，
解得，，
所以由，得，得，
所以．
故选：．
【例14】（2024秋 保定期末）已知等比数列的前项和满足，则常数 2 ．
【答案】2．
【分析】由分别求出，，，根据条件可得从而求出参数的值．
【解答】解：当时，，
当时，，
当时，，
由数列为等比数列，则，
即，解得．
故答案为：2．
【例15】（2024 玉山县模拟）记为等比数列的前项和，若，，则
A．120 B．85 C． D．
【答案】
【分析】根据等比数列的前项和的性质求解．
【解答】解：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，，，，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，，，，即为，，，，
易知，，即；
当时，，与矛盾，舍去．
故选：．
【知识点4】等比数列前n项和(积)的最值问题
等比数列前n项和(积)最值问题的解题策略
策略一 考虑公比与首项的符号对最值的影响
策略二 利用二次函数的单调性求最值
策略三 利用基本不等式求最值
例1：
【例16】（2025春 罗湖区期末）记等比数列的前项和为，若，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据等比数列前项和的性质，结合题意，表示出，再构造函数，利用导数求函数的最小值即可．
【解答】解：等比数列中，，则后续每3项的和构成等比数列，设公比为，
则；
设，则，解得或，
当时，，当时，，
所以的最小值为，即的最小值为．
故选：．
【例17】（2025春 抚顺月考）设等比数列的前项和为，前项积为，且和的等差中项为5，则的最大值为
A．128 B．64 C．16 D．8
【答案】
【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出和的值，可得出数列的通项公式，分析可知：当时，，当时，，当时，，即可得出的最大值．
【解答】解：等比数列的前项和为，
前项积为，且和的等差中项为5，
设等比数列的公比为，
若，则，不符合题意，
，解得．
和的等差中项为5，
，则，解得．
，
当时，，
当时，，当时，，
的最大值为．
故选：．
【例18】（2025 胶州市模拟）已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【分析】求出等比数列的通项公式，再由数列的单调性即可求得．
【解答】解：因为数列为等比数列，，公比，
所以，
令，解得，
因为，，所以所有不小于1的项相乘最大，
所以数列的前项积取最大值时的值为5．
故选：．
【例19】（2024秋 天山区期末）已知为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取最大值时为
A．4 B．5 C．4或5 D．5或6
【答案】
【分析】根据题意和等比数列的基本量运算求出，根据指数型复合函数的单调性即可求得的最大值和此时的值．
【解答】解：为等比数列，，公比，是数列的前项积，
则
，
函数的开口向下，对称轴为，
，当或时，取到最大值10，取得最大值．
故选：．
【例20】（2024秋 自贡期末）已知为各项均为正数的等比数列，为其前项积，，当取得最大值时，为
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】
【分析】利用等比数列的性质求解．
【解答】解：为各项均为正数的等比数列，为其前项积，
设等比数列的公比为，则，
，
，，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
当时，取得最大值．
故选：．
【知识点5】等比数列的判定与证明
等比数列的判定与证明的方法
提示： (1)在解答题中证明一个数列为等比数列时，一般用定义法与等比中项法，在选填题中还可以用通项公式法和前n项和公式法来判定一个数列是否是等比数列．
(2)如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比数列即可．
(3)判定一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.
(4)在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证
例1：
【例21】（2024秋 新吴区期末）在数列中，，．
（1）求证是等比数列；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由构造法求得到是以首项为4，公比为2的等比数列，再由等比数列通项公式求法即可求得；
（2）利用裂项相消法计算即可．
【解答】解：（1）因为，所以，
因为，
所以数列是以首项为4，公比为2的等比数列，
所以，即；
（2）由（1）知，，
所以．
【例22】（2023秋 嘉定区期中）已知数列的前项和为，且，为正整数．
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的通项公式及其前项和．
【答案】（1）证明见解析；
（2），．
【分析】（1）根据与的关系，可得递推关系，化简即可得证；
（2）根据等比数列的通项公式求解可得，代入递推关系得．
【解答】（1）证明：因为，
所以当时，，解得，则，
当时，，
两式相减可得：，
即可得，显然，即，
所以是首项为1，公比为的等比数列．
（2）解：由（1）得，知，
所以．
【例23】（2023秋 鼓楼区期末）已知数列满足，，且．
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）若数列满足，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解答；
（2），．
【分析】（1）将条件化为，即，从而证得数列是等比数列；
（2）求得数列的通项，由累加法求得数列的通项，并根据单调性求得参数取值范围．
【解答】（1）证明：由题知，，即，且，
则数列是以2为首项，为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知，
则当时，其前项和，
则，，且也满足通项，
则由指数函数单调性知，，
若满足，则，
即实数的取值范围是，．
【例24】（2024秋 芦淞区月考）数列的前项和为，已知，，证明：
（1）数列是等比数列；
（2）求与．
【分析】（1）利用，化简即得结论；
（2）通过即得；利用变形即得，检验时是否成立即可．
【解答】（1）证明：，，
，
，
，，
数列是以1为首项、2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知，，
；
，，
，
也符合上式，
．
【例25】（2024秋 邻水县期中）已知数列的前项和，．
（1）求，的值；
（2）求证数列是等比数列并求通项公式．
【分析】（1）由已条件，分别令，2，利用递推思想能求出，的值．
（2）由已知得，由此能证明数列是首项为，公比为的等比数列，从而能求出通项公式．
【解答】（1）解：数列的前项和，，
，
解得，
，
解得．
（2）证明：，，①
当时，，②
①②，得，
整理，得，
数列是首项为，公比为的等比数列，
．
