第38讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
【知识点1】直线的倾斜角与斜率 3
【知识点2】求直线的方程 4
【知识点3】直线方程与不等式的结合 5
【知识点4】直线方程与函数的结合 6
1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝．
(3)斜率与倾斜角的联系
如图，当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率k越大；
当α∈时，α越大，直线l的斜率k越大．
4．直线的方向向量同斜率的关系
若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝．
5．直线的截距
若直线l与坐标轴分别交于(a，0)，(0，b)，则称a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距．截距可正、可负，也可以为零．
6．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
注意：当直线与x轴不垂直时，可设直线方程为y＝kx＋b；当直线与y轴不垂直时，可设直线方程为x＝my＋n．
常用结论：
1．特殊直线的方程
(1)过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的直线方程为x＝x1．
(2)过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的直线方程为y＝y1．
(3)y轴的方程为x＝0．
(4)x轴的方程为y＝0．
2．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．
3．两直线的夹角公式
若直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2的夹角为α，则tanα＝
【知识点1】直线的倾斜角与斜率
确定倾斜角与斜率范围的常用方法
数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
例1：
【例1】（2025春 广安区期中）直线的倾斜角为
A． B． C． D．
【例2】（2025春 长沙期末）经过两点，的直线的倾斜角为，则的值为
A． B．1 C．3 D．4
【例3】（2025 南京模拟）直线的倾斜角为
A． B． C． D．
【例4】（2025春 陆良县月考）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是
A．， B．
C． D．
【例5】（2025春 河南月考）经过，两点的直线的倾斜角为
A． B． C． D．
【知识点2】求直线的方程
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
提示：(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．
(2)应用“截距式”方程时，要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0．
(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时，注意讨论B是否为0
【例6】（2025春 安徽月考）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为
A． B． C． D．
【例7】（2024秋 通州区期末）经过点且与直线垂直的直线方程为
A． B． C． D．
【例8】（2025春 杨浦区月考）已知直线的倾斜角为．则下列直线中，与直线垂直的是
A． B． C． D．
【例9】（2024秋 嘉定区期末）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ．
【例10】（2024秋 长宁区期末）已知直线与直线垂直，且经过点，则直线的方程为 ．
【知识点3】直线方程与不等式的结合
求解与直线方程有关的最值问题，一般是先根据题意建立目标函数，然后利用基本不等式(或函数)解决问题．
【例11】（2025春 北仑区期中）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则△的面积的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．8
【例12】（2024秋 张家口期末）已知过点的直线分别与，轴的正半轴交于点，，为坐标原点，则△的面积的最小值是
A．4 B． C．8 D．5
【例13】（2024秋 吉林期末）已知，，直线，，且，则的最小值为 8 ．
【例14】（2024秋 颍州区月考）当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为
A． B． C． D．
【例15】（2024 广东模拟）已知直线分别与轴、轴相交于，两点，若动点在线段上，则的最大值为 ．
【知识点4】直线方程与函数的结合
求解与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)或某一变量的函数，借助函数的性质解题
例1：
【例16】（2024秋 沁阳市期末）某房地产公司要在荒地（如图）上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一幢八层的公寓楼，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到
【例17】（2024秋 五华区月考）已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积取最小值时，的值为
A． B． C． D．1
【例18】（2024秋 宁波期中）若直线与直线互相垂直，则的最小值为
A． B．3 C．5 D．
【例19】（2024秋 罗庄区月考）设直线与直线平行，则点，到的距离的最小值为
A． B．1 C． D．
【例20】（2024秋 广丰区期末）已知，，直线与直线平行，则的最小值是
A．0 B． C． D．第38讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
【知识点1】直线的倾斜角与斜率 3
【知识点2】求直线的方程 5
【知识点3】直线方程与不等式的结合 7
【知识点4】直线方程与函数的结合 10
1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝．
(3)斜率与倾斜角的联系
如图，当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率k越大；
当α∈时，α越大，直线l的斜率k越大．
4．直线的方向向量同斜率的关系
若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝．
5．直线的截距
若直线l与坐标轴分别交于(a，0)，(0，b)，则称a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距．截距可正、可负，也可以为零．
6．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
注意：当直线与x轴不垂直时，可设直线方程为y＝kx＋b；当直线与y轴不垂直时，可设直线方程为x＝my＋n．
常用结论：
1．特殊直线的方程
(1)过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的直线方程为x＝x1．
(2)过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的直线方程为y＝y1．
(3)y轴的方程为x＝0．
(4)x轴的方程为y＝0．
2．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．
3．两直线的夹角公式
若直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2的夹角为α，则tanα＝
【知识点1】直线的倾斜角与斜率
确定倾斜角与斜率范围的常用方法
数形结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定
函数图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
例1：
【例1】（2025春 广安区期中）直线的倾斜角为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解．
【解答】解：因为直线的斜率为，
又因为直线的倾斜角，，且，
所以．
故选：．
【例2】（2025春 长沙期末）经过两点，的直线的倾斜角为，则的值为
A． B．1 C．3 D．4
【答案】
【分析】根据两点斜率公式求解即可．
【解答】解：经过两点，的直线的斜率为，
又直线的倾斜角为，
所以，解得．
故选：．
【例3】（2025 南京模拟）直线的倾斜角为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由斜率的概念直接求出倾斜角即可．
【解答】解：由直线方程，
可得直线斜率为直线的倾斜角），
则，即直线的倾斜角为．
故选：．
【例4】（2025春 陆良县月考）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是
A．， B．
C． D．
【答案】
【分析】分类讨论斜率的存在性，求出斜率的取值范围即可得倾斜角．
【解答】解：直线的方程为，
当时，直线的斜率不存在，其倾斜角；
当时，直线的斜率或，
所以倾斜角，，，
综上所述：直线的倾斜角的范围为，．
故选：．
【例5】（2025春 河南月考）经过，两点的直线的倾斜角为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据、两点的坐标求出直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系算出答案．
【解答】解：根据，，可得直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，且，可得．
故选：．
【知识点2】求直线的方程
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
提示：(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．
(2)应用“截距式”方程时，要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0．
(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时，注意讨论B是否为0
【例6】（2025春 安徽月考）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程．
【解答】解：因为直线的倾斜角为，
又直线的倾斜角是直线的倾斜角的，
所以直线的方程为，即．
故选：．
【例7】（2024秋 通州区期末）经过点且与直线垂直的直线方程为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题意设所求的直线方程，将点的坐标代入可得参数的值，即求出所求直线的方程．
【解答】解：设经过点且与直线垂直的直线方程为：，
将点坐标代入可得，
解得，所以所求直线的方程为：．
故选：．
【例8】（2025春 杨浦区月考）已知直线的倾斜角为．则下列直线中，与直线垂直的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：直线的倾斜角为，
则直线的斜率为，
对于，直线的斜率为，，即该直线与直线垂直，故正确，
对于，直线的斜率为，该直线不与直线垂直，故错误，
对于，直线的斜率为，该直线不与直线垂直，故错误，
对于，直线的斜率为，该直线不与直线垂直，故错误．
故选：．
【例9】（2024秋 嘉定区期末）已知两点、，则直线的斜截式方程是 ．
【答案】．
【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式．
【解答】解：已知两点、，故直线的方程为：，整理得，
转化为直线的斜截式为．
故答案为：．
【例10】（2024秋 长宁区期末）已知直线与直线垂直，且经过点，则直线的方程为 ．
【分析】根据题意，设直线的方程为，将点代入计算可得的值，将的值代入直线方程，即可得答案．
【解答】解：根据题意，要求直线与直线垂直，设其方程为，
又由直线经过点，则有，解可得，
故直线的方程为，
故答案为：．
【知识点3】直线方程与不等式的结合
求解与直线方程有关的最值问题，一般是先根据题意建立目标函数，然后利用基本不等式(或函数)解决问题．
【例11】（2025春 北仑区期中）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则△的面积的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】
【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得△面积的最小值．
【解答】解：直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，
不妨设直线分别交、轴于点、，则，，
所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则，
由基本不等式可得，可得，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故△的面积的最小值为4．
故选：．
【例12】（2024秋 张家口期末）已知过点的直线分别与，轴的正半轴交于点，，为坐标原点，则△的面积的最小值是
A．4 B． C．8 D．5
【答案】
【分析】由题意设，，求出，坐标，则，结合基本不等式计算即可求解．
【解答】解：由题意可设直线，，
令，得，令，得，可知，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以△面积的最小值为4．
故选：．
【例13】（2024秋 吉林期末）已知，，直线，，且，则的最小值为 8 ．
【答案】8．
【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式，求得的最小值．
【解答】解：，，直线，，且，
，即．
则，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为8，
故答案为：8．
【例14】（2024秋 颍州区月考）当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知得，根据基本不等式“1”的代换可得的最小值，即取最小值时与的值，进而得解．
【解答】解：由直线过点，
则，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以直线方程为，即．
故选：．
【例15】（2024 广东模拟）已知直线分别与轴、轴相交于，两点，若动点在线段上，则的最大值为 ．
【分析】由基本不等式的变形式，可求得的最大值．
【解答】解：由题意知，且，，
所以．
故答案为．
【知识点4】直线方程与函数的结合
求解与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)或某一变量的函数，借助函数的性质解题
例1：
【例16】（2024秋 沁阳市期末）某房地产公司要在荒地（如图）上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一幢八层的公寓楼，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到
【分析】根据图形在线段上任取一点，分别向、作垂线划得一块长方形土地，然后建立直角坐标系，求得直线的方程为．从而设点坐标为，建立长方形面积模型，再根据函数模型求最值．
【解答】解：如下图，在线段上任取一点，
分别向、作垂线划得一块长方形土地，建立如下图所示的直角坐标系，则的方程为．设，则长方形面积．
化简得．
配方，易得，时，最大，其最大值为．
【例17】（2024秋 五华区月考）已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积取最小值时，的值为
A． B． C． D．1
【答案】
【分析】作出图形，用表示出这个四边形的面积，再由二次函数的性质得解．
【解答】解：过定点，也过定点，
如图所示，
且点，，，
则四边形的面积．
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值．
故选：．
【例18】（2024秋 宁波期中）若直线与直线互相垂直，则的最小值为
A． B．3 C．5 D．
【答案】
【分析】根据两直线互相垂直求得与的关系，代入中求得最小值．
【解答】解：因为直线与直线互相垂直，
所以，
化简得，
所以，当且仅当时取“”，
所以的最小值为5．
故选：．
【例19】（2024秋 罗庄区月考）设直线与直线平行，则点，到的距离的最小值为
A． B．1 C． D．
【答案】
【分析】根据两条直线平行的充要条件可得，再利用点到直线的距离公式即可得出结论．
【解答】解：直线与直线平行，
，解得，
经过验证两条直线平行，
直线，
则点，到的距离，当且仅当时取等号，
故选：．
【例20】（2024秋 广丰区期末）已知，，直线与直线平行，则的最小值是
A．0 B． C． D．
【分析】直线与直线平行，可得，分别化为：，，因此，，化简代入利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：直线与直线平行，
，分别化为：，，
，，
化为：，．
则，当且仅当，时取等号．
的最小值是．
故选：．
