3.2.1-3.2.2 指数概念扩充及其运算性质 学案3（无答案）

3.2.1-3.2.2指数扩充及其运算性质
学案
知识点一
分数指数幂
把幂的指数由整数扩充到有理数．
问题1：计算和
(a>0)．
问题2：模仿a－n＝计算a－.
新知自解
1．分数指数幂概念
给定
a，对于任意给定的
m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得
，把b叫作a的次幂，记作b＝a，它就是分数指数幂．
2．正分数指数幂、负分数指数幂与零的分数指数幂
(1)正分数指数幂的根式形式：
a＝(a>0)．
(2)负分数指数幂的定义：a－＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．
(3)0的正分数指数幂等于
,0的负分数指数幂
.
知识点二
指数的运算性质
自学导引
关于“数”，我们经历了几次扩充过程．由{正整数}→{整数}→{有理数}→{实数}．那么正整数指数幂的运算性质能否扩充到整数和有理数指数幂，甚至实数范围内的运算性质呢？
问题1：计算33×3－5和33＋(－5)，它们之间有什么关系？
问题2：计算(22)和22×，它们之间有什么关系？
新知自解
指数运算的性质
若a>0，b>0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质：
(1)am·an＝am＋n，
(2)(am)n＝amn，
(3)(ab)n＝anbn.
1．正整数指数幂的运算性质，对指数为负整数、有理数和无理数都成立．
2．0＝0,0－无意义．
3．根式是分数指数幂的另一种书写形式，它们之间可以相互转化．注意，在根式的运算中，与()n有着不同的意义．
(1)()n＝a；
(2)＝
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考点一
根式的运算
[例1]　求下列各式的值：
(1)；
(2)
；
(3)(－)÷；
(4)(a>0)．
[思路点拨]　将根式化为分数指数幂形式，利用分数指数幂的运算性质计算是根式运算中经常采用的方法．
[一点通]　对于既含有分数指数幂，又含有根式的式子，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于计算．如果根式中的根指数不同，也应化成分数指数幂的形式．
1．若2A．5－2a　　　　　　
B．2a－5
C．1
D．－1
2．已知a1，n∈N＋，化简＋.
考点二
分数指数幂的运算
[例2]　计算下列各式：
(1)(0.064)－－0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|；
(2)
÷
(a>0)．
[思路点拨]　(1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数．
(2)将根式化为分数指数幂．
[一点通]　进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．
3．计算(2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)，得(　　)
A．－b2
B.b2
C．－b
D.b
4．化简：＝________.
5．计算：(2)0.5＋0.1－2＋(2)－－3π0＋.
考点三
条件求值
[例3]　(1)已知a＋a－＝3，求a2＋a－2的值；
(2)已知a＋b＝1，求的值．
[思路点拨]　(1)先观察a·a－＝1，对已知式子两边平方；
(2)应化成同底数的幂的形式．
[一点通]　解决此类问题的思路步骤如下：
6．已知x＋x－＝5，则的值为(　　)
A．5
B．23
C．25
D．27
7．已知x－3＋1＝a(a为常数)，求a2－2ax－3＋x－6的值．
8．如果a＋a－＝，求＋＋＋的值．
1．在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分数指数幂，再进行运算．
2．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．
3．对条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．