3.3 指数函数 学案3（含答案）
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3.3 指数函数
学案
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a＞0，a≠1)叫作指数函数．
谈重点
如何理解指数函数的定义
(1)指数函数的定义域是实数集R.
(2)底数a大于零且不等于1的理由：
若a＝0，那么当x＞0时，ax≡0(“≡”表示恒等于)，当x≤0时，ax无意义；
若a＜0，那么对于x的某些数值，如，可使ax无意义；
若a＝1，那么对任何的x∈R，ax≡1，对它没有研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1，这样对于任何x∈R，ax都有意义，而且有研究的必要．
(3)指数函数解析式的结构特征：
在指数函数y＝ax中，ax的系数必须是1，自变量x必须出现在指数的位置上，底数a是一个大于0而不等于1的常量．有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如y＝ax＋k(a＞0，a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，例如y＝a－x(a＞0，a≠1)，这是因为它的解析式可以等价化归为，其中，.
指数函数结构的三个特征是判断函数是否为指数函数的三个标准，缺一不可．
(4)“形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数”，这是非常有用的函数模型——指数增长型．
【例1－1】函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )．
A．a＝1，或a＝2
B．a＝1
C．a＝2
D．a＞0，且a≠1
解析：根据指数函数解析式的结构特征可知，若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则需解得a＝2.
答案：C
【例1－2】指数函数y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则f(0)＝________，f(1)＝________，f(－π)＝________.
解析：设指数函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)，因为其图像经过点(π，e)，所以aπ＝e，故a＝，f(x)＝.
因此，f(0)＝e0＝1，f(1)＝，f(－π)＝e－1＝.
答案：1
析规律
待定系数法求解析式
已知函数类型求函数解析式，通常采用待定系数法．
【例1－3】下列函数是指数函数的是________．
(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；
(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；
(8)y＝(2a－1)x(且a≠1)
解析：根据指数函数解析式的结构特征进行判断，易知(1)(5)(8)为指数函数．(2)式中的自变量在底数的位置上，是幂函数而不是指数函数；(3)中4x的系数为－1，所以不是指数函数；(4)中底数－4＜0，所以不是指数函数；(6)中指数不是自变量x，而是x的函数x2，所以不是指数函数；(7)中底数x不是常数，不是指数函数．
答案：(1)(5)(8)
2．指数函数y＝2x和的图像和性质
(1)图像：在同一直角坐标系中用描点法画出函数y＝2x和的图像．由图可以看出，两个函数图像的相同点是都位于x轴的上方，都过点(0,1)；两个函数图像的不同点是函数y＝2x的图像是上升的，函数的图像是下降的．两个函数的图像关于y轴对称．
(2)性质：定义域都是实数集R，函数值都大于0；20＝＝1；函数y＝2x是R上的增函数，函数是R上的减函数．
(3)正整数指数函数y＝2x(x∈N＋)和实数指数函数y＝2x(x∈R)的图像都是上升的，在各自的定义域上都是增函数，但它们的图像不同，函数y＝2x(x∈N＋)的图像是一些孤立的点，这些点都在函数y＝2x(x∈R)的图像上；函数y＝2x(x∈R)的图像是一条连续的曲线．
【例2】满足的x的取值范围是__________．
解析：可结合指数函数的图像，也可利用指数函数的单调性解决．由指数函数的图像可以看出，当x＜0时，函数值.或利用其单调性求解，由于，而在R上是减函数，所以x＜0.
答案：(－∞，0)
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像和性质
a＞1
0＜a＜1
图像
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
定点
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
指数函数反映了实数与正实数之间的一种一一对应关系．
【例3－1】函数y＝15x的图像是( )．
解析：因为指数函数y＝15x的底数15＞1，所以函数y＝15x是R上的增函数，排除A，C；又因为当x＝0时，y＝1，即图像过点(0,1)，故选B.
答案：B
【例3－2】函数的定义域和值域分别是( )．
A．R，R
B．(0，＋∞)，(0，＋∞)
C．(0，＋∞)，R
D．R，(0，＋∞)
解析：因为函数是指数函数，所以，由指数函数的性质可知，函数的定义域为R，值域是(0，＋∞)．
答案：D
4．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的底数a对函数图像的影响
(1)一般地，当a＞b＞1时，函数y＝ax和y＝bx的图像如图所示．
由图像可以看出：两个函数都是R上的增函数；
当x＜0时，总有0＜ax＜bx＜1；
当x＝0时，总有ax＝bx＝1；
当x＞0时，总有ax＞bx＞1；
指数函数的底数越大，当x＞0时，其函数值增长得就越快．
(2)当0＜b＜a＜1时，函数y＝ax和y＝bx的图像如图所示．
由图像可以看出：两个函数都是R上的减函数；
当x＜0时，总有bx＞ax＞1；
当x＝0时，总有ax＝bx＝1；
当x＞0时，总有0＜bx＜ax＜1；
指数函数的底数越小，当x＜0时，其函数值减少得就越快．
【例4】下图是指数函数(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是( )．
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
解析：根据图像的直观性可先分两类，(1)(2)的底数小于1，(3)(4)的底数大于1，即a＜1，b＜1，c＞1，d＞1，由此可排除C.因为指数函数y＝mx(m＞1)的底数越大，当x＞0时，其函数值增长得就越快，所以，由图像(3)(4)可知c＞d；因为指数函数y＝mx(0＜m＜1)的底数越小，当x＜0时，其函数值减少得就越快，所以，由图像(1)(2)可知b＜a，综上可得b＜a＜1＜d＜c.
答案：B
析规律
直线x＝1的妙用
我们也可以利用直线x＝1与指数函数的图像的交点位置比较底数的大小．如图是四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx在同一直角坐标系中的图像．作出直线x＝1，则其与四个函数交点的纵坐标恰好是相应函数的底数，根据数轴上实数的大小关系可直观地得到底数的大小为a＞b＞1＞c＞d＞0.可简记为：在第一象限内，指数函数的底数从下向上依次增大．
5．函数y＝ax与函数的图像间的关系
一般地，在同一坐标系内画出函数y＝ax(a＞1)和函数
(a＞1)的图像，可以发现，二者的图像关于y轴对称，如下图所示．
下面从点关于线对称的角度，加以说明．
设P(m，n)为函数y＝ax图像上任意一点，其关于y轴的对称点为P′(－m，n)．显然，对于函数，当x＝－m时，＝(a－1)－m＝a(－1)×(－m)＝am＝n，
即点P′(－m，n)在函数的图像上，所以函数y＝ax与函数的图像关于y轴对称．
【例5】函数y＝2－|x|的示意图是( )．
解析：因为y＝2－|x|＝而且与y＝2x的图像关于y轴对称，在[0，＋∞)上是减函数，y＝2x在(－∞，0)上是增函数，所以函数y＝2－|x|的示意图是D.
答案：D
6．与指数函数有关的函数的定义域和值域求法
与指数函数有关的指数型函数，是指数函数与其他函数复合的函数．求这类函数的定义域时，充当指数的式子取全体实数都有意义；求值域时，要注意到充分考虑指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．形如y＝af(x)函数的定义域是使f(x)有意义的x的取值集合，求其值域应先求出f(x)的值域，再结合指数函数的单调性求出af(x)的值域．对于解析式中某些较复杂的式子，往往采用换元法求解，这样可以使问题变得清楚简洁，避免出错．
【例6】求下列函数的定义域和值域：
(1)；(2).
分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，分式问题要使分母不为0，二次根式问题要使被开方数大于或等于0；结合换元法，联想函数的图像，根据单调性等确定值域．
解：(1)要使函数有意义，只需x－4≠0，即x≠4.
∴函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)．
∵x≠4，，
∴，
∴函数的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．
(2)函数的定义域为R.
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，∴.
∴函数的值域为.
7．指数幂大小的比较方法
比较幂式的大小时，通常有以下几种方法：
(1)单调性法：当幂式的底数相同时，可构造指数函数，利用指数函数的单调性进行比较(此时，要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值以及指数函数的底数与1的大小关系，从而确定函数的单调性，特别地，当底数中含有字母时要注意分类讨论)；
(2)图像法：若幂式的底数不同而指数相同时，可以根据指数函数的图像随底数的变化规律，利用图像进行比较；
(3)中间量法：若底数不同且幂指数也不同时，则需要引入中间量进行比较，中间量可以是幂式，使它与其中一个底数相同而与另外一个指数相同，或用0,1作为中间量．
【例7－1】设y1＝40.9，y2＝80.48，，则( )．
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2
D．y1＞y2＞y3
解析：从形式上看，三个幂式的底数和指数各不相同，但根据指数的运算性质可得，y1＝40.9＝(22)0.9＝21.8，y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，＝(2－1)－1.5＝21.5.
因为指数函数y＝2x(x∈R)是增函数，所以21.8＞21.5＞21.44，即y1＞y3＞y2.
答案：C
【例7－2】比较下列各组中数的大小．
(1)________；(2)2.3－0.28________0.67－3.1.
解析：(1)根据指数函数的图像随底数的变化规律可知，函数和的图像如图所示，易知＜.
(2)∵2.3－0.28＜2.30＝1,0.67－3.1＞0.670＝1，∴2.3－0.28＜0.67－3.1.
答案：(1)＜ (2)＜
8．指数型方程(不等式)的解法
(1)因为y＝ax(a＞0，a≠1)是单调函数，若af(x)＝ag(x)f(x)＝g(x)．这是解“同底型”指数方程的基本依据；对于形如a2x＋b·ax＋c＝0的方程，可用换元法求解，先令ax＝t，将原方程转化为二次方程t2＋bt＋c＝0，求出t，再求x.
例如，解方程，根据指数的运算性质，原方程可化为，即.因为指数函数y＝2x在R上是增函数，所以，即x2＋x－1＝0(x≠0)．解得或.
又如，解方程4x－3×2x－4＝0，由于4x＝(22)x＝(2x)2，所以方程可化为(2x)2－3×2x－4＝0.
若把2x看作一个整体，令2x＝t(t＞0)，则方程t2－3t－4＝0是关于t的一元二次方程．解得t＝4或t＝－1(舍去)，即2x＝4＝22，故x＝2.
(2)因为y＝ax(a＞0，a≠1)是单调函数，故af(x)＞ag(x)这是解简单的“同底型”指数不等式的基础．例如，已知(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
观察不等式可知，这是一个“同底型”指数不等式，由于a2＋a＋2＝＞1，
所以y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数，
故x＞1－x，
即，
【例8－1】解不等式＞a(a＞0，a≠1)．
分析：根据＞a1和指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的单调性将不等式转化为关于x的一元二次不等式x2－3x＋1＞1或x2－3x＋1＜1求解即可．
解：当a＞1时，指数函数y＝ax是R上的增函数，
∴由＞a1，可得x2－3x＋1＞1，
即x2－3x＞0，∴x(x－3)＞0.
∴或解得x＞3或x＜0.
当0＜a＜1时，指数函数y＝ax是R上的减函数，
∴由＞a1，可得x2－3x＋1＜1，
即x2－3x＜0，∴x(x－3)＜0.
∴或解得0＜x＜3.
综上可知，当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞3或x＜0}；
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|0＜x＜3}．
【例8－2】画出函数y＝|3x－1|的图像，并利用图像回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
解：函数y＝|3x－1|的图像如下(图中实线部分)．
因此，x的取值范围是.
(3)利用函数的图像也可解决与指数型方程和不等式有关的问题，如观察两个函数y＝f(x)和y＝g(x)图像的交点个数可确定方程f(x)＝g(x)的解的个数，观察函数y＝f(x)与x轴的交点情况，可以确定不等式f(x)＞0或f(x)＜0的解集等．
由图可知，当k＜0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像无交点，即方程|3x－1|＝k无解；
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有唯一的交点，即方程|3x－1|＝k有一解；
当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有两个不同交点，即方程|3x－1|＝k有两解．
9．指数型函数的定点问题
由于a0＝1(a≠0)，即任意一个不为0的数的零次方都等于1，所以，对于指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)，不管其底数取何大于0且不等于1的常数，其图像都过一个定点(0,1)．因此，讨论有关指数型函数的定点问题时，关键是确定指数等于0的条件．
一般地，函数g(x)＝kaf(x)＋b(a＞0，a≠1，k，b是常数)，若f(m)＝0，则函数g(x)恒过定点(m，k＋b)．熟记此结论，可提高解题速度．
【例9】若对任意大于0且不等于1的实数a，函数y＝(p－1)·ax－(p是常数)的图像恒过一定点，则该定点坐标为________．
解析：虽然当实数a变化时，函数y＝(p－1)·ax－(p是常数)的解析式不同，其图像也会相应地变化，但是，当x＝0时，ax≡1，此时y＝(p－1)－＝是一个常数，所以所有函数的图像恒过一定点，该定点坐标为.
答案：
解技巧
指数型函数的定点问题
求指数型函数的定点问题时，只需令含变量底数的幂的指数为零，则可消去底数，从而解出定点．
10．指数函数图像的变换
(1)函数图像的平移变换
一般地，函数y＝f(x)的图像向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位长度就得到y＝f(x＋a)的图像；向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位长度就得到y＝f(x)＋b的图像．
所以，若已知y＝ax的图像，把它向左(m＞0)或向右(m＜0)平移|m|个单位长度就得到y＝ax＋m的图像；向上(n＞0)或向下(n＜0)平移|n|个单位长度就得到y＝ax＋n的图像．
(2)函数图像的对称变换
一般地，函数y＝f(x)的图像与y＝f(－x)的图像关于y轴对称；与y＝－f(x)的图像关于x轴对称；与y＝－f(－x)的图像关于原点对称．
所以，若已知y＝ax的图像，则其与y＝a－x的图像关于y轴对称；与y＝－ax的图像关于x轴对称；与y＝－a－x的图像关于原点对称．
(3)函数图像的翻折变换
①y＝|f(x)|的图像是保留y＝f(x)的图像中位于x轴及其上方的部分，将y＝f(x)的图像中位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到的；
②y＝f(|x|)是一个偶函数，其图像关于y轴对称，y＝f(|x|)的图像是保留y＝f(x)的图像中位于y轴及其右侧的部分，去掉位于y轴左侧的部分，再将右侧部分以y轴为对称轴翻折到左侧而得到的．
【例10】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数y＝2x的图像经过怎样的变换得到的．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2|x|；(4)y＝|2x－1|；(5)y＝－2x；(6)y＝－2－x.
分析：可用描点法或图像的变换规律作出函数的图像，然后再指出两个函数图像的关系．由图像的变换规律，可掌握函数图像的大致形状和快速作图．
解：如图所示：
(1)y＝2x－1的图像是由y＝2x的图像向右平移1个单位长度得到的；
(2)y＝2x＋1的图像是由y＝2x的图像向上平移1个单位长度得到的；
(3)y＝2|x|的图像是保留y＝2x的图像中位于y轴及其右侧的部分，去掉位于y轴左侧的部分，再将右侧部分以y轴为对称轴翻折到左侧而得到的；
(4)y＝|2x－1|的图像是由y＝2x的图像向下平移1个单位长度，然后将其x轴下方的图像对称到x轴上方得到的；
(5)y＝－2x的图像与y＝2x的图像关于x轴对称；
(6)y＝－2－x的图像与y＝2x的图像关于原点对称．
学案
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a＞0，a≠1)叫作指数函数．
谈重点
如何理解指数函数的定义
(1)指数函数的定义域是实数集R.
(2)底数a大于零且不等于1的理由：
若a＝0，那么当x＞0时，ax≡0(“≡”表示恒等于)，当x≤0时，ax无意义；
若a＜0，那么对于x的某些数值，如，可使ax无意义；
若a＝1，那么对任何的x∈R，ax≡1，对它没有研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1，这样对于任何x∈R，ax都有意义，而且有研究的必要．
(3)指数函数解析式的结构特征：
在指数函数y＝ax中，ax的系数必须是1，自变量x必须出现在指数的位置上，底数a是一个大于0而不等于1的常量．有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如y＝ax＋k(a＞0，a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，例如y＝a－x(a＞0，a≠1)，这是因为它的解析式可以等价化归为，其中，.
指数函数结构的三个特征是判断函数是否为指数函数的三个标准，缺一不可．
(4)“形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数”，这是非常有用的函数模型——指数增长型．
【例1－1】函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )．
A．a＝1，或a＝2
B．a＝1
C．a＝2
D．a＞0，且a≠1
解析：根据指数函数解析式的结构特征可知，若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则需解得a＝2.
答案：C
【例1－2】指数函数y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则f(0)＝________，f(1)＝________，f(－π)＝________.
解析：设指数函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)，因为其图像经过点(π，e)，所以aπ＝e，故a＝，f(x)＝.
因此，f(0)＝e0＝1，f(1)＝，f(－π)＝e－1＝.
答案：1
析规律
待定系数法求解析式
已知函数类型求函数解析式，通常采用待定系数法．
【例1－3】下列函数是指数函数的是________．
(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；
(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；
(8)y＝(2a－1)x(且a≠1)
解析：根据指数函数解析式的结构特征进行判断，易知(1)(5)(8)为指数函数．(2)式中的自变量在底数的位置上，是幂函数而不是指数函数；(3)中4x的系数为－1，所以不是指数函数；(4)中底数－4＜0，所以不是指数函数；(6)中指数不是自变量x，而是x的函数x2，所以不是指数函数；(7)中底数x不是常数，不是指数函数．
答案：(1)(5)(8)
2．指数函数y＝2x和的图像和性质
(1)图像：在同一直角坐标系中用描点法画出函数y＝2x和的图像．由图可以看出，两个函数图像的相同点是都位于x轴的上方，都过点(0,1)；两个函数图像的不同点是函数y＝2x的图像是上升的，函数的图像是下降的．两个函数的图像关于y轴对称．
(2)性质：定义域都是实数集R，函数值都大于0；20＝＝1；函数y＝2x是R上的增函数，函数是R上的减函数．
(3)正整数指数函数y＝2x(x∈N＋)和实数指数函数y＝2x(x∈R)的图像都是上升的，在各自的定义域上都是增函数，但它们的图像不同，函数y＝2x(x∈N＋)的图像是一些孤立的点，这些点都在函数y＝2x(x∈R)的图像上；函数y＝2x(x∈R)的图像是一条连续的曲线．
【例2】满足的x的取值范围是__________．
解析：可结合指数函数的图像，也可利用指数函数的单调性解决．由指数函数的图像可以看出，当x＜0时，函数值.或利用其单调性求解，由于，而在R上是减函数，所以x＜0.
答案：(－∞，0)
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的图像和性质
a＞1
0＜a＜1
图像
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
定点
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
指数函数反映了实数与正实数之间的一种一一对应关系．
【例3－1】函数y＝15x的图像是( )．
解析：因为指数函数y＝15x的底数15＞1，所以函数y＝15x是R上的增函数，排除A，C；又因为当x＝0时，y＝1，即图像过点(0,1)，故选B.
答案：B
【例3－2】函数的定义域和值域分别是( )．
A．R，R
B．(0，＋∞)，(0，＋∞)
C．(0，＋∞)，R
D．R，(0，＋∞)
解析：因为函数是指数函数，所以，由指数函数的性质可知，函数的定义域为R，值域是(0，＋∞)．
答案：D
4．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的底数a对函数图像的影响
(1)一般地，当a＞b＞1时，函数y＝ax和y＝bx的图像如图所示．
由图像可以看出：两个函数都是R上的增函数；
当x＜0时，总有0＜ax＜bx＜1；
当x＝0时，总有ax＝bx＝1；
当x＞0时，总有ax＞bx＞1；
指数函数的底数越大，当x＞0时，其函数值增长得就越快．
(2)当0＜b＜a＜1时，函数y＝ax和y＝bx的图像如图所示．
由图像可以看出：两个函数都是R上的减函数；
当x＜0时，总有bx＞ax＞1；
当x＝0时，总有ax＝bx＝1；
当x＞0时，总有0＜bx＜ax＜1；
指数函数的底数越小，当x＜0时，其函数值减少得就越快．
【例4】下图是指数函数(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是( )．
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
解析：根据图像的直观性可先分两类，(1)(2)的底数小于1，(3)(4)的底数大于1，即a＜1，b＜1，c＞1，d＞1，由此可排除C.因为指数函数y＝mx(m＞1)的底数越大，当x＞0时，其函数值增长得就越快，所以，由图像(3)(4)可知c＞d；因为指数函数y＝mx(0＜m＜1)的底数越小，当x＜0时，其函数值减少得就越快，所以，由图像(1)(2)可知b＜a，综上可得b＜a＜1＜d＜c.
答案：B
析规律
直线x＝1的妙用
我们也可以利用直线x＝1与指数函数的图像的交点位置比较底数的大小．如图是四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx在同一直角坐标系中的图像．作出直线x＝1，则其与四个函数交点的纵坐标恰好是相应函数的底数，根据数轴上实数的大小关系可直观地得到底数的大小为a＞b＞1＞c＞d＞0.可简记为：在第一象限内，指数函数的底数从下向上依次增大．
5．函数y＝ax与函数的图像间的关系
一般地，在同一坐标系内画出函数y＝ax(a＞1)和函数
(a＞1)的图像，可以发现，二者的图像关于y轴对称，如下图所示．
下面从点关于线对称的角度，加以说明．
设P(m，n)为函数y＝ax图像上任意一点，其关于y轴的对称点为P′(－m，n)．显然，对于函数，当x＝－m时，＝(a－1)－m＝a(－1)×(－m)＝am＝n，
即点P′(－m，n)在函数的图像上，所以函数y＝ax与函数的图像关于y轴对称．
【例5】函数y＝2－|x|的示意图是( )．
解析：因为y＝2－|x|＝而且与y＝2x的图像关于y轴对称，在[0，＋∞)上是减函数，y＝2x在(－∞，0)上是增函数，所以函数y＝2－|x|的示意图是D.
答案：D
6．与指数函数有关的函数的定义域和值域求法
与指数函数有关的指数型函数，是指数函数与其他函数复合的函数．求这类函数的定义域时，充当指数的式子取全体实数都有意义；求值域时，要注意到充分考虑指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．形如y＝af(x)函数的定义域是使f(x)有意义的x的取值集合，求其值域应先求出f(x)的值域，再结合指数函数的单调性求出af(x)的值域．对于解析式中某些较复杂的式子，往往采用换元法求解，这样可以使问题变得清楚简洁，避免出错．
【例6】求下列函数的定义域和值域：
(1)；(2).
分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，分式问题要使分母不为0，二次根式问题要使被开方数大于或等于0；结合换元法，联想函数的图像，根据单调性等确定值域．
解：(1)要使函数有意义，只需x－4≠0，即x≠4.
∴函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)．
∵x≠4，，
∴，
∴函数的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．
(2)函数的定义域为R.
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，∴.
∴函数的值域为.
7．指数幂大小的比较方法
比较幂式的大小时，通常有以下几种方法：
(1)单调性法：当幂式的底数相同时，可构造指数函数，利用指数函数的单调性进行比较(此时，要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值以及指数函数的底数与1的大小关系，从而确定函数的单调性，特别地，当底数中含有字母时要注意分类讨论)；
(2)图像法：若幂式的底数不同而指数相同时，可以根据指数函数的图像随底数的变化规律，利用图像进行比较；
(3)中间量法：若底数不同且幂指数也不同时，则需要引入中间量进行比较，中间量可以是幂式，使它与其中一个底数相同而与另外一个指数相同，或用0,1作为中间量．
【例7－1】设y1＝40.9，y2＝80.48，，则( )．
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2
D．y1＞y2＞y3
解析：从形式上看，三个幂式的底数和指数各不相同，但根据指数的运算性质可得，y1＝40.9＝(22)0.9＝21.8，y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，＝(2－1)－1.5＝21.5.
因为指数函数y＝2x(x∈R)是增函数，所以21.8＞21.5＞21.44，即y1＞y3＞y2.
答案：C
【例7－2】比较下列各组中数的大小．
(1)________；(2)2.3－0.28________0.67－3.1.
解析：(1)根据指数函数的图像随底数的变化规律可知，函数和的图像如图所示，易知＜.
(2)∵2.3－0.28＜2.30＝1,0.67－3.1＞0.670＝1，∴2.3－0.28＜0.67－3.1.
答案：(1)＜ (2)＜
8．指数型方程(不等式)的解法
(1)因为y＝ax(a＞0，a≠1)是单调函数，若af(x)＝ag(x)f(x)＝g(x)．这是解“同底型”指数方程的基本依据；对于形如a2x＋b·ax＋c＝0的方程，可用换元法求解，先令ax＝t，将原方程转化为二次方程t2＋bt＋c＝0，求出t，再求x.
例如，解方程，根据指数的运算性质，原方程可化为，即.因为指数函数y＝2x在R上是增函数，所以，即x2＋x－1＝0(x≠0)．解得或.
又如，解方程4x－3×2x－4＝0，由于4x＝(22)x＝(2x)2，所以方程可化为(2x)2－3×2x－4＝0.
若把2x看作一个整体，令2x＝t(t＞0)，则方程t2－3t－4＝0是关于t的一元二次方程．解得t＝4或t＝－1(舍去)，即2x＝4＝22，故x＝2.
(2)因为y＝ax(a＞0，a≠1)是单调函数，故af(x)＞ag(x)这是解简单的“同底型”指数不等式的基础．例如，已知(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
观察不等式可知，这是一个“同底型”指数不等式，由于a2＋a＋2＝＞1，
所以y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数，
故x＞1－x，
即，
【例8－1】解不等式＞a(a＞0，a≠1)．
分析：根据＞a1和指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的单调性将不等式转化为关于x的一元二次不等式x2－3x＋1＞1或x2－3x＋1＜1求解即可．
解：当a＞1时，指数函数y＝ax是R上的增函数，
∴由＞a1，可得x2－3x＋1＞1，
即x2－3x＞0，∴x(x－3)＞0.
∴或解得x＞3或x＜0.
当0＜a＜1时，指数函数y＝ax是R上的减函数，
∴由＞a1，可得x2－3x＋1＜1，
即x2－3x＜0，∴x(x－3)＜0.
∴或解得0＜x＜3.
综上可知，当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞3或x＜0}；
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|0＜x＜3}．
【例8－2】画出函数y＝|3x－1|的图像，并利用图像回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
解：函数y＝|3x－1|的图像如下(图中实线部分)．
因此，x的取值范围是.
(3)利用函数的图像也可解决与指数型方程和不等式有关的问题，如观察两个函数y＝f(x)和y＝g(x)图像的交点个数可确定方程f(x)＝g(x)的解的个数，观察函数y＝f(x)与x轴的交点情况，可以确定不等式f(x)＞0或f(x)＜0的解集等．
由图可知，当k＜0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像无交点，即方程|3x－1|＝k无解；
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有唯一的交点，即方程|3x－1|＝k有一解；
当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有两个不同交点，即方程|3x－1|＝k有两解．
9．指数型函数的定点问题
由于a0＝1(a≠0)，即任意一个不为0的数的零次方都等于1，所以，对于指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)，不管其底数取何大于0且不等于1的常数，其图像都过一个定点(0,1)．因此，讨论有关指数型函数的定点问题时，关键是确定指数等于0的条件．
一般地，函数g(x)＝kaf(x)＋b(a＞0，a≠1，k，b是常数)，若f(m)＝0，则函数g(x)恒过定点(m，k＋b)．熟记此结论，可提高解题速度．
【例9】若对任意大于0且不等于1的实数a，函数y＝(p－1)·ax－(p是常数)的图像恒过一定点，则该定点坐标为________．
解析：虽然当实数a变化时，函数y＝(p－1)·ax－(p是常数)的解析式不同，其图像也会相应地变化，但是，当x＝0时，ax≡1，此时y＝(p－1)－＝是一个常数，所以所有函数的图像恒过一定点，该定点坐标为.
答案：
解技巧
指数型函数的定点问题
求指数型函数的定点问题时，只需令含变量底数的幂的指数为零，则可消去底数，从而解出定点．
10．指数函数图像的变换
(1)函数图像的平移变换
一般地，函数y＝f(x)的图像向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位长度就得到y＝f(x＋a)的图像；向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|个单位长度就得到y＝f(x)＋b的图像．
所以，若已知y＝ax的图像，把它向左(m＞0)或向右(m＜0)平移|m|个单位长度就得到y＝ax＋m的图像；向上(n＞0)或向下(n＜0)平移|n|个单位长度就得到y＝ax＋n的图像．
(2)函数图像的对称变换
一般地，函数y＝f(x)的图像与y＝f(－x)的图像关于y轴对称；与y＝－f(x)的图像关于x轴对称；与y＝－f(－x)的图像关于原点对称．
所以，若已知y＝ax的图像，则其与y＝a－x的图像关于y轴对称；与y＝－ax的图像关于x轴对称；与y＝－a－x的图像关于原点对称．
(3)函数图像的翻折变换
①y＝|f(x)|的图像是保留y＝f(x)的图像中位于x轴及其上方的部分，将y＝f(x)的图像中位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到的；
②y＝f(|x|)是一个偶函数，其图像关于y轴对称，y＝f(|x|)的图像是保留y＝f(x)的图像中位于y轴及其右侧的部分，去掉位于y轴左侧的部分，再将右侧部分以y轴为对称轴翻折到左侧而得到的．
【例10】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数y＝2x的图像经过怎样的变换得到的．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2|x|；(4)y＝|2x－1|；(5)y＝－2x；(6)y＝－2－x.
分析：可用描点法或图像的变换规律作出函数的图像，然后再指出两个函数图像的关系．由图像的变换规律，可掌握函数图像的大致形状和快速作图．
解：如图所示：
(1)y＝2x－1的图像是由y＝2x的图像向右平移1个单位长度得到的；
(2)y＝2x＋1的图像是由y＝2x的图像向上平移1个单位长度得到的；
(3)y＝2|x|的图像是保留y＝2x的图像中位于y轴及其右侧的部分，去掉位于y轴左侧的部分，再将右侧部分以y轴为对称轴翻折到左侧而得到的；
(4)y＝|2x－1|的图像是由y＝2x的图像向下平移1个单位长度，然后将其x轴下方的图像对称到x轴上方得到的；
(5)y＝－2x的图像与y＝2x的图像关于x轴对称；
(6)y＝－2－x的图像与y＝2x的图像关于原点对称．