3.3.3 指数函数的图像和性质 教案3

3.3.3
指数函数的概念及图像和性质
教案
教学目标
1、知识目标：
i会做指数函数的图像；
ii能归纳出指数函数的几个基本性质；
iii会进行指数函数性质的简单应用。
2、能力目标：
通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。
3、情感目标：
通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。
（三）教学重点和难点
1、重点：指数函数的性质和图像。
2、难点：指数函数性质的归纳。
知识点一
指数函数的定义
[例1]　指出下列函数哪些是指数函数：
(1)y＝3x；(2)y＝x2；
(3)y＝－3x；(4)y＝(－3)x；
(5)y＝πx；(6)y＝(4x)2；
(7)y＝xx；(8)y＝(6a－3)x(a>，且a≠)．
[思路点拨]　根据指数函数定义判断．
[精解详析]　(1)(5)(8)为指数函数．
(2)底数不是常数，故不是指数函数；
(3)是－1与指数函数3x的乘积；
(4)中底数－3<0，故不是指数函数；
(6)中指数不是自变量x，而是x的函数；
(7)中底数x不是常数，它们都不符合指数函数的定义．
[一点通]　判断一个函数是否为指数函数，①底数要大于零且不等于1；②幂指数是自变量x；③系数为1，只是y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)这样的形式．
题组集训
1．下列函数中：
①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝()x；
④y＝3－；⑤y＝x.
是指数函数的是________(填序号)．
解析：①中指数式的系数不为1；②中y＝2x－1＝·2x的系数亦不为1；④中自变量不为x；⑤中的指数为常数且底数不是唯一确定的值．
答案：③
2．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，求a的值．
解：由指数函数的定义知
由①得a＝1或2，结合②得a＝2.
知识点二
指数函数的图像和性质
[例2]　求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；
(2)y＝()2x－x2；
(3)y＝5.
[思路点拨]　函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，分式问题要使分母不为0，根式问题要使被开方数有意义，结合换元法，联想函数的图像，根据单调性等确定值域．
[精解详析]　(1)要使函数有意义，必须x－4≠0，
∴x≠4，
故所求函数的定义域为{x∈R|x≠4}．
∵x≠4，≠0，
∴2≠1，
故函数的值域为{y|y>0，且y≠1}；
(2)定义域为R.
∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
∴()2x－x2≥()1＝.
故函数y＝()2x－x2的值域为{y|y≥}；
(3)要使函数有意义，必须且只需3x－2≥0，即x≥，
∴函数的定义域为.
设t＝，则t≥0，y＝5t，
∴y≥50＝1.
∴所求函数的值域为.
[一点通]　求与指数函数有关的函数定义域和值域时，要充分考虑指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．对于解析式较复杂的函数，往往采用换元法求解，这样可以使问题变得简洁，避免出错．
题组集训
3．函数y＝＋2的定义域是(　　)
A．{x|－≤x≤}　　　　
B．{x|1≤x≤
}
C．{x|x≥1}
D．R
解析：x满足
∴1≤x≤
.
答案：B
4．求函数y＝()－2x2－8x＋1(－3≤x≤1)的值域．
解：令t＝－2x2－8x＋1，
则y＝()t，
又t＝－2x2－8x＋1
＝－2(x2＋4x)＋1
＝－2(x＋2)2＋9，
－3≤x≤1，
∴当x＝－2时，tmax＝9，
当x＝1时，tmin＝－9，
故－9≤t≤9，
∴()9≤y≤()－9，
即3－9≤y≤39，
故所求函数值域为[3－9,39].
知识点三
利用指数函数的性质比较大小
[例3]　比较下列各组数的大小：
(1)－1.8与－2.6；(2)()－与1；
(3)0.6－2与()－；(4)()0.3与3－0.2.
[思路点拨]　(1)(2)(4)利用指数函数的单调性比较；(3)利用中间值1比较．
[精解详析]　(1)0<<1，y＝()x在定义域R内是减函数．
又∵－1.8>－2.6，
∴()－1.8<()－2.6；
(2)∵0<<1，∴y＝()x在定义域R内是减函数．
又∵－<0，∴()－>()0＝1，∴()－>1；
(3)∵0.6－2>0.60＝1，()－<()0＝1，
∴0.6－2>()－；
(4)∵()0.3＝3－0.3，
又∵－0.3<－0.2，∴3－0.3<3－0.2，
∴()0.3<3－0.2.
[一点通]　
比较指数式大小的方法：
(1)单调性法：比较同底数幂的大小，可构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数的图像和性质来判断．
(2)中间量法：比较不同底数且不同指数幂的大小，常借助于中间值1进行比较．利用口诀“同大异小”，判断指数幂和1的大小．
题组集训
5．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则(　　)
A．y3>y1>y2
B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3
D．y1>y3>y2
解析：40.9＝21.8,80.48＝21.44，
()－1.5＝21.5，
根据y＝2x在R上是增函数，
所以21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2.
答案：D
6．比较下列各题两个值的大小：
(1)0.90.1,0.90.2；
(2)()－π，1；
(3)2.3－0.28,0.67－3.1.
解：(1)0.90.1,0.90.2可看作函数y＝0.9x的两个函数值，由于底数0.9<1，
所以指数函数y＝0.9x在R上是减函数，
因为0.1<0.2，
所以0.90.1>0.90.2；
(2)考察函数y＝()x，
∵0<<1，
∴函数y＝()x在(－∞，＋∞)上是减函数．
又－π<0，
∴()－π>()0＝1；
(3)由指数函数的性质，知
2．3－0.28<2.30＝1,0.67－3.1>0.670＝1，
所以2.3－0.28<0.67－3.1.
1．在指数函数定义中y＝ax具备的特点
2．对于函数y＝af(x)
定义域：使f(x)有意义的x的取值范围．
值域：分两步求得：第一步求u＝f(x)的值域．
第二步利用y＝au的单调性求得此函数的值域．
3．比较幂的大小的常用方法
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断．
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．