3.2.1-3.2.2 指数扩充及其运算性质 教案2
文档属性
| 名称 | 3.2.1-3.2.2 指数扩充及其运算性质 教案2 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-08-15 20:14:56 | ||
图片预览
文档简介
3.2.1-3.2.2
指数扩充及其运算性质
教案
2．1 指数概念的扩充
2．2 指数运算的性质
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念及运算．
(2)能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简．
2．过程与方法
(1)让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．
(2)随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．
3．情感、态度与价值观
使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义，增强学习数学的积极性和自信心．
●重点难点
重点：分数指数幂的运算性质．
难点：难点是根式概念及分数指数的运算与化简．
在教学中突破重点、难点的方法是在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子，给出定义后再为学生提供一些实例，比较、巩固概念并获得根式的性质．在具体教学过程中可以让学生多从具体实例中自己探究、归纳根式的性质结论．
(教师用书独具)
●教学建议
本节安排的内容蕴含了推广的思想(指数幂运算律的推广)，逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)．同时，教材充分关注与实际问题的联系，体现数学的应用价值．建议教学时通过具体、实际的问题来体现数学思想及价值，教学过程中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算机或计算器创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
●教学流程
新课导入，把正整数指数幂进一步扩充到分数指数幂 新知探究，导出分数指数幂的定义，完成课本例1，能写成分数指数幂的形式 能将根式和分数指数幂进行互化，完成例1及其变式训练 将分数指数幂进一步扩充到有理指数幂
类比正整数指数幂的运算性质，得出有理指数幂的运算性质 根据运算性质完成例2、例3及其变式训练，强化对运算性质的掌握 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
(见学生用书第37页)
课标解读
1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3．掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重点、难点)
知识点一
分数指数幂
【问题导思】
1．判断下列运算是否正确．
(1)＝＝34＝3；
(2)＝＝23＝2.
【提示】 正确．
2．试想当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能否用分数指数幂表示？
【答案】 能．
1．定义
给定正实数a，对于任意给定的正整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，把b叫作a的次幂，记作b＝a，它就是分数指数幂．
2．几个结论
(1)正分数指数幂的根式形式：a＝(a>0)．
(2)负分数指数幂的意义：a－＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
知识点二
指数幂的运算性质
【问题导思】
1．整数指数幂的运算性质有哪些？
【提示】 (1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn；
(3)(a·b)m＝am·bm；(4)＝am－n.
2．计算(22)和22×，它们之间有什么关系？
【提示】 (22)＝4＝2,22×＝21＝2，相等．
若a>0，b>0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)m＝am·bm.
(见学生用书第38页)
类型一
根式与分数指数幂的互化
(1)3可化为( )
A. B. C. D.
(2)可化为( )
A．a－
B．a
C．a
D．－a
【思路探究】 熟练应用＝a是解决该类问题的关键．
【自主解答】 (1)3＝(33)＝.
(2)
＝(a－2)＝a－.
【答案】 (1)D (2)A
根式与分数指数幂的互化规律
1．关于式子＝a的两点说明；
(1)根指数n 分数指数的分母；
(2)被开方数(式)的指数m 分数指数的分子；
2．通常规定分数指数幂的底数a>0，但像(－a)＝中的a则需要a≤0.
将下列各根式化为分数指数幂的形式：
(1)；(2).
【解】 (1)＝＝a－.
(2)＝(a－b).
类型二
求指数幂a的值
求下列各式的值：
(1)64；(2)81－.
【思路探究】 结合分数指数幂的定义，即满足bn＝am时，a＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解．
【自主解答】 (1)设64＝x，则x3＝642＝4
096，
又∵163＝4
096，∴64＝16.
(2)设81－＝x,
则x4＝81－1＝，
又∵()4＝，∴81－＝.
解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．
求下列各式的值：
(1)125；(2)128－.
【解】 (1)设125＝x，则x3＝125，
又∵53＝125，∴x＝5.
(2)设128－＝x，则x7＝128－1＝，
又∵()7＝，∴128－＝.
类型三
分数指数幂的运算
计算下列各式：
(1)(0.064)－－(－)0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|；
(2)÷
(a>0)．
【思路探究】 (1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数．
(2)将根式化为分数指数幂．
【自主解答】 (1)原式＝[(0.4)3]－－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋[(0.1)2]＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝[a··a·(－)]÷[a·(－)·a·]＝a－＋－＝a0＝1.
1．化简的顺序与要求：
(1)四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的；
(2)运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数．
2．化简的方法与技巧：一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数、化底数为质数等，便于进行幂的运算．
计算：
(1)(0.0081)－÷(3)－－10×0.027；
(2)(2)0＋2－2×(2.25)－－()0.5.
【解】 (1)原式＝(0.34)－÷()－－10×(0.33)
＝0.3－1÷－3＝×－3＝2.
(2)原式＝1＋×()－－()
＝1＋×[()2]－－[()2]
＝1＋－＝.
(见学生用书第39页)
忽略a成立的条件致误
化简(1－a)[(a－1)－2(－a)].
【错解】 原式＝(1－a)(a－1)－2×(－a)×
＝(1－a)(a－1)－1(－a)
＝－(－a).
【错因分析】 错解中忽略了条件(－a)成立的条件，若(－a)成立，则－a≥0，故a≤0，这样[(a－1)－2]＝(1－a)－1.
【防范措施】 1.化简指数式时，应该先讨论其中字母的取值范围，通常根据指数幂的指数来讨论，也可以化为根式，利用偶次方根的被开方数为非负数，奇次方根的被开方数是任意实数来求出其中字母的取值范围．
2．(am)n＝anm只有在a>0时一定成立，若a<0，且m为偶数，则需转化为(am)n＝[(－a)m]n＝(－a)mn.
【正解】 由式子(－a)知，－a≥0，即a≤0，所以a－1<0，所以
(1－a)[(a－1)－2(－a)]
＝(1－a)(1－a)－1(－a)
＝(－a).
1．在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分数指数幂，再进行运算．
2．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．
3．对条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.
(见学生用书第39页)
1．计算243等于( )
A．9 B．3 C．±3 D．－3
【解析】 由35＝243，得243＝3.
【答案】 B
2．下列各式运算错误的是( )
A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18
【解析】 对C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6≠a6b6.
【答案】 C
3.(a>0)的值是( )
A．1
B．a
C．a
D．a
【解析】 原式＝＝＝＝a3－＝a.
【答案】 D
4．计算0.064－－(－)0＋160.75＋0.25的值．
【解】 原式＝(0.43)－－1＋(24)＋(0.52)
＝0.4－1－1＋8＋
＝＋7＋＝10.
(见学生用书第103页)
一、选择题
1．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝( )
A．5－
B．5－
C．5
D．5
【解析】 若bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，则b＝a.所以b＝5－.
【答案】 B
2．2×5＝( )
A．103
B．10
C．310
D．7
【解析】 由实数指数幂的运算性质(ab)n＝anbn知，2×5＝(2×5)＝10.
【答案】 B
3．将化为分数指数幂为( )
A．2
B．－2
C．2－
D．－2－
【解析】 ＝(－2×2)＝(－2)＝－2.
【答案】 B
4．设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是( )
A．a
B．a
C．a
D．a
【解析】 ＝＝＝＝＝a2－＝a.
【答案】 C
5．(2013·大连高一检测)计算(2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)，得( )
A．－b2
B.b2
C．－b
D.b
【解析】 原式＝[2×(－3)÷4]×a－3－1＋4·b－＋1＋＝－a0b2＝－b2.
【答案】 A
二、填空题
6．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)，
(1)＝________；(2)＝________.
【解析】 (1)＝a.
(2)＝＝a－.
【答案】 (1)a (2)a－
7．0.25×(－)－4－4÷20－()－＝________.
【解析】 原式＝×16－4－4＝－4.
【答案】 －4
8．已知10α＝2,100β＝3，则1
0002α－β＝________.
【解析】 ∵100β＝3，即102β＝3，
∴10β＝3.
∴1
0002α－β＝106α－β＝
＝＝.
【答案】
三、解答题
9．计算：
(1)32－－(2)－＋0.5－2；
(2)1.5－×(－)0＋80.25×＋(×)6－.
【解】 (1)原式＝(25)－－()－＋()－2＝2－3－[()3]＋22＝－＋4＝.
(2)原式＝()×1＋(23)×2＋(2)6×(3)6－[()]＝()＋(23×2)＋22×33－()＝2＋4×27＝110.
10．化简(式中各字母均为正数)：
(1)(2x＋3y－)(2x－3y－)；
(2)(2ab)(－6ab)÷(－3ab)．
【解】 (1)原式＝(2x)2－(3y－)2＝4x－9y－
＝4x－.
(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a＋－b＋－
＝4a1·b0＝4a.
11．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
【解】 ∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴∵a>b>0，∴>>0.
∴>0.
()2＝＝＝＝，
∴＝＝.
(教师用书独具)
已知a＋a－＝3，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3).
【思路探究】 (1)已知条件两边平方即可．(2)利用(1)的结果再平方即可．(3)先运用平方差公式化简，再整体代入．
【自主解答】 (1)∵a＋a－＝3，
∴(a＋a－)2＝9，
即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.
(2)由(1)知，a＋a－1＝7，
∴(a＋a－1)2＝49，
即a2＋2＋a－2＝49，
∴a2＋a－2＝47.
(3)由于a－a－1＝(a＋a－)(a－a－)
所以原式＝a＋a－＝3.
1．对于条件求值问题，需要充分利用已知条件和分数指数幂的运算性质进行化简、求值．
2．此类问题通常不直接代入求值，而应整体上把握已知式和所求式的特点，用整体代入法求解．
(1)已知2m＋2－m＝5，则4m＋4－m的值为________．
(2)已知x＋x－＝5，则的值为( )
A．5 B．23 C．25 D．27
【解析】 (1)∵2m＋2－m＝5，
∴(2m＋2－m)2＝25，
即4m＋2＋4－m＝25，
∴4m＋4－m＝23.
(2)∵x＋x－＝5，∴x＋2＋x－1＝25，
∴x＋x－1＝23.
∴＝x＋＝x＋x－1＝23.
【答案】 (1)23 (2)B
指数的历史
n个相同的因数a相乘，即，记作an，叫做a的n次幂，这时n叫做指数．本来幂的指数总是正整数，后来随着数的扩充，指数概念也不断发展．
正整数指数幂，特别是与面积、体积的计算紧密相联系的平方和立方的概念，在一些文明古国很早就有了．我国汉代曾有人提出过负整数指数的概念，可惜的是未曾流传开.15世纪末，法国数学家休凯引入了零指数的概念.17世纪英国瓦利士在他的《无穷小算术》中提出了负指数，他写道：“平方指数倒数的数列，，，…的指数是－2，立方指数倒数的数列，，，…的指数是－3，两者逐项相乘，就得到‘五次幂倒数’的数列，，，…的指数显然是(－2)＋(－3)＝－5.同样，‘平方根倒数’的数列，，，…的指数是－，…”．这是一个巨大的进步，不过瓦利士没有真正使用2－2,2－3,2－的指数符号，只是说，，，…的指数是－2，－3和－.
分数指数幂最早在奥力森的《比例算法》中出现，他使用的符号并不简洁．现行的分数指数和负指数符号是牛顿创设的．他在1676年6月13日写信给莱布尼茨，里面说到“因为代数学家将aa，aaa，aaaa等写成a2，a3，a4等，所以我将Va，Va3写成a，a；又将，，，…写成a－1，a－2，a－3，…”．他信中的“Va”与“Va3”就是现在的与.牛顿还首先使用任意实数指数的概念．
指数扩充及其运算性质
教案
2．1 指数概念的扩充
2．2 指数运算的性质
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念及运算．
(2)能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简．
2．过程与方法
(1)让学生了解分数指数幂的扩展，进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．
(2)随着数的扩展，相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．
3．情感、态度与价值观
使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义，增强学习数学的积极性和自信心．
●重点难点
重点：分数指数幂的运算性质．
难点：难点是根式概念及分数指数的运算与化简．
在教学中突破重点、难点的方法是在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子，给出定义后再为学生提供一些实例，比较、巩固概念并获得根式的性质．在具体教学过程中可以让学生多从具体实例中自己探究、归纳根式的性质结论．
(教师用书独具)
●教学建议
本节安排的内容蕴含了推广的思想(指数幂运算律的推广)，逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)．同时，教材充分关注与实际问题的联系，体现数学的应用价值．建议教学时通过具体、实际的问题来体现数学思想及价值，教学过程中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算机或计算器创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
●教学流程
新课导入，把正整数指数幂进一步扩充到分数指数幂 新知探究，导出分数指数幂的定义，完成课本例1，能写成分数指数幂的形式 能将根式和分数指数幂进行互化，完成例1及其变式训练 将分数指数幂进一步扩充到有理指数幂
类比正整数指数幂的运算性质，得出有理指数幂的运算性质 根据运算性质完成例2、例3及其变式训练，强化对运算性质的掌握 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
(见学生用书第37页)
课标解读
1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点)2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点)3．掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重点、难点)
知识点一
分数指数幂
【问题导思】
1．判断下列运算是否正确．
(1)＝＝34＝3；
(2)＝＝23＝2.
【提示】 正确．
2．试想当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能否用分数指数幂表示？
【答案】 能．
1．定义
给定正实数a，对于任意给定的正整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，把b叫作a的次幂，记作b＝a，它就是分数指数幂．
2．几个结论
(1)正分数指数幂的根式形式：a＝(a>0)．
(2)负分数指数幂的意义：a－＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
知识点二
指数幂的运算性质
【问题导思】
1．整数指数幂的运算性质有哪些？
【提示】 (1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn；
(3)(a·b)m＝am·bm；(4)＝am－n.
2．计算(22)和22×，它们之间有什么关系？
【提示】 (22)＝4＝2,22×＝21＝2，相等．
若a>0，b>0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝amn；
(3)(ab)m＝am·bm.
(见学生用书第38页)
类型一
根式与分数指数幂的互化
(1)3可化为( )
A. B. C. D.
(2)可化为( )
A．a－
B．a
C．a
D．－a
【思路探究】 熟练应用＝a是解决该类问题的关键．
【自主解答】 (1)3＝(33)＝.
(2)
＝(a－2)＝a－.
【答案】 (1)D (2)A
根式与分数指数幂的互化规律
1．关于式子＝a的两点说明；
(1)根指数n 分数指数的分母；
(2)被开方数(式)的指数m 分数指数的分子；
2．通常规定分数指数幂的底数a>0，但像(－a)＝中的a则需要a≤0.
将下列各根式化为分数指数幂的形式：
(1)；(2).
【解】 (1)＝＝a－.
(2)＝(a－b).
类型二
求指数幂a的值
求下列各式的值：
(1)64；(2)81－.
【思路探究】 结合分数指数幂的定义，即满足bn＝am时，a＝b(m，n∈N＋，a，b>0)求解．
【自主解答】 (1)设64＝x，则x3＝642＝4
096，
又∵163＝4
096，∴64＝16.
(2)设81－＝x,
则x4＝81－1＝，
又∵()4＝，∴81－＝.
解决此类问题时，根据分数指数幂的定义将分数指数幂转化为熟悉的整数指数幂，进而转化为正整数指数幂．
求下列各式的值：
(1)125；(2)128－.
【解】 (1)设125＝x，则x3＝125，
又∵53＝125，∴x＝5.
(2)设128－＝x，则x7＝128－1＝，
又∵()7＝，∴128－＝.
类型三
分数指数幂的运算
计算下列各式：
(1)(0.064)－－(－)0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋|－0.01|；
(2)÷
(a>0)．
【思路探究】 (1)将负分数指数化为正分数指数，将小数指数化为分数指数．
(2)将根式化为分数指数幂．
【自主解答】 (1)原式＝[(0.4)3]－－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋[(0.1)2]＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝.
(2)原式＝[a··a·(－)]÷[a·(－)·a·]＝a－＋－＝a0＝1.
1．化简的顺序与要求：
(1)四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的；
(2)运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数．
2．化简的方法与技巧：一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数、化底数为质数等，便于进行幂的运算．
计算：
(1)(0.0081)－÷(3)－－10×0.027；
(2)(2)0＋2－2×(2.25)－－()0.5.
【解】 (1)原式＝(0.34)－÷()－－10×(0.33)
＝0.3－1÷－3＝×－3＝2.
(2)原式＝1＋×()－－()
＝1＋×[()2]－－[()2]
＝1＋－＝.
(见学生用书第39页)
忽略a成立的条件致误
化简(1－a)[(a－1)－2(－a)].
【错解】 原式＝(1－a)(a－1)－2×(－a)×
＝(1－a)(a－1)－1(－a)
＝－(－a).
【错因分析】 错解中忽略了条件(－a)成立的条件，若(－a)成立，则－a≥0，故a≤0，这样[(a－1)－2]＝(1－a)－1.
【防范措施】 1.化简指数式时，应该先讨论其中字母的取值范围，通常根据指数幂的指数来讨论，也可以化为根式，利用偶次方根的被开方数为非负数，奇次方根的被开方数是任意实数来求出其中字母的取值范围．
2．(am)n＝anm只有在a>0时一定成立，若a<0，且m为偶数，则需转化为(am)n＝[(－a)m]n＝(－a)mn.
【正解】 由式子(－a)知，－a≥0，即a≤0，所以a－1<0，所以
(1－a)[(a－1)－2(－a)]
＝(1－a)(1－a)－1(－a)
＝(－a).
1．在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分数指数幂，再进行运算．
2．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．
3．对条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.
(见学生用书第39页)
1．计算243等于( )
A．9 B．3 C．±3 D．－3
【解析】 由35＝243，得243＝3.
【答案】 B
2．下列各式运算错误的是( )
A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18
【解析】 对C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6≠a6b6.
【答案】 C
3.(a>0)的值是( )
A．1
B．a
C．a
D．a
【解析】 原式＝＝＝＝a3－＝a.
【答案】 D
4．计算0.064－－(－)0＋160.75＋0.25的值．
【解】 原式＝(0.43)－－1＋(24)＋(0.52)
＝0.4－1－1＋8＋
＝＋7＋＝10.
(见学生用书第103页)
一、选择题
1．若b－3n＝5m(m，n∈N＋)，则b＝( )
A．5－
B．5－
C．5
D．5
【解析】 若bn＝am(m，n∈N＋，a>0，b>0)，则b＝a.所以b＝5－.
【答案】 B
2．2×5＝( )
A．103
B．10
C．310
D．7
【解析】 由实数指数幂的运算性质(ab)n＝anbn知，2×5＝(2×5)＝10.
【答案】 B
3．将化为分数指数幂为( )
A．2
B．－2
C．2－
D．－2－
【解析】 ＝(－2×2)＝(－2)＝－2.
【答案】 B
4．设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是( )
A．a
B．a
C．a
D．a
【解析】 ＝＝＝＝＝a2－＝a.
【答案】 C
5．(2013·大连高一检测)计算(2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)，得( )
A．－b2
B.b2
C．－b
D.b
【解析】 原式＝[2×(－3)÷4]×a－3－1＋4·b－＋1＋＝－a0b2＝－b2.
【答案】 A
二、填空题
6．用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)，
(1)＝________；(2)＝________.
【解析】 (1)＝a.
(2)＝＝a－.
【答案】 (1)a (2)a－
7．0.25×(－)－4－4÷20－()－＝________.
【解析】 原式＝×16－4－4＝－4.
【答案】 －4
8．已知10α＝2,100β＝3，则1
0002α－β＝________.
【解析】 ∵100β＝3，即102β＝3，
∴10β＝3.
∴1
0002α－β＝106α－β＝
＝＝.
【答案】
三、解答题
9．计算：
(1)32－－(2)－＋0.5－2；
(2)1.5－×(－)0＋80.25×＋(×)6－.
【解】 (1)原式＝(25)－－()－＋()－2＝2－3－[()3]＋22＝－＋4＝.
(2)原式＝()×1＋(23)×2＋(2)6×(3)6－[()]＝()＋(23×2)＋22×33－()＝2＋4×27＝110.
10．化简(式中各字母均为正数)：
(1)(2x＋3y－)(2x－3y－)；
(2)(2ab)(－6ab)÷(－3ab)．
【解】 (1)原式＝(2x)2－(3y－)2＝4x－9y－
＝4x－.
(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a＋－b＋－
＝4a1·b0＝4a.
11．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
【解】 ∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
∴∵a>b>0，∴>>0.
∴>0.
()2＝＝＝＝，
∴＝＝.
(教师用书独具)
已知a＋a－＝3，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3).
【思路探究】 (1)已知条件两边平方即可．(2)利用(1)的结果再平方即可．(3)先运用平方差公式化简，再整体代入．
【自主解答】 (1)∵a＋a－＝3，
∴(a＋a－)2＝9，
即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.
(2)由(1)知，a＋a－1＝7，
∴(a＋a－1)2＝49，
即a2＋2＋a－2＝49，
∴a2＋a－2＝47.
(3)由于a－a－1＝(a＋a－)(a－a－)
所以原式＝a＋a－＝3.
1．对于条件求值问题，需要充分利用已知条件和分数指数幂的运算性质进行化简、求值．
2．此类问题通常不直接代入求值，而应整体上把握已知式和所求式的特点，用整体代入法求解．
(1)已知2m＋2－m＝5，则4m＋4－m的值为________．
(2)已知x＋x－＝5，则的值为( )
A．5 B．23 C．25 D．27
【解析】 (1)∵2m＋2－m＝5，
∴(2m＋2－m)2＝25，
即4m＋2＋4－m＝25，
∴4m＋4－m＝23.
(2)∵x＋x－＝5，∴x＋2＋x－1＝25，
∴x＋x－1＝23.
∴＝x＋＝x＋x－1＝23.
【答案】 (1)23 (2)B
指数的历史
n个相同的因数a相乘，即，记作an，叫做a的n次幂，这时n叫做指数．本来幂的指数总是正整数，后来随着数的扩充，指数概念也不断发展．
正整数指数幂，特别是与面积、体积的计算紧密相联系的平方和立方的概念，在一些文明古国很早就有了．我国汉代曾有人提出过负整数指数的概念，可惜的是未曾流传开.15世纪末，法国数学家休凯引入了零指数的概念.17世纪英国瓦利士在他的《无穷小算术》中提出了负指数，他写道：“平方指数倒数的数列，，，…的指数是－2，立方指数倒数的数列，，，…的指数是－3，两者逐项相乘，就得到‘五次幂倒数’的数列，，，…的指数显然是(－2)＋(－3)＝－5.同样，‘平方根倒数’的数列，，，…的指数是－，…”．这是一个巨大的进步，不过瓦利士没有真正使用2－2,2－3,2－的指数符号，只是说，，，…的指数是－2，－3和－.
分数指数幂最早在奥力森的《比例算法》中出现，他使用的符号并不简洁．现行的分数指数和负指数符号是牛顿创设的．他在1676年6月13日写信给莱布尼茨，里面说到“因为代数学家将aa，aaa，aaaa等写成a2，a3，a4等，所以我将Va，Va3写成a，a；又将，，，…写成a－1，a－2，a－3，…”．他信中的“Va”与“Va3”就是现在的与.牛顿还首先使用任意实数指数的概念．