3.2.1 指数概念的扩充 学案1（含答案）

3.2.1　指数概念的扩充
学案
问题导学
一、分数指数幂概念的理解
活动与探究1
(1)中x的取值范围是__________．
(2)把下列各式中的a(a＞0)写成分数指数幂的形式：
①a3＝54；②a3＝(－2)8；③a－3＝104m(m∈N＋)．
迁移与应用
用分数指数幂表示下列各式中的b(b＞0)：
(1)b5＝32；(2)b4＝(－3)2；(3)b－2＝18.
分数指数幂是一个实数，且b＝ bn＝am，其中a，b均为正数，m，n∈Z，且m，n互素．
二、分数指数幂与根式的互化
活动与探究2
(1)将各式化为根式：①；②；③.
(2)将各式化为分数指数幂：①；②；③.
迁移与应用
下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式：
(1)；(2)(a≥0)．
根式与分数指数幂互化的关键与技巧
(1)关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用＝(a＞0，m，n∈N＋)．
(2)技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简．
三、求指数幂的值
活动与探究3
计算：(1)；(2)；(3).
迁移与应用
计算：
(1)－4；(2)0；(3)(0.01)－0.5；
(4)；(5)；(6).
分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法．将分数指数幂写成根式的形式，用熟悉的知识去理解新概念是关键．
当堂检测
1．将写成根式，正确的是
(　　)．
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．b4＝3(b＞0)，则b等于(　　)．
A．34
B．
C．43
D．35
3．式子－70的值等于(　　)．
A．－4
B．－10
C．2
D．3
4．把下列各式中的正实数x写成根式的形式：
(1)x2＝3；(2)x7＝53；(3)x－2＝d9.
5．求值：(1)；(2)；(3).
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．bn＝am　
预习交流1　提示：不能．分数指数幂不表示个a相乘，而是关于b的方程bn＝am的解．
预习交流2　提示：可以，因为有理数都可以写成分数的形式．
2．(1)　(2)　(3)0　没有意义
预习交流3　提示：(1)
若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝＝0，无研究的价值．
(2)若a＜0，＝不一定成立，如＝无意义，故为了避免上述情况规定了a＞0.
预习交流4　提示：根指数对应分数指数中的分母，被开方数的指数对应分数指数中的分子．
3．(1)实数
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1　思路分析：根据分数指数幂的定义进行求解．
(1){x|x＞1}　解析：依题意x－1＞0，解得x＞1.
(2)解：①；
②，即；
③.
迁移与应用　解：(1)；(2)
b4＝(－3)2＝32＝9，所以；(3).
活动与探究2　思路分析：利用公式＝以及进行互化．
解：(1)①＝.
②＝.
③＝.
(2)①＝.
②＝＝x2.
③＝.
迁移与应用　解：(1)＝.
(2)＝.
活动与探究3　思路分析：将分数指数幂化为根式，再求值．
解：(1)＝＝；
(2)＝＝＝4；
(3)＝＝.
迁移与应用　解：(1)16；(2)1；(3)10；(4)；(5)16；(6).
【当堂检测】
1．D
2．B
3．C　解析：－70＝－1＝3－1＝2.
4．解：(1)x＝＝；
(2)x＝＝；
(3)x＝＝.
5．解：(1)∵102＝100，
∴＝10.
(2)∵2＝9－3，∴＝.
(3)∵274＝－3，∴＝27.