3.2.1-3.2.2 指数扩充及其运算性质 学案1（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.2.1-3.2.2 指数扩充及其运算性质 学案1（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 341.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-08-15 20:18:00 | ||
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文档简介
3.2.1-3.2.2
指数扩充及其运算性质
学案
[读教材·填要点]
1．分数指数幂
(1)定义：
给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，把b叫作a的次幂，记作b＝a，它就是分数指数幂．
(2)几个结论：
①正分数指数幂的根式形式：a＝(a>0)．
②负分数指数幂的意义：a－＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
2．指数幂的运算性质
若a>0，b>0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质：
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝am·n；
(3)(ab)m＝ambm．
[小问题·大思维]
1．若b2＝53，则b＝5，b叫作5的次幂吗？
提示：不一定，当b＞0时，可以；当b＜0时，b不叫作5的次幂．
2．为什么分数指数幂中规定整数m，n互素？
提示：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：a中，底数a∈R，当a＜0时，a＜0，而如果把a写成a，有两种运算：一是a＝(a)2就必须a≥0；二是a＝(a2)，在a＜0时，a的结果大于0，与a＜0相矛盾．所以规定整数m、n互素．
3．分数指数幂a可以理解为个a相乘，对吗？
提示：分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法，规定：a＝()m＝(a>0，n、m∈N＋，且为既约分数)，a－＝＝＝(a>0，n、m∈N＋，且为既约分数)．
[研一题]
[例1] 用分数指数幂表示下列各式．
(1)(a＞0)；
(2)；
(3)()－(b＞0)．
[自主解答] (1)原式＝＝＝(a)＝a；
(2)原式＝＝
＝＝＝＝x－；
(3)原式＝[(b－)]－＝b(－)××(－)＝b.
[悟一法]
此类问题应熟练应用a＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再根据性质进行化简．
[通一类]
1．用分数指数幂表示下列各式．
(1)8；(2)a2·；(3)
(a＞0)；
(4)(a＞0)．
解：(1)8＝23·2＝23＋＝2；
(2)原式＝a2·a＝a2＋＝a；
(3)原式＝
＝
＝
＝
＝a；
(4)原式＝＝a2－－＝a.
[研一题]
[例2] 计算或化简．
(1)a3b2(2ab－1)3；
(2)(0.064)－－(－)0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋；
(3)(2)0.5＋0.1－2＋(2)－－3π0＋；
(4)
÷
(a＞0)；
(5)4＋1·23－2
·8－.
[自主解答] (1)原式＝a3b223a3b－3＝8a6b－1；
(2)原式＝[(0.4)3]
－－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝；
(3)原式＝()＋102＋()－－3＋
＝＋100＋－3＋
＝100；
(4)原式＝[a×·a×(－)]÷[a×(－)·a×]
＝a－＋－
＝a0＝1；
(5)原式＝(22)＋1·23－2·(23)－
＝22＋2·23－2·2－2
＝22＋2＋3－2－2＝23＝8.
[悟一法]
进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．
[通一类]
2．计算或化简下列各式．
(1)0.027－－(－)－2＋(2)－(－1)0；
(2)()－·；
(3)÷(1－2
)×.
解：(1)原式＝()－－()－2＋()－1＝
－49＋－1＝－45；
(2)原式＝(2－2)－·＝＝；
(3)原式＝÷×a
＝··a
＝a·a·a＝a.
[研一题]
[例3] 已知a＋a－＝3，求下列各式的值：
(1)a＋a－1； (2)a2＋a－2； (3).
[自主解答] (1)将a＋a－＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7；
(2)将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49.
∴a2＋a－2＝47；
(3)由于a－a－＝(a)3－(a－)3，
所以有＝
＝a＋a－1＋1＝8.
[悟一法]
对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形及平方、平方差等公式的应用，含开方运算时还要注意其符号问题．
[通一类]
3．(1)若102x＝25，10＝5，则10y－x＝________．
(2)若a－a－＝m，则＝________．
解析：(1)由102x＝25，得10x＝5，
∴10－x＝(10x)－1＝5－1，而10＝(10y)＝5，
∴10y＝52，则10y－x＝10y·10－x＝52·5－1＝5.
(2)由a－a－＝m，两边平方得：a＋a－1－2＝m2；
∴a＋a－1＝m2＋2，而＝a＋a－1＝m2＋2
答案：(1)5 (2)m2＋2
设a2n＝3，a＞0，求的值．
[解] 法一：由a2n＝3，a＞0得
an＝，a－n＝，a3n＝()3＝3，a－3n＝.
∴＝
＝
＝＝.
法二：＝
＝a2n－1＋a－2n
＝3－1＋＝.
法三：＝
＝＝
＝.
1．计算243等于( )
A．9
B．3
C．±3
D．－3
解析：由35＝243，得243＝3.
答案：B
2．下列各式运算错误的是( )
A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18
解析：对C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6≠a6b6.
答案：C
3.(a＞0)的值是( )
A．1
B．a
C．a
D．a
解析：原式＝＝＝＝a3－＝a.
答案：D
4．若b－3m＝π2n(b＞0，m，n∈N＋)，则b＝________．
解析：由b－3m＝π2n，得b＝π－＝.
答案：
5．已知x－3＋1＝a，则a2－2ax－3＋x－6的值为________．
解析：∵x－3＋1＝a，∴a－x－3＝1，
∴a2－2ax－3＋x－6＝(a－x－3)2＝1.
答案：1
6．求值：
2(×)6＋()－4()－－×80.25＋(－2
013)0.
解：原式＝2(2×3)6＋(2×2)－4×－2×2＋1
＝2×22×33＋2－7－2＋1＝210.
一、选择题
1．下列根式与分数指数幂互化中正确的是( )
A．－＝(－x)(x≠0)
B．x－＝－(x≠0)
C．()－＝
(xy>0)
D.＝y(y＜0)
解析：A中－＝－x≠(－x)(x≠0)，故A不正确；
B中x－＝≠－(x≠0)，B不正确；
C中()－＝＝＝
(xy>0)，C正确；
D中＝(－y)＝(－y)＝－y≠y(y＜0)，D不正确．
答案：C
2．将
化为分数指数幂的形式为( )
A．2
B．－2
C．2－
D．－2－
解析：原式＝
＝
＝(－2)＝－2.
答案：B
3．计算[(－)－2]－的结果是( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：原式＝[]－＝[]－＝()－＝(2－1)
－＝2＝.
答案：A
4．若x＞0，则(2x＋3)·(2x－3)－4x－(x－x)等于( )
A．－23
B．23
C．－23x
D．－23x－
解析：原式＝(2x)2－(3)2－4x－·x＋4x－·x＝4x－27－4x＋4＝－23.
答案：A
二、填空题
5．0.25×(－)－4－4÷20－()－＝________．
解析：原式＝×16－4－4＝－4.
答案：－4
6．若x＜0，则－＋＝________．
解析：原式＝－＋＝1.
答案：1
7．若xy＝8，且x＞0，y＞0，则－＝________.
解析：原式＝(x－xy＋y)－(x＋y)＝－xy＝－(xy)＝－8＝－2.
答案：－2
8．已知10α＝2，100β＝3，则1
0002α－β＝________．
解析：∵100β＝3，即102β＝3，∴10β＝3.
∴1
0002α－β＝106α－β＝＝＝.
答案：
三、解答题
9．(1)计算：＋－27；
(2)化简：÷
(a>0，b>0)．
解：(1)原式＝42＋1－3＝14；
(2)原式＝a－
(b)－3÷(b－2a－)
＝a－＋b－2－(－2)＝a－1b0＝.
10．已知f(x)＝ax－a－x，g(x)＝ax＋a－x(a＞1)．
(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；
(2)设f(x)·f(y)＝4，g(x)·g(y)＝8，求的值．
解：(1)[f(x)]2－[g(x)]2
＝(ax－a－x)2－(ax＋a－x)2
＝2ax·(－2a－x)
＝－4.
(2)∵f(x)·f(y)＝4，
∴(ax－a－x)(ay－a－y)＝4.
∴ax＋y＋a－(x＋y)－ax－y－ay－x＝4，
即g(x＋y)－g(x－y)＝4.①
∵g(x)·g(y)＝8，
∴(ax＋a－x)·(ay＋a－y)＝8.
∴ax＋y＋a－(x＋y)＋ax－y＋ay－x＝8，
即g(x＋y)＋g(x－y)＝8.②
由①②得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2.
∴＝3.
指数扩充及其运算性质
学案
[读教材·填要点]
1．分数指数幂
(1)定义：
给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，把b叫作a的次幂，记作b＝a，它就是分数指数幂．
(2)几个结论：
①正分数指数幂的根式形式：a＝(a>0)．
②负分数指数幂的意义：a－＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
2．指数幂的运算性质
若a>0，b>0，对任意实数m，n，指数运算有以下性质：
(1)am·an＝am＋n；
(2)(am)n＝am·n；
(3)(ab)m＝ambm．
[小问题·大思维]
1．若b2＝53，则b＝5，b叫作5的次幂吗？
提示：不一定，当b＞0时，可以；当b＜0时，b不叫作5的次幂．
2．为什么分数指数幂中规定整数m，n互素？
提示：如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾．例如：a中，底数a∈R，当a＜0时，a＜0，而如果把a写成a，有两种运算：一是a＝(a)2就必须a≥0；二是a＝(a2)，在a＜0时，a的结果大于0，与a＜0相矛盾．所以规定整数m、n互素．
3．分数指数幂a可以理解为个a相乘，对吗？
提示：分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法，规定：a＝()m＝(a>0，n、m∈N＋，且为既约分数)，a－＝＝＝(a>0，n、m∈N＋，且为既约分数)．
[研一题]
[例1] 用分数指数幂表示下列各式．
(1)(a＞0)；
(2)；
(3)()－(b＞0)．
[自主解答] (1)原式＝＝＝(a)＝a；
(2)原式＝＝
＝＝＝＝x－；
(3)原式＝[(b－)]－＝b(－)××(－)＝b.
[悟一法]
此类问题应熟练应用a＝(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再根据性质进行化简．
[通一类]
1．用分数指数幂表示下列各式．
(1)8；(2)a2·；(3)
(a＞0)；
(4)(a＞0)．
解：(1)8＝23·2＝23＋＝2；
(2)原式＝a2·a＝a2＋＝a；
(3)原式＝
＝
＝
＝
＝a；
(4)原式＝＝a2－－＝a.
[研一题]
[例2] 计算或化简．
(1)a3b2(2ab－1)3；
(2)(0.064)－－(－)0＋[(－2)3]－＋16－0.75＋；
(3)(2)0.5＋0.1－2＋(2)－－3π0＋；
(4)
÷
(a＞0)；
(5)4＋1·23－2
·8－.
[自主解答] (1)原式＝a3b223a3b－3＝8a6b－1；
(2)原式＝[(0.4)3]
－－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝；
(3)原式＝()＋102＋()－－3＋
＝＋100＋－3＋
＝100；
(4)原式＝[a×·a×(－)]÷[a×(－)·a×]
＝a－＋－
＝a0＝1；
(5)原式＝(22)＋1·23－2·(23)－
＝22＋2·23－2·2－2
＝22＋2＋3－2－2＝23＝8.
[悟一法]
进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用．一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．
[通一类]
2．计算或化简下列各式．
(1)0.027－－(－)－2＋(2)－(－1)0；
(2)()－·；
(3)÷(1－2
)×.
解：(1)原式＝()－－()－2＋()－1＝
－49＋－1＝－45；
(2)原式＝(2－2)－·＝＝；
(3)原式＝÷×a
＝··a
＝a·a·a＝a.
[研一题]
[例3] 已知a＋a－＝3，求下列各式的值：
(1)a＋a－1； (2)a2＋a－2； (3).
[自主解答] (1)将a＋a－＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7；
(2)将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49.
∴a2＋a－2＝47；
(3)由于a－a－＝(a)3－(a－)3，
所以有＝
＝a＋a－1＋1＝8.
[悟一法]
对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形及平方、平方差等公式的应用，含开方运算时还要注意其符号问题．
[通一类]
3．(1)若102x＝25，10＝5，则10y－x＝________．
(2)若a－a－＝m，则＝________．
解析：(1)由102x＝25，得10x＝5，
∴10－x＝(10x)－1＝5－1，而10＝(10y)＝5，
∴10y＝52，则10y－x＝10y·10－x＝52·5－1＝5.
(2)由a－a－＝m，两边平方得：a＋a－1－2＝m2；
∴a＋a－1＝m2＋2，而＝a＋a－1＝m2＋2
答案：(1)5 (2)m2＋2
设a2n＝3，a＞0，求的值．
[解] 法一：由a2n＝3，a＞0得
an＝，a－n＝，a3n＝()3＝3，a－3n＝.
∴＝
＝
＝＝.
法二：＝
＝a2n－1＋a－2n
＝3－1＋＝.
法三：＝
＝＝
＝.
1．计算243等于( )
A．9
B．3
C．±3
D．－3
解析：由35＝243，得243＝3.
答案：B
2．下列各式运算错误的是( )
A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18
解析：对C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6≠a6b6.
答案：C
3.(a＞0)的值是( )
A．1
B．a
C．a
D．a
解析：原式＝＝＝＝a3－＝a.
答案：D
4．若b－3m＝π2n(b＞0，m，n∈N＋)，则b＝________．
解析：由b－3m＝π2n，得b＝π－＝.
答案：
5．已知x－3＋1＝a，则a2－2ax－3＋x－6的值为________．
解析：∵x－3＋1＝a，∴a－x－3＝1，
∴a2－2ax－3＋x－6＝(a－x－3)2＝1.
答案：1
6．求值：
2(×)6＋()－4()－－×80.25＋(－2
013)0.
解：原式＝2(2×3)6＋(2×2)－4×－2×2＋1
＝2×22×33＋2－7－2＋1＝210.
一、选择题
1．下列根式与分数指数幂互化中正确的是( )
A．－＝(－x)(x≠0)
B．x－＝－(x≠0)
C．()－＝
(xy>0)
D.＝y(y＜0)
解析：A中－＝－x≠(－x)(x≠0)，故A不正确；
B中x－＝≠－(x≠0)，B不正确；
C中()－＝＝＝
(xy>0)，C正确；
D中＝(－y)＝(－y)＝－y≠y(y＜0)，D不正确．
答案：C
2．将
化为分数指数幂的形式为( )
A．2
B．－2
C．2－
D．－2－
解析：原式＝
＝
＝(－2)＝－2.
答案：B
3．计算[(－)－2]－的结果是( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：原式＝[]－＝[]－＝()－＝(2－1)
－＝2＝.
答案：A
4．若x＞0，则(2x＋3)·(2x－3)－4x－(x－x)等于( )
A．－23
B．23
C．－23x
D．－23x－
解析：原式＝(2x)2－(3)2－4x－·x＋4x－·x＝4x－27－4x＋4＝－23.
答案：A
二、填空题
5．0.25×(－)－4－4÷20－()－＝________．
解析：原式＝×16－4－4＝－4.
答案：－4
6．若x＜0，则－＋＝________．
解析：原式＝－＋＝1.
答案：1
7．若xy＝8，且x＞0，y＞0，则－＝________.
解析：原式＝(x－xy＋y)－(x＋y)＝－xy＝－(xy)＝－8＝－2.
答案：－2
8．已知10α＝2，100β＝3，则1
0002α－β＝________．
解析：∵100β＝3，即102β＝3，∴10β＝3.
∴1
0002α－β＝106α－β＝＝＝.
答案：
三、解答题
9．(1)计算：＋－27；
(2)化简：÷
(a>0，b>0)．
解：(1)原式＝42＋1－3＝14；
(2)原式＝a－
(b)－3÷(b－2a－)
＝a－＋b－2－(－2)＝a－1b0＝.
10．已知f(x)＝ax－a－x，g(x)＝ax＋a－x(a＞1)．
(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；
(2)设f(x)·f(y)＝4，g(x)·g(y)＝8，求的值．
解：(1)[f(x)]2－[g(x)]2
＝(ax－a－x)2－(ax＋a－x)2
＝2ax·(－2a－x)
＝－4.
(2)∵f(x)·f(y)＝4，
∴(ax－a－x)(ay－a－y)＝4.
∴ax＋y＋a－(x＋y)－ax－y－ay－x＝4，
即g(x＋y)－g(x－y)＝4.①
∵g(x)·g(y)＝8，
∴(ax＋a－x)·(ay＋a－y)＝8.
∴ax＋y＋a－(x＋y)＋ax－y＋ay－x＝8，
即g(x＋y)＋g(x－y)＝8.②
由①②得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2.
∴＝3.