第32讲 数列求和
【知识点1】分组求和 3
【知识点2】并项求和 7
【知识点3】裂项相消法求和 12
【知识点4】错位相减法求和 16
数列求和的几种常用方法
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式
①已知等差数列的第1项和第n项求前n项和Sn＝；
②已知等差数列的第1项和公差求前n项和Sn＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式
当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，
①已知等比数列的第1项和第n项求前n项和Sn＝；
②已知等比数列的第1项和公比求前n项和Sn＝.
2．分组求和法与并项求和法
(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
5．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的．
常用结论：
1．1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
2．12＋22＋…＋n2＝.
3．裂项求和常用的变形
(1)分式型：＝，
＝，
＝等．
(2)指数型：＝－，＝－
等．
(3)根式型：＝(－)等．
(4)对数型：logm＝logman＋1－logman，an>0，m>0且m≠1
【知识点1】分组求和
分组求和的常见类型
例1：
【例1】（2023 平江县模拟）已知等比数列的前项和为，其公比，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和．
【答案】（1）数列的通项公式为；
（2）．
【分析】（1）由题意得，，，，可得，求出，即可得出答案；
（2）由（1）得，则，分类讨论为偶数，为奇数，即可得出答案．
【解答】解：（1）数列是等比数列，公比为，则，，，，
，解得，
又，则，解得，
数列的通项公式为；
（2）由（1）得，则，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
综上所述，．
【例2】（2024 许昌一模）已知数列的前项和为，，，且．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列前项和．
【分析】（1）由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式可得所求；
（2）求得，，结合数列的分组求和、裂项相消求和，可得所求和．
【解答】解：（1），且，
时，，
化简可得，
由，可得，即为首项为1，公差为2的等差数列，
则；
（2），
，
可得前项和
．
【例3】（2025 玉溪模拟）已知为等差数列的前项和，满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式与前项和公式，列出关于首先与公差的方程组，解方程组即可得解；
（2）利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的前项和公式即可得解．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
由可得：，
解得，所以．
（2）因为且，
所以，即．
所以
．
【例4】（2025 黄冈二模）记为数列的前项和，已知，，当时，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先利用与的关系化简递推式，再根据等差数列的定义即可；
（2）利用累加法求出，再由分组求和法求即可．
【解答】解：（1）由，
有，
即，
又，，，
，
故数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而；
（2）由，得，
则
，
当时，符合上式，故．
．
【例5】（2025春 广东月考）已知等差数列的前四项和为10，且，，为等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）或；
（2）或．
【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到方程组，求出，，即可求出通项公式；
（2）利用分组求和法计算可得．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
因为等差数列的前四项和为10
得，
又，，为等比数列，所以，即，
解得或，所以或；
（2）当时，，
此时，
当时，，
此时．
【知识点2】并项求和
并项求和的定义、适用条件及注意事项
定义 一个数列的前n项和中，可两两或几个相结合求解，则称之为并项求和
适用条件 an＝(－1)nf(n)类型或周期型数列可采用并项求和法
注意 一般对n分奇偶进行讨论，结果一般用分段形式表示
【例6】（2024 沈阳三模）已知在中，角、、的对边分别为、、，若，，．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）若等差数列中，．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设，求数列的前项和．
【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和余弦定理，即可求出，的值．
（Ⅱ）（ⅰ）设等差数列公差为，由题有，从而．
（ⅱ），分类讨论即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）中 由正弦定理可得：．
由余弦定理得到，
又，所以，．
（Ⅱ）（ⅰ）设等差数列公差为，由题有，
从而．
（ⅱ），
当为偶数时：．
当为奇数时：．
所以.
【例7】（2024秋 诸暨市期末）已知Sn为数列{an}的前n项的和，且a1＝1，an+1＝．
（I）求数列{Sn}的通项公式；
（Ⅱ）若bn＝（﹣1）nan，求数列{bn}的前2n项和T2n．
【答案】（I）；
（Ⅱ）数列{bn}的前2n项和T2n＝2n．
【分析】（I）利用Sn与an的关系，变形可得，则数列是首项为1，公差为1的等差数列，即可得出答案；
（Ⅱ）由（I）得，则，则，则b2n﹣1+b2n＝2，即可得出答案．
【解答】解析：（I）∵an+1＝，
∴，则，
又a1＝1，则＝1，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴，即；
（Ⅱ）由（I）得，则，
∴，则b2n﹣1+b2n＝2，
则T2n＝（b1+b2）+（b3+b4）+ +（b2n﹣1+b2n）＝2n．
【例8】（2023 盐都区三模）已知正项数列中，，是其前项和，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，设数列的前项和为，求的最小值．
【答案】（1），
（2）．
【分析】（1）根据已知条件，利用列为正项数列，将条件给的式子两边开方，从而构造出为等差数列，先求解出，再去求解，然后再利用 去求解数列的通项公式，注意验证时是否满足；
（2）将第（1）问中求解出的数列的通项公式代入，并使用裂项的方法将通项公式展开，然后求解出的表达式，根据取奇数、偶数不同通过讨论分别求解出对应的最小值，即可完成求解．
【解答】解：（1）正项数列，，满足，所以，
所以数列 是以1为首项的等差数列，
所以．所以，
当时，，
当时也成立，
所以．
（2）因为，
所以，
所以当为奇数时，；
当为偶数时，，
由递增，得，
所以 的最小值为．
【例9】（2024秋 菏泽期末）在等差数列中，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据条件列出关于和的方程组，求解可得通项公式；
（2）分别在为奇数和为偶数时分别用并项求和法求和．
【解答】解：（1）由题意得，
解得，
所以；
（2）因为，
所以，
当为偶数时，，
当为奇数时，为偶数，
，
所以．
【例10】（2024 陕西一模）已知等差数列中，，前5项和．
（Ⅰ）求的通项公式．
（Ⅱ）若，求数列前项和．
【分析】（Ⅰ）等差数列的公差设为，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）求得，运用并项求和，即可得到所求和．
【解答】解：（Ⅰ）等差数列的公差设为，，前5项和，
可得，，
解得，，
则；
（Ⅱ），
可得前项和
．
【知识点3】裂项相消法求和
利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项．
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，则＝，＝.
【例11】（2025春 四川期末）已知数列{an}的首项a1＝3，且满足．
（1）求证：数列{an﹣1}为等比数列；
（2）记bn＝log2（an﹣1），数列的前n项和Sn，证明：Sn＜1．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）由等比数列的定义即可求证；
（2）由裂项相消法求和，可求解得，根据单调性，即可求证结论．
【解答】解：（1）由得an+1﹣1＝2（an﹣1），（n∈N*），
因为a1＝1，所以a1﹣1＝2，
所以{an﹣1}是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）证明：由（1）知，，所以bn＝log2（an﹣1）＝＝n，
所以，
．
【例12】（2025春 深圳期中）已知等差数列的首项，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，为数列的前项和，若，求正整数的值．
【答案】（1）；
（2）16．
【分析】（1）设等差数列的公差为，结合条件列出方程，利用等差数列的基本量运算求出，即可求得其通项；
（2）写出数列的通项公式，利用裂项相消法求得，依题解方程即得正整数的值即可．
【解答】解：（1）等差数列的首项，且，，成等比数列，
设等差数列的公差为，依题意，，因，
则，解得，
所以；
（2）由（1）知，则，
所以．
由，即，解得，
故满足的正整数的值为16．
【例13】（2025春 芜湖期末）已知数列是等差数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）利用等差数列中两项的差与公差的关系，先求出公差，再结合已知项求出首项，最后代入通项公式得到的通项．
（2）先对数列的通项进行裂项变形，然后利用裂项相消法求出前项和，再根据不等式性质证明．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为．
已知，．
因为，所以，解得．
又，，所以．
根据等差数列通项公式，可得．
证明：（2）由（1）知，则．
所以．
将其变形为．
那么
．
括号内中间项抵消后，．
因为，所以．
进而，即．
【例14】（2025春 仁寿县期末）记，其中，数列满足．
（1）证明：数列是等差数列，并求；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析，；
（2）．
【分析】（1）由题目中的整理与的等量关系，可得的递推公式，根据等差数列的概念，可得答案；
（2）由题意整理数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案．
【解答】解：（1）证明：因为，其中，数列满足，
可得，则，所以．
当时，由，可得，
两式相除可得，代入，得，
两边同时除以并整理得，，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，即，
所以．
（2）由（1）得，，
所以，
所以，
即．
【例15】（2025春 江门月考）若数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，表示数列的前项和，求证：．
【答案】（1），；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用数列前项和与通项公式的关系求解即可．
（2）利用裂项相消法得到，再结合证明不等式即可．
【解答】解：（1）由，当时，，
当时，，
上式对也成立，
所以，．
（2）证明：由，可得，
则，
则
．
【知识点4】错位相减法求和
1．错位相减法求和的适用条件
若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn.
2．错位相减法求和的步骤
3．错位相减法求和的注意事项
注意点一 在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn，特别是等比数列公比为负数的情形
注意点二 等式右边由第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成
注意点三 经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误
例1：
【例16】（2025春 来宾期中）在数列中，，且满足，数列的前项和为，且．
（1）求和的通项公式；
（2）令，记的前项和为，求．
【答案】（1），；
（2）．
【分析】（1）等式两边加1，构造出等比数列，利用与之间的关系求解；
（2）由（1）得出，再利用错位相减法及公式法求和即可．
【解答】解：（1）由，得，
又，所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即，
当时，，当时，，
又满足上式，所以；
（2）由（1）可知，，
所以，
则，
两式相减可得，
即，
所以．
【例17】（2025春 安顺期末）已知数列满足，，记，
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）通过数列奇数项的递推关系，利用构造法求得数列相邻两项的比值，证明等比数列．
（2）通过数列的通项公式得的通项公式，进而得的通项公式，分析通项公式得特点，分组求和、错位相减得前项和．
【解答】解：（1）证明：由，，
可得，，，
则，
即，
又，
所以数列是首项为4，公比为2的等比数列．
（2）由，知，
所以．
则，
设，其前项和为，
则，
，
两式相减得，
所以，
则．
【例18】（2025春 西安期末）已知数列满足．
（1）求数列的通项公式．
（2）若数列，求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）结合题意由二项式定理可得．
（2）利用错位相减求和法即可求解．
【解答】解：（1）由已知可得，
由二项式定理可得；
（2）由（1）可得，
因为，
所以，
两式相减得，
即有．
【例19】（2025春 仁寿县期末）已知数列的前项和为，其中为常数，且
（1）求的值
（2），数列的前项和为，若，都有恒成立，求实数的最小值．
【答案】（1）2；
（2）5．
【分析】（1）计算，，并求出，即可求出；
（2）先根据（1）求出，再利用错位相减法求出，利用定义法求证数列的增减性，进而求出的范围，即可求出的最小值．
【解答】解：（1）由，其中为常数，且，
可得，解得；
（2）当时，，
当时，（符合首项），
则，
则，
，
两式作差得，
，
则，
则，则，
即数列为递增数列，
因，则，即，
又，都有恒成立，则，则实数的最小值为5．
【例20】（2025春 青州市期末）记为正项等比数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）设正项等比数列的公比为，根据可构造方程求得，根据求得，进而求得的通项公式；
（2）由（1）可得，采用错位相减法即可求得结果．
【解答】解：（1）设正项等比数列的公比为，
因为，
所以，解得．
又，
所以，；
（2）由题知，
所以，
，
两式相减得
，
所以．第32讲 数列求和
【知识点1】分组求和 3
【知识点2】并项求和 4
【知识点3】裂项相消法求和 5
【知识点4】错位相减法求和 6
数列求和的几种常用方法
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式
①已知等差数列的第1项和第n项求前n项和Sn＝；
②已知等差数列的第1项和公差求前n项和Sn＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式
当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，
①已知等比数列的第1项和第n项求前n项和Sn＝；
②已知等比数列的第1项和公比求前n项和Sn＝.
2．分组求和法与并项求和法
(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
4．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
5．倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的．
常用结论：
1．1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
2．12＋22＋…＋n2＝.
3．裂项求和常用的变形
(1)分式型：＝，
＝，
＝等．
(2)指数型：＝－，＝－
等．
(3)根式型：＝(－)等．
(4)对数型：logm＝logman＋1－logman，an>0，m>0且m≠1
【知识点1】分组求和
分组求和的常见类型
例1：
【例1】（2023 平江县模拟）已知等比数列的前项和为，其公比，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和．
【例2】（2024 许昌一模）已知数列的前项和为，，，且．
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列前项和．
【例3】（2025 玉溪模拟）已知为等差数列的前项和，满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【例4】（2025 黄冈二模）记为数列的前项和，已知，，当时，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【例5】（2025春 广东月考）已知等差数列的前四项和为10，且，，为等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【知识点2】并项求和
并项求和的定义、适用条件及注意事项
定义 一个数列的前n项和中，可两两或几个相结合求解，则称之为并项求和
适用条件 an＝(－1)nf(n)类型或周期型数列可采用并项求和法
注意 一般对n分奇偶进行讨论，结果一般用分段形式表示
【例6】（2024 沈阳三模）已知在中，角、、的对边分别为、、，若，，．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）若等差数列中，．
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设，求数列的前项和．
【例7】（2024秋 诸暨市期末）已知Sn为数列{an}的前n项的和，且a1＝1，an+1＝．
（I）求数列{Sn}的通项公式；
（Ⅱ）若bn＝（﹣1）nan，求数列{bn}的前2n项和T2n．
【例8】（2023 盐都区三模）已知正项数列中，，是其前项和，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，设数列的前项和为，求的最小值．
【例9】（2024秋 菏泽期末）在等差数列中，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【例10】（2024 陕西一模）已知等差数列中，，前5项和．
（Ⅰ）求的通项公式．
（Ⅱ）若，求数列前项和．
【知识点3】裂项相消法求和
利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项．
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，则＝，＝.
【例11】（2025春 四川期末）已知数列{an}的首项a1＝3，且满足．
（1）求证：数列{an﹣1}为等比数列；
（2）记bn＝log2（an﹣1），数列的前n项和Sn，证明：Sn＜1．
【例12】（2025春 深圳期中）已知等差数列的首项，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，为数列的前项和，若，求正整数的值．
【例13】（2025春 芜湖期末）已知数列是等差数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：．
【例14】（2025春 仁寿县期末）记，其中，数列满足．
（1）证明：数列是等差数列，并求；
（2）求数列的前项和．
【例15】（2025春 江门月考）若数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，表示数列的前项和，求证：．
【知识点4】错位相减法求和
1．错位相减法求和的适用条件
若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn.
2．错位相减法求和的步骤
3．错位相减法求和的注意事项
注意点一 在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn，特别是等比数列公比为负数的情形
注意点二 等式右边由第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成
注意点三 经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误
例1：
【例16】（2025春 来宾期中）在数列中，，且满足，数列的前项和为，且．
（1）求和的通项公式；
（2）令，记的前项和为，求．
【例17】（2025春 安顺期末）已知数列满足，，记，
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【例18】（2025春 西安期末）已知数列满足．
（1）求数列的通项公式．
（2）若数列，求数列的前项和．
【例19】（2025春 仁寿县期末）已知数列的前项和为，其中为常数，且
（1）求的值
（2），数列的前项和为，若，都有恒成立，求实数的最小值．
【例20】（2025春 青州市期末）记为正项等比数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
