3.2.1-3.2.2 指数扩充及其运算性质 学案4（含答案）

3.2.1-3.2.2
指数扩充及其运算性质
学案
1．指数概念的扩充
(1)整数指数幂
①正整数指数幂：一个数a的n次幂等于n个a的连乘积，(n∈N＋)，a叫作幂的底数，n叫作幂的指数，an读作“a的n次幂”．
②零指数幂：任何一个不为零的数的0次幂都等于1，即a0＝1(a≠0)．
③负整数指数幂：一个数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数，即a－n＝
(a≠0，n∈N＋)．
(2)分数指数幂
给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的次幂，记作.它就是分数指数幂．
对分数指数幂概念的两点说明：
①分数指数幂不是个相同因式a相乘，它实质上是关于b的方程bn＝am的解．
②为什么分数指数幂的定义中规定b＞0
剖析：由整数指数幂的规定知，当a＞0时，对任意整数m，总有am＞0.若b＝0，当n为正整数时，bn＝0，此时bn≠am；当n为负整数或零时，bn无意义，bn＝am无意义．若b＜0，当n为奇数时，bn＜0，此时bn≠am；当n为偶数时，虽然bn＝am成立，但此时，0＞b≠＞0.因此规定b＞0.
谈重点
分数指数幂与根式的互化
有时我们把正数的正分数指数幂写成根式形式，即(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，即(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．在这样的规定下，分数指数幂可以看作是根式的一种新的写法，它们表示的意义相同，只是形式上不同而已．
另外，我们规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(3)无理数指数幂
当a＞0，p是一个无理数时，ap的值就可用两个指数为p的不足近似值和过剩近似值构成的有理数幂序列无限逼近而得到(这个逼近结果的极限就等于ap)，故ap是一个确定的实数．
(4)实数指数幂：规定了分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充；规定了无理数指数幂后，指数概念就由有理数指数幂扩充到了实数指数幂．自然地，对于任意的实数α，有1α＝1和a－α＝(a＞0)．
【例1－1】把下列各式中的b写成分数指数幂的形式(b＞0)：
(1)b3＝4；(2)b－2＝5；(3)bm＝32n(m，n∈N＋)．
分析：根据分数指数幂的概念可知，若bn＝am(a＞0，b＞0，m∈Z，n∈Z)，则b＝.
解：(1)b＝；(2)b＝；(3).
【例1－2】用分数指数幂表示下列各式：
(1)；(2)；(3)；(4).
分析：用分数指数幂表示根式时，要紧扣分数指数幂的根式形式(a＞0，m，n∈N＋且n＞1)．在中指数的分母n是开方次数，分子m是被开方数的乘方次数．
解：(1)；(2)；
(3)；(4).
【例1－3】求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)；(4).
分析：求的值，可紧扣分数指数幂的概念，即满足bn＝am时，＝b(m，n∈Z，a＞0，b＞0)；也可将分数指数幂写成根式的形式再求值．
解：(方法1)(1)设＝x，则x3＝642＝4
096，
又∵163＝4
096，∴x＝16，即＝16；
(2)设，则x4＝81－1＝，
又∵，∴，即；
(3)设，则x3＝125－1＝，
又∵，∴，即；
(4)设，则x3＝82＝64，
又∵43＝64，∴x＝4，即.
(方法2)(1)；
(2)；
(3)；
(4).
2．指数运算的性质
(1)正整数指数幂的运算性质
①am·an＝am＋n；
②(am)n＝amn；
③(ab)n＝anbn；
④当a≠0时，有＝eq
\b\lc\{\rc\
()
⑤eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1())n＝(b≠0)．
其中m，n∈N＋.
(2)实数指数幂的运算性质
当a＞0，b＞0时，对任意实数m，n都满足以下三条：
①am·an＝am＋n(两个同底数的幂相乘，底数不变，指数相加)；
②(am)n＝amn(幂的乘方，底数不变，指数相乘)；
③(ab)n＝anbn(两个实数积的幂等于它们幂的积)．
破疑点
指数运算性质的理解
1．在实数范围内，性质eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1())n＝可归入性质(ab)n＝anbn(其中a＞0，b＞0)．
这是因为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1())n＝(ab－1)n＝an·(b－1)n＝anb－n＝可由性质(ab)n＝anbn推出．
2．在实数范围内，性质＝eq
\b\lc\{\rc\
()可归入性质am·an＝am＋n(其中a＞0)．
这是因为，当m＞n时，＝am·a－n＝am＋(－n)＝am－n；
当m＝n时，＝am·a－n＝am＋(－n)＝am－n＝a0＝1；
当m＜n时，＝am·a－n＝am＋(－n)＝am－n＝a－(n－m)＝都可由性质am·an＝am＋n推出．
(3)在实数指数幂的运算性质中为何规定a＞0，b＞0
剖析：这是由分数指数幂的定义决定的，因为我们规定a＞0时＝表示一个根式，负数的分数指数幂的意义并没有定义，指数幂的运算性质不作这样的限制的话，就会出现运算上的错误．
例如：－2＝＝，显然这是错误的．
【例2－1】用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a＞0)．
(1)；(2)；(3).
分析：先利用分数指数幂与根式的互化关系将根式化为分数指数幂的形式，再根据指数运算的性质化简．
解：(1)；
(2)；
(3).
析规律
的应用
此类问题应熟练应用(a＞0，m，n∈N＋，且n＞1)．当各式中含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用指数运算的性质化简．
【例2－2】设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是(　　)．
A．　　　B．　　　C．
　　　D．
解析：.
答案：C
【例2－3】求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
解：(1)＝＝＝2×3＝6；
(2)＝
＝＝；
(3)＝；
(4)＝＝.
析规律
含根式的式子如何化简
对于含有根式的式子化简问题，常把根式化成分数指数幂的形式；熟练掌握指数的运算性质并灵活应用．
3．利用指数运算性质化简或求值的方法
(1)在进行指数幂和根式的混合运算时，一般要先将根式化为分数指数幂，然后根据指数幂的运算性质进行运算．
当化简式含有多重根号时，要遵循由内向外的原则，逐层脱去根号．
(2)进行指数运算时，一般化负指数为正指数幂，化根式为分数指数幂，化小数为分数．
几个幂相乘时，要特别注意几个幂底数的关系，能统一底数的要统一底数，再利用指数运算性质化简．
(3)运算结果不强求一致，若题目给出的是分数指数幂的形式，结果一般也用分数指数幂形式；若题目给出的是根式形式，结果一般也用根式形式；若题目给出的是指数与根式的混合形式，最后结果一般保留分数指数幂的形式．
值得注意的是，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含负指数幂，能合并同类项的必须合并．
【例3】化简或求值．
(1)；
(2)(0.25)－0.5＋－6250.25；
(3)；
(4)；
(5)
(a＞0)；
(6).
解：(1)原式＝＝；
(2)原式＝＝2＋3－5＝0；
(3)原式＝＝；
(4)原式＝
＝＝a0b0＝1；
(5)原式＝＝＝；
(6)原式＝＝＝.
4．给值求值问题
已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点与联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，像平方、立方等一些公式的应用问题，还要注意开方时的取值符号问题．
例如，已知，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)
.
显然，从已知条件中解出a的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．将两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.再将上式平方，有a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47.
由于，所以有＝a＋a－1＋1＝8.
【例4－1】已知2x＋2－x＝5，求(1)4x＋4－x；(2)8x＋8－x.
解：(1)4x＋4－x＝(22)x＋(22)－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x)2＋2×2x×2－x＋(2－x)2－2＝(2x＋2－x)2－2＝52－2＝23.
(2)8x＋8－x＝(23)x＋(23)－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x×2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝5×(23－1)＝110.
析规律
平方法在求值中的应用
遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方法进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可．本题中用到了两个公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．
【例4－2】已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，求的值．
分析：观察已知代数式和所求代数式的特点可知，，.于是联想到用完全平方公式，把公式的分子、分母同乘以分母的有理化因式后，分式的分子就变成了用x＋y，xy表示的代数式．
解：∵x＋y＝12，xy＝9，∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
又∵x＜y，∴x－y＝.
∴＝.