3.1 正整数指数函数 学案11（含答案）

3.1
正整数指数函数
学案
知识点一
正整数指数函数的运算性质
自学导引
在初中我们学习了正整数指数幂的运算性质，根据性质解决以下问题：
问题1：计算32·33的值．
问题2：计算(23)2和(22)3的值．
问题3：计算35÷32的值．
新知自解
若a>0，b>0，对于任意正整数m，n，指数运算有以下性质：
(1)am·an＝
；
(2)(am)n＝
＝
；
(3)(a·b)n＝
；
(4)当a≠0时，＝
(5)()n＝，其中b≠0.
知识点一
正整数指数函数
自学导引
一种产品的利润原来是a元，在今后10年内，计划使利润每年比上一年增加20%.
问题1：在今后10年内，每年的利润是上一年的多少倍？
问题2：在今后10年内每年的利润y随经过年数x变化的函数关系式是什么？
新知自解
函数
x(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
1．正整数指数幂的运算性质是学习指数函数的基础，在使用时，注意(ab)n与anam等的含义，才能正确地运算．
2．正整数指数函数是形式定义，与幂函数的定义既有联系又有区别．虽都具有幂的形式，但指数函数的底数为常数，指数是自变量x.只有符合y＝ax(a>0，且a≠1，x∈N＋)这种形式的函数才是正整数指数函数．
把握热点考向
高频考点题组化
知识点一
正整数指数函数的运算
[例1]　计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式(a，b均不等于0)．
(1)a3b2·(2ab－1)3；
(2)；
(3)[]3(a＋b≠0，a－b≠0)．
[思路点拨]　运用正整数幂的运算性质进行化简．
[一点通]　使用正整数幂的运算性质时，不仅要熟练公式的运用，还要学会公式的逆用．
题组集训
1．下列各式运算错误的是(　　)
A．(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18
2．计算：
(2a3b－2)·(－6a2b－4)÷(－3a－1b－5)．
知识点一
正整数指数函数的图像和性质
[例2]　(1)画出函数y＝()x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性；
(2)画出函数y＝3x(x∈N＋)的图像，并说明函数的单调性．
[思路点拨]　使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N＋，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线”步骤了．
[一点通]　
正整数指数函数的图像特点：
(1)正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的．
(2)当01时，y＝ax(x∈N＋)是增函数．
3．函数y＝x(x∈N＋)的图像是(　　)
A．一条递增的曲线　　　　
B．一条递减的曲线
C．一系列上升的点
D．一系列下降的点
4．在本例中把两个函数换成y＝()x和y＝2x(x∈N＋)，画出它们的图像，并说明其单调性．
　
知识点一
正整数指数函数的应用
[例3]　某林区2011年木材蓄积量为200万m3，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万m3，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万m3
[思路点拨]　根据增长率为5%，可分别列出经过1年、2年的木材蓄积量，然后列出y＝f(x)的表达式，第(2)问可根据正整数指数函数的图像来求．
[一点通]　
1．人口、工地、复利、环境、细胞分裂等方面的问题是近几年高考的热点，应特别关注，涉及单位时间内变化率一定的问题可用公式y＝a(1＋α)x来计算，其中a为初始值，α为变化率，x为自变量，x∈N＋，y为x年变化后的函数值；
2．作函数的图像应先列表再作出图像，从左向右看，若图像上升，则函数是增函数；若图像下降，则函数是减函数，其实可总结出当a>0，α>0时，y＝a(1＋α)x是增函数．
5．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成，2007年某地区农民人均收入为3
150元(其中工资收入为1
800元，其他收入为1
350元)，预计该地区自2008年起的5年内，农民的工资收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2012年该地区农民人均收入介于(　　)
A．4
200元～4
400元
B．4
400元～4
600元
C．4
600元～4
800元
D．4
800元～5
000元
6．已知镭每经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为20
g的镭经过x百年后剩留量为y
g(其中x∈N＋)，求y与x之间的函数关系式，并求出经过1
000年后镭的质量．(可以用计算器)
1．正整数指数幂的运算应注意以下几点
(1)同底数正整数指数幂的乘、除，底数不变，指数进行加减运算；
(2)正整数指数幂的运算也符合有关的运算律及运算步骤，如结合律，即在运算中先算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的部分；
(3)要注意运算律的逆用，如amn＝(am)n＝(an)m；
(4)运算结果要统一，如负整数指数幂，最后一般化成正整数指数幂．
2．形如y＝N(1＋P)x的函数叫作指数型函数．在实际问题中，常常遇到有关增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，增长率为P，则对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.
3．正整数指数函数y＝ax(x∈N＋)从形式上与幂函数形式上的对比
x
a(α)
形式
指数函数y＝ax
指数
底数
幂
幂函数y＝xα
底数
指数
幂