3.3 指数函数 学案1（含答案）

3.3
指数函数
学案
[读教材·填要点]
1．指数函数的定义
函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫作指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R．
2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像和性质
(1)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像和性质，如下表所示.
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图像
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
定点
恒过(0，1)点，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1
x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
(2)函数y＝ax与函数y＝()x(a＞0且a≠1)图像关于y轴对称．
[小问题·大思维]
1．对于指数函数y＝ax，为什么要规定底数a＞0且a≠1
提示：如果a＝0，
如果a＜0，如y＝(－4)x，当x＝、等时，在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1，是一个常量，对它就没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1.
2．在同一直角坐标系中画出y＝3x，y＝2x，y＝()x，y＝()x的图像，指出它们的相对位置与底数大小有何关系？
提示：借助图像可得如下结论：
(1)在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小．
(2)在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．
(3)无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
3．函数y＝3x的图像关于y轴对称图像对应的函数是什么？与偶函数图像对称有什么区别？
提示：是y＝3－x＝()x；这是两个函数图像关于y轴对称，而偶函数是一个函数的图像的两部分关于y轴对称．
[研一题]
[例1]　画出函数y＝()|x|的图像，并根据图像写出函数的值域及单调区间．
[自主解答]　∵y＝()|x|＝
∴在平面直角坐标系内画出函数y＝()x(x≥0)及y＝2x(x＜0)的图像．这两段图像合起来就是所求函数的图像，如图．
由图像可知所求函数的值域是(0，1]，递增区间是(－∞，0]，递减区间是[0，＋∞)．
[悟一法]
与指数函数有关的指数型函数的图像，一般是根据其解析式的结构特征，利用函数图像的平移、对称或翻折变换得其图像，然后利用图像直观地研究其性质．
[通一类]
1．已知函数y＝()|x＋1|
(1)试利用指数函数的图像作出该函数的图像；
(2)由图像指出该函数的单调区间；
(3)由图像指出当x取何值时，函数有最值．
解：(1)y＝()|x＋1|＝
其图像由两部分组成：
①y＝()x(x≥0)y＝()x＋1(x≥－1)；
②y＝3x(x＜0)y＝3x＋1(x＜－1)．
图像如图：
(2)由图像知函数在(－∞，－1]上是增函数，
在(－1，＋∞)上是减函数．
(3)由图像知当x＝－1时，函数有最大值1，无最小值.
[研一题]
[例2]　试比较下列各组数的大小：
(1)1.12.5与1.13；(2)0.8－0.1与0.8－0.2
(3)a0.3与a0.4(a＞0且a≠1)；(4)0.8－0.3与4.9－0.1.
[自主解答]　(1)考查指数函数y＝1.1x，由于底数1.1＞1，所以函数y＝1.1x在R上是增函数．
∵2.5＜3，∴1.12.5＜1.13；
(2)考查函数y＝0.8x，由于底数0.8＜1，
所以函数y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2；
(3)当a＞1时，函数y＝ax在R上是增函数．
∵0.3＜0.4，∴a0.3＜a0.4.
当0＜a＜1时，函数y＝ax在R上是减函数，∴a0.3＞a0.4；
(4)∵
0.8－0.3＞0.80＝1，4.9－0.1＜4.90＝1，
∴0.8－0.3＞4.9－0.1.
[悟一法]
对于指数幂的大小比较，一般规律为：
(1)同底数指数幂大小的比较：构造指数函数，利用单调性比较大小．
(2)同指数不同底数的指数幂：在同一坐标中作出不同底数的函数的图像，利用图像比较大小．
(3)既不同底数，又不同指数指数幂：利用中间量法，常借助中间量0或1进行比较，如本例(4)．
[通一类]
2．比较下列各组数的大小．
(1)0.80.5与()－0.4；(2)40.9，80.48，()－1.5；
(3)0.6－2与()－；(4)0.30.4与0.40.3.
解：(1)()－0.4＝()0.4＝0.80.4，
∵函数y＝0.8x在定义域R上是减函数，
又∵0.5>0.4，∴0.80.5<0.80.4，
即0.80.5<()－0.4；
(2)∵40.9＝21.8，80.48＝21.44，()－1.5＝21.5，
∵y＝2x在定义域R上为增函数，
∴21.8>21.5>21.44，即40.9>()－1.5>80.48；
(3)∵0.6－2>0.60＝1，()－<()0＝1，
∴0.6－2>()－；
(4)当指数相同且大于0时，底数越大图像越高，
∴0.30.3<0.40.3，又∵0.30.4<0.30.3，
∴0.30.4<0.40.3.
[研一题]
[例3]　(1)求函数y＝
的定义域和值域；
(2)求函数y＝()－x2＋2x的值域；
(3)求函数y＝－()x＋4·()x＋5的值域；
(4)讨论函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的奇偶性和单调性．
[自主解答]　(1)x应满足1－()x≥0，
∴()x≤1＝()0，即x≥0，
∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．
∵x≥0，∴()x≤1.
又∵()x＞0，∴0＜()x≤1.
∴0≤1－()x＜1，
∴0≤y＜1，∴此函数值域为[0，1)；
(2)设u＝－x2＋2x.
∵y＝()u，u＝－x2＋2x的定义域都是R，
∴y＝()－x2＋2x的定义域为R，
∵u＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，
∴()u≥()1，∴函数的值域为[，＋∞)；
(3)∵y＝－()x＋4·()x＋5
＝－()2x＋4·()x＋5
＝－[()x－2]2＋9≤9，
∴y∈(－∞，9]；
(4)易得f(x)的定义域为{x|x∈R}．
∵f(－x)＝＝＝－f(x)，且定义域为R，
∴f(x)是奇函数．
f(x)＝＝1－，
①当a＞1时，∵ax＋1为增函数，且ax＋1＞0，
∴为减函数，
∴f(x)＝1－＝为增函数．
②当0＜a＜1时，同理可得f(x)＝为减函数．
[悟一法]
(1)指数型函数y＝af(x)的有关性质：
①定义域：与y＝f(x)的定义域相同．
②值域：先求f(x)的值域，再根据单调性确定y＝af(x)的值域．
(2)对于y＝m(ax)2＋nax＋c(m≠0)的值域，利用换元法转化为二次函数，和用二次函数求值域的方法求解．
(3)与指数函数有关的函数的单调性、奇偶性用定义解决．
[通一类]
3．若函数y＝为奇函数．
(1)确定a的值；
(2)求函数的定义域；
(3)求函数的值域；
(4)讨论函数的单调性．
解：先将函数
y＝化简为y＝a－.
(1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，
即a－＋a－＝0，
∴2a＋＝0.∴a＝－；
(2)∵y＝－－，∴2x－1≠0.
∴函数y＝－－的定义域为{x|x≠0}；
(3)∵x≠0，∴2x－1＞－1.
又∵2x－1≠0，∴0＞2x－1＞－1或2x－1＞0.
∴－－＞或－－＜－，
即函数的值域为{y|y＞或y＜－}；
(4)当x＞0时，设0＜x1＜x2，
则y1－y2＝－＝.
∵0＜x1＜x2，∴1＜2x1＜2x2.
∴2x1－2x2＜0，2x1－1＞0，2x2－1＞0.∴y1－y2＜0.
因此y＝－－在(0，＋∞)上是增加的．
由于y＝f(x)是奇函数，从而y＝－－在(－∞，0)上也是增加的.
关于x的方程＋1－2a＝0有两个相等的实数根．则a的取值范围是________．
[巧思]　将问题转化为直线y＝2a与函数y＝＋1(a＞0且a≠1)的图像有两个交点，利用数形结合法求解．
[妙解]　当a＞1时，函数y＝＋1通过平移变换和翻折变换可得如图所示的图像(实线)，
由图可知1＜2a＜2，
即＜a＜1，与a＞1矛盾．
当0＜a＜1时，同样函数y＝＋1通过平移变换和翻折变换得到如图所示的图像(虚线)，
由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1.
∴当直线y＝2a与函数y＝＋1的图像有两个交点时a的取值范围是{a|＜a＜1}．
[答案]　{a|＜a＜1}
1．已知以x为自变量的函数，其中属于指数函数的是(　　)
A．y＝(a＋1)x(其中a＞－1，且a≠0)
B．y＝(－3)x
C．y＝－(－3)x
D．y＝3x＋1
解析：在指数函数y＝ax的定义中，要求①a＞0且a≠1，②ax，x的系数均为1，符合以上两点的是选项A.
答案：A
2．(2012·四川高考)函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图像可能是(　　)
解析：法一(图像变换法)当0法二(特殊点法)由题意可知函数y＝ax－a(a>0且a≠1)必过点(1,0)，故只有C项符合．
答案：C
3．已知()a＞()b，则a、b的大小关系是(　　)
A．1＞a＞b＞0　　　　　　
B．a＜b
C．a＞b
D．1＞b＞a＞0
解析：考查指数函数y＝()x，∵底数＜1，∴y＝()x在R上是减函数．∵()a＞()b，∴a＜b.
答案：B
4．函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a＝________.　
解析：∵指数函数是单调函数，∴函数y＝ax在区间[0，1]端点上取得最值．∴a0＋a＝3，得a＝2.
答案：2
5．若a＜0，则函数y＝(1－a)x－1的图像必过点________．
解析：a＜0，－a＞0，1－a＞1，
∴y＝(1－a)x为指数函数，过点(0，1)，
将y＝(1－a)x的图像向下平移1个单位，
得到函数y＝(1－a)x－1的图像，过定点(0，0)．
答案：(0，0)
6．设a＞0，f(x)＝＋在R上满足f(－x)＝f(x)，
(1)求a的值；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
解：依题意，对一切x∈R有f(x)＝f(－x)，
即＋＝＋aex.
所以(a－)(ex－)＝0对一切x∈R成立．
由此可得a－＝0，即a2＝1.又因为a＞0，所以a＝1；
(2)证明：设0＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ex1－ex2＋－
＝(ex2－ex1)(－1)
＝ex1(ex2－x1－1)·.
由x1＞0，x2＞0，x2－x1＞0，得x1＋x2＞0，ex2－x1－1＞0，1－ex2＋x1＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
一、选择题
1．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是(　　)
A．y＝　　　　　　
B．y＝()1－x
C．y＝
D．y＝
解析：由y＝()1－x，知：x∈R，1－x∈R，
∴y＝()1－x＞0.
答案：B
2．指数函数y＝b·ax在[b，2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝(　　)
A．2
B．－3
C．2或－3
D.
解析：∵y＝b
·ax为指数函数，∴b＝1，则[b，2]＝[1，2]．由于y＝ax为单调函数，∴函数在区间[1，2]的端点处取得最值，∴a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)．
答案：A
3．已知f(x)＝则f(8)等于(　　)
A．4
B．0
C.
D．2
解析：f(8)＝f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝f(－2)＝2－2＝.
答案：C
4．定义运算a×b＝则函数f(x)＝1×2x的图像是(　　)
解析：当x＜0时，2x＜1，f(x)＝2x；当x≥0时，2x≥1，f(x)＝1.
答案：A
二、填空题
5．函数y＝的定义域是________．
解析：∵8－2x≥0，即2x≤23，又y＝2x在R上为增函数．∴x≤3的定义域为(－∞，3]．
答案：(－∞，3]
6．已知a＝0.30.2，b＝0.20.2，c＝0.20.3，d＝，则a，b，c，d由小到大排列的顺序是________．
解析：∵0.30.2＜0.30＝1，同理：0.20.2＜1，0.20.3＜1，＞1，考查幂函数y＝x0.2，可知该函数在(0，＋∞)上是增函数．∴0.30.2＞0.20.2；考查指数函数y＝0.2x，可知该函数在R上是减函数，∴0.20.2＞0.20.3，综上，0.20.3＜0.20.2＜0.30.2＜()－1.5，即c＜b＜a＜d.
答案：c＜b＜a＜d
7．函数f(x)＝(a＞0，a≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是________．
解析：当x＜0时，函数f(x)＝－x＋3－3a是减函数；
当x≥0时，函数f(x)＝ax是减函数，则0＜a＜1；且满足0＋3－3a≥a0，解得a≤，
所以a的取值范围是(0，]．
答案：(0，]
8．若0＜a＜1，b＜－1，则函数f(x)＝ax＋b的图像一定不经过第________象限．
解析：函数f(x)＝ax＋b的图像可由函数y＝ax的图像向上(b＞0时)或向下(b＜0)时，平移|b|个单位得到，∵0＜a＜1，b＜－1，结合图像可知，f(x)＝ax＋b的图像一定不经过第一象限．
答案：一
三、解答题
9．已知函数y＝a2x＋2ax－1(0＜a＜1)在区间[－1，1]上的最大值是14，试求a的值．
解：由y＝a2x＋2ax－1(0＜a＜1)，
令t＝ax，∵x∈[－1，1]∴a≤t≤，
∴y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
对称轴为t＝－1.
∵0＜a＜1∴＞1，∴当t＝，
即x＝－1时，y取最大值．
ymax＝＋－1＝14，解得a＝，a＝－.
∵0＜a＜1，∴a＝.
10．已知函数f(x)＝(＋)·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明f(x)＞0.
解：(1)由题意，2x－1≠0，即x≠0，
∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
(2)对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(－x)＝(＋)(－x)3
＝·(－x)3
＝·(－x)3
＝(＋)·x3＝f(x)，
∴f(x)为定义域上的偶函数；
(3)当x＞0时，2x＞1，∴2x－1＞0.
又∵x3＞0，∴f(x)＞0.
由偶函数的图像关于y轴对称，知x＜0时，f(x)＞0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)＞0.