3.3.2 指数函数的图像与性质的应用 学案1（含答案）

3.3.2
指数函数的图像与性质的应用
学案
课标解读
1.理解并掌握指数函数的图像和性质．(重点)2．掌握函数图像的简单变换．(易混点)3．能运用指数函数的有关性质去研究指数型函数的性质．(难点)
知识
函数图像的变换
【问题导思】　
若已知函数f(x)＝2x的图像．
1．如何得到f(x)＝2x－1的图像？
【提示】　向右平移1个单位．
2．如何得到f(x)＝2x－2的图像？
【提示】　向下平移2个单位．
3．如何得到f(x)＝()x的图像？
【提示】　作f(x)＝2x关于y轴的对称图像．
4．如何得到f(x)＝－2x的图像？
【提示】　将f(x)＝2x的图像以x轴为对称轴翻折到x轴下方．
1．平移变换
(1)左右平移：y＝f(x)y＝f(x＋a)
特征：左加右减：
(2)上下平移：y＝f(x)y＝f(x)＋k
特征：上加下减．
2．对称变换
(1)y＝f(x)y＝－f(x)；
(2)y＝f(x)y＝f(－x)；
(3)y＝f(x)y＝－f(－x)．
3．翻折变换
(1)y＝f(x)
y＝f(|x|)．
(2)y＝f(x)
Y=|f(x)|
(见学生用书第43页)
类型1
函数图像的作法
　利用函数f(x)＝()x的图像，作出下列函数的图像：
(1)f(x＋1)；(2)－f(x)；(3)f(－x)．
【思路探究】　作出y＝()x
的图像→明确f(x)与f(x＋1)，
－f(x)，f(－x)图像间
的关系
分别得出图像
【自主解答】　作出f(x)＝()x的图像，如图所示：
(1)f(x＋1)的图像：需将f(x)的图像向左平移1个单位得f(x＋1)的图像，如图(1)．
(2)－f(x)的图像：作f(x)的图像关于x轴对称的图像得－f(x)的图像，如图(2)．
(3)f(－x)的图像：作f(x)的图像关于y轴对称的图像得f(－x)的图像，如图(3)．
1．利用已知的函数图像作图，主要运用图像的平移、对称等变换，平移变换需分清楚向何方向移，要移多少个单位，如(1)；对称变换需分清对称轴是什么，如(2)(3)．
2．利用变换作图，一般步骤是：
选基函数→写出变换过程→画图像
函数y＝2|x|的图像是(　　)
【解析】　法一　由于y＝2|x|＝所以A正确．
法二　y＝2|x|对称变换
y＝2|x|，知选A.
【答案】　A
类型2
与指数函数有关的复合函数
　求下列函数的单调区间：
(1)y＝3x2－2x＋7；(2)y＝4x－2·2x＋5.
【思路探究】　将复合函数写成y＝f(u)，u＝φ(x)的形式，然后利用复合函数的单调性求解．
【自主解答】　(1)函数的定义域为R，对u＝x2－2x＋7＝(x－1)2＋6，当x≥1时，u为增函数，x≤1时，u为减函数，又3>1，
∴函数y＝3x2－2x＋7的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．
(2)令2x＝t，则t是x的增函数，
y＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4，
当t≥1，即2x≥1，即x≥0时，y是t的增函数；
当t≤1，即2x≤1，即x≤0时，y是t的减函数；
又函数的定义域为R，
∴函数y＝4x－2·2x＋5的单调增区间是[0，＋∞)，减区间是(－∞，0]．
1．求函数的单调区间，首先求函数的定义域，对复合函数的单调性，应注意y＝f(u)与u＝g(x)单调性的一致性和相反性．
2．在复合函数中，一般情况下，如果两个函数都是增函数或都是减函数，则复合函数是增函数；如果两个函数一增一减，则复合函数为减函数，简称“同增异减”．
　(1)(2013·荆州检测)函数y＝()x2－3x＋2的单调增区间是________．
(2)y＝(－1)－x2＋2x＋3的单调增区间是(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　　　B．(－∞，1]
C．(1,3)
D．(－1,1)
【解析】　令u＝x2－3x＋2＝(x－)2－，令y＝()u在定义域内是减函数，而求y＝()x2－3x＋2的增区间，只需求u的减区间，∴x∈(－∞，]．
(2)函数y的定义域为R，u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；x≥1时，u是减函数，又0<－1<1，
∴y的增区间为(1，＋∞)．
【答案】　(1)(－∞，]　(2)A
类型3
指数函数的综合问题
　已知函数f(x)＝2x＋2ax＋b，且f(1)＝，f(2)＝.
(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明；
(3)判断并证明函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并求f(x)的值域．
【思路探究】　(1)将两个已知条件代入解析式即可求a，b；(2)求出函数的定义域，再依据奇偶性的判断方法求解；(3)依据单调性的证明步骤给出过程，再依据单调性求值域．
【自主解答】　(1)∵∴根据题意得解得
故a，b的值分别为－1,0.
(2)由(1)知f(x)＝2x＋2－x，f(x)的定义域为R，关于原点对称．
因为f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．
(3)设任意x1因为x11，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)当x＝0时，函数取得最小值，为f(0)＝1＋1＝2，
所以f(x)的值域为[2，＋∞)．
1．指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义．
2．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．
　设a为实数，f(x)＝a－(x∈R)．
(1)证明f(x)在R上为增函数；
(2)试确定a的值，使f(x)为奇函数．
【解】　(1)证明：设x1，x2∈R，x1f(x1)－f(x2)＝(a－)－(a－)
＝.
由于指数函数y＝2x在R上为增函数，且x1所以2x1<2x2，即2x1－2x2<0.
又由2x>0，得2x1＋1>0,2x2＋1>0.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在R上为增函数．
(2)若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－(a－)．
变形得2a＝＋
＝＋＝＝2.
解得a＝1.所以当a＝1时，f(x)为奇函数.
指数函数问题中的数形结合思想
　(12分)关于x的方程|ax－1|＋1－2a＝0有两个相等的实数根，求实数a的取值范围．
【思路点拨】　将条件转化为直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0且a≠1)的图像有两个交点，利用数形结合法求解．
【规范解答】　当a>1时，函数y＝|ax－1|＋1通过平移变换和翻折变换可得如图所示的图像(实线)，4分
由图可知1<2a<2，
即1矛盾.6分
当0由图可知1<2a<2，即∴当直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1的图像有两个交点时a的取值范围是{a|1．解答此题要注意底数的不确定性，因此作图时要注意分类讨论．
2．根据条件确定直线y＝2a与函数图像的位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其求解过程体现了数形结合思想在处理函数图像的交点时的应用．
1．能根据图像的平移、翻折、对称解决与指数函数相关的问题．
2．对于形如f(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的函数，可以利用复合函数的单调性，转化为指数函数y＝ax及函数g(x)的单调性来处理，具体是：
当a>1时，函数f(x)的单调性与函数g(x)的单调性一致；
当03．在一些较复杂的函数问题中，基本函数的性质可以直接在解题过程中应用．同时注意将复杂函数问题转化为基本函数问题.
(见学生用书第45页)
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)
A．y＝x3　　　　　　B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1
D．y＝2－|x|
【解析】　∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对．
y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C不对．
D中y＝2－|x|＝()|x|虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B对．
【答案】　B
2．函数y＝()1－x的单调增区间为(　　)
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
【解析】　设t＝1－x，则y＝()t，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝()1－x的递增区间．
【答案】　A
3．函数y＝ax－3＋3(a>0且a≠1)的图像过定点________．
【解析】　法一　因为指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图像过定点(3,4)．
法二　将原函数变形，得y－3＝ax－3，然后把y－3看作是(x－3)的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3，y＝4，所以原函数的图像过定点(3,4)．
【答案】　(3,4)
4．已知函数f(x)＝＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性．
【解】　(1)由2x－1≠0，得2x≠1，即x≠0，
所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)因为函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，
且f(－x)＝＋＝＋
＝－＋
＝－＋＋＝－1＋－
＝－(＋)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数.
(见学生用书第107页)
一、选择题
1．为了得到函数y＝2x－3＋1的图像，只需把函数y＝2x上的所有点(　　)
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
【解析】　y＝2xy＝2x－3y＝2x－3＋1.
【答案】　C
2．函数y＝()|x|的值域为(　　)
A．{y|y>0}　　　　　　　B．{y|y≤1}
C．{y|y≥1}
D．{y|0【解析】　由于|x|≥0，且y＝()|x|为偶函数，结合其图像知0【答案】　D
3．若函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有(　　)
A．00
B．a>1，且b>0
C．0D．a<1，且b>0
【解析】　根据题意，画出函数y＝ax＋b－1(a>0且a≠1)的大致图像，如图所示．所以0【答案】　C
4．若不等式2－x＋a＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<－1
B．a≤－1
C．a>－1
D．a≥－1
【解析】　原不等式可化为()x>－a－1，由于()x>0，
所以要使原不等式对x∈R恒成立，只需－a－1≤0，
即a≥－1.
【答案】　D
5．(2013·商丘高一检测)若函数f(x)＝
是R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞)
B．(1,8)
C．(4,8)
D．[4,8)
【解析】　因为f(x)在R上是增函数，故结合图像(图略)知解得4≤a<8.
【答案】　D
二、填空题
6．若f(x)＝π－(x－u)2的最大值为m，且f(x)是偶函数，则m＋n＝________.
【解析】　因为f(－x)＝f(x)，
所以π－(x＋u)2＝π－(x－u)2
所以(x＋u)2＝(x－u)2.
所以u＝0，f(x)＝π－x2，
因为x2≥0，所以－x2≤0.
所以0<π－x2≤1.
所以m＝1，故m＋n＝1.
7．若函数f(x)＝则不等式f(x)≥的解集为________．
【解析】　(1)当x≥0时，由f(x)≥得()x≥，
∴0≤x≤1.
(2)当x<0时，不等式≥明显不成立．
综上可知不等式f(x)≥的解集是{x|0≤x≤1}．
【答案】　{x|0≤x≤1}
8．(2013·大连高一检测)若关于x的方程()|x|＋m＝0有实数解，则实数m的取值范围是________．
【解析】　法一　∵0<()|x|≤1，
∴m<()|x|＋m≤m＋1.
要使方程()|x|＋m＝0有解，只要m<0≤m＋1，
解得－1≤m<0，故实数m的取值范围是[－1,0)．
法二　令y＝()|x|＋m，作函数图像，如图：
依题意，函数y＝()|x|＋m的图像与x轴有交点，
∴解得－1≤m<0，即m∈[－1,0)．
【答案】　[－1,0)
三、解答题
9．画出函数y＝2|x＋1|的图像，并根据图像指出它的单调区间．
【解】　变换作图，y＝2xy＝2|x|y＝2|x＋1|，如图．
由图可知函数y＝2|x＋1|在(－∞，－1)]上单调递减，
在(－1，＋∞)上单调递增．
10．求函数y＝()x2－2x＋2(0≤x≤3)的值域．
【解】　令t＝x2－2x＋2，则y＝()t，
又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1,0≤x≤3，
∴当x＝1时，tmin＝1；当x＝3时，tmax＝5.
故1≤t≤5，∴()5≤y≤()1，
故所求函数的值域为[，]．
11．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
【解】　(1)∵f(x)为奇函数且在x＝0处有意义，
∴f(0)＝0，即＝0，
∴b＝1，
∴f(x)＝.
又∵f(－1)＝－f(1)，
∴＝－，
∴a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝，
先研究f(x)＝的单调性．
∵f(x)＝＝－＋，
∴f(x)＝在R上为减函数．
∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，
即f(t2－2t)<－f(2t2－k)
＝f(－2t2＋k)．
又∵f(x)在R为减函数，
∴t2－2t>－2t2＋k，
即对一切t∈R，有3t2－2t－k>0，
∴Δ<0，即4＋12k<0，
∴k<－.
故k的取值范围是(－∞，).