3.3.3 指数函数的图像与性质 教案2

3.3.3指数函数的图像与性质
教案
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用．
2．过程与方法
培养学生数形结合的意识，提高学生观察、分析、归纳的思维能力．
3．情感、态度与价值观
通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问、善于探索的思维品质．
●重点难点
重点：指数函数的概念、图像和性质及其应用．
难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用．
教学时，要让学生体会其中隐含的函数关系，引导学生通过y＝2x和y＝()x两个函数，感受到这两个函数中的指数幂具有的共性：可以写为y＝ax的形式．在学习指数函数的性质时，建议尽可能地引导学生通过观察图像，自己归纳概括出指数函数的性质．为了使学生能够主动研究指数函数的图像和性质，教师可以充分利用信息技术提供互动环境，先引导学生随意地取a的值，并在同一个平面直角坐标系内画出它们的图像，然后再通过底数a的连续动态变化展示函数图像的分布情况，这样就会使学生比较容易地概括出指数函数的性质．
(教师用书独具)
●教学建议
为充分贯彻新课程理念，使教学过程真正成为学生学习过程，让学生体验数学发现和创造的历程，本节课拟采用直观教学法、启发发现法、课堂讨论法等教学方法．以多媒体演示为载体，启发学生观察思考，分析讨论为主，教师适当引导点拨，让学生始终处在教学活动的中心．
●教学流程
从指数概念的扩充过程引出指数函数的概念，并完成例1及变式训练 通过描点法做出函数y＝2x和y＝()x的图像，观察两个函数图像的特征 通过例2及其变式训练，加深对指数函数的认识 通过多媒体课件展示当底数a取不同的值时函数图像，让学生直观感知底数对图像的影响
通过例3及其变式训练，让学生初步掌握函数的图像和性质 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
(见学生用书第40页)
课标解读
1.理解指数函数的概念．2．通过具体指数函数的图像，体会指数函数图像与底数a的关系．(重点易混点)3．掌握指数函数的图像与性质及其简单应用．(难点)
知识点一
指数函数的定义
【问题导思】　
已知函数y＝2x，y＝()x.
1．上面两个关系式是函数式吗？
【提示】　是．
2．这两个函数形式上有什么共同点？
【提示】　底数为常数，指数为自变量．
　函数y＝ax叫作指数函数，自变量x在指数位置上，底数a是一个大于0且不等1的常量．
知识点二
指数函数的图像与性质
【问题导思】　
1．试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝()x(x∈R)的图像
【提示】
2．两函数图像有无交点？
【提示】　有交点，其坐标为(0,1)．
3．两函数图像与x轴有交点吗？
【提示】　没有交点，图像在x轴上方．
4．两函数的定义域是什么，值域是什么？
【提示】　定义域是R，值域是(0，＋∞)．
5．两函数的单调性如何？
【提示】　y＝2x是增函数，y＝()x是减函数．
a>1
0图象
性质
定义域：R
值域：(0，＋∞)
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
x>0时，y>1；x<0时，0x>0时，01
是R上的增函数
是R上的减函数
(见学生用书第40页)
类型1
指数函数的概念
　指出下列函数哪些是指数函数．
(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；(8)y＝(2a－1)x(a>，且a≠1)．
【思路探究】　紧扣指数函数的定义，能否转化为y＝ax(a>0且a≠1)的形式．
【自主解答】　(1)(5)(8)为指数函数，(2)是幂函数；(3)是－1与指数函数y＝4x的乘积；(4)中底数－4<0，所以它不是指数函数，(6)中指数不是x，(7)中底数x不是常数．
一般地，函数y＝ax叫作指数函数，其中a是一个大于零且不等于1的常数，x是自变量，正确完成例1需要准确理解指数函数的定义．严格对比指数函数的定义是解决好本题的关键．
已知指数函数f(x)＝(a2－8)ax的图像过点(－1，)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(－)的值．
【解】　(1)∵f(x)＝(a2－8)ax为指数函数，
∴a2－8＝1.①
又∵图像过点(－1，)，∴f(－1)＝.②
联立①②得a＝3，
∴f(x)＝3x.
(2)f(－)＝3－＝＝.
类型2
指数函数的图像
　设f(x)＝3x，g(x)＝()x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图像；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
【思路探究】　建系→列表→描点→连线
【自主解答】　(1)函数f(x)与g(x)的图像如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝()－1＝3；
f(π)＝3π，g(－π)＝()－π＝3π；
f(m)＝3m，g(－m)＝()－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图像关于y轴对称．
1．指数函数的图像根据底数不同分为两类：
(1)当0(2)当a>1时，指数函数y＝ax是定义域R上的增函数．
2．不论底数取何值，指数函数的图像恒过点(0,1)．即要求指数型函数过定点，只需让指数位置等于0即可．
　(1)指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图3－3－1所示，则(　　)
图3－3－1
A．a<0，b<0　　　　　B．a<0，b>0
C．01
D．0(2)函数y＝15x的图像是(　　)
【解析】　(1)结合图像易知01.
(2)因为指数函数y＝15x的底数15>1，所以函数y＝15x是R上的增函数，排除A、C；又因为当x＝0时，y＝1，即图像过点(0,1)，故选B.
【答案】　(1)C　(2)B
类型3
指数函数性质的简单应用
　比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5,1.73；
(2)2.3－0.28,0.67－3.1.
【思路探究】　(1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)利用中间量1比较大小．
【自主解答】　(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7，
故构造函数y＝1.7x，
则函数y＝1.7x在R上是增函数．
又2.5<3，所以1.72.5<1.73.
(2)(中间量法)由指数函数的性质，知
2．3－0.28<2.30＝1,0.67－3.1>0.670＝1，
所以2.3－0.28<0.67－3.1.
比较指数式大小的方法
1．单调性法：比较同底数幂的大小，可构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．
2．中间量法：比较不同底且不同指数幂的大小，常借助于中间值1进行比较．利用口诀“同大异小”，判断指数幂和1的大小．
　(1)下列不等关系中，正确的是(　　)
A．()<1<()　　　B．()<()<1
C．1<()<()
D．()<()<1
(2)(2013·长沙高一检测)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则(　　)
A．y3>y1>y2
B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2
D．y1>y2>y3
【解析】　(1)∵函数y＝()x在R上是减函数，而0<<，
∴()<()<()0，即()<()<1.
(2)从形式上看，三个幂式的底数和指数各不相同，但根据指数的运算性质可得，y1＝40.9＝(22)0.9＝21.8，y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y3＝()－1.5＝(2－1)－1.5＝21.5.
因为指数函数y＝2x(x∈R)是增函数，所以21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2.
【答案】　(1)D　(2)C
(见学生用书第42页)
忽略对指数函数底数a的讨论致误
　求函数y＝(a>0且a≠1)的定义域．
【错解】　要使函数式有意义，则ax－1≥0，即ax≥1，解得x≥0，故函数y＝(a>0且a≠1)的定义域为[0，＋∞)．
【错因分析】　解不等式ax≥1时需用到指数函数的单调性，故需对底数a分类讨论，错解默认了a>1.
【防范措施】　对涉及到含参数的不等式问题，需注意是否对参数进行讨论．
【正解】　要使函数式有意义，则ax－1≥0，即ax≥1.
易得：当a>1时，有x≥0；当0故当a>1时，函数的定义域为[0，＋∞)；
当01．指数函数定义中y＝ax具备的特点：
指数函数a是一个常数，不含自变量，a>0
且a≠1ax的系数为1指数位置是x且它的系数为1
2．指数函数中，底数a决定了函数的部分性质，当a>1时函数是增加的，当03．比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
(见学生用书第42页)
1．函数y＝(a2－a－5)ax是指数函数，则有(　　)
A.
a＝－2或a＝3　　　　　　B．a＝－2
C．a＝3
D．a>0且a≠1
【解析】　因为“一般地，函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数”，所以函数y＝(a2－a－5)ax是指数函数的条件是解得a＝3，故选C.
【答案】　C
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．(－∞，0)
B．(－∞，0]
C．(0，＋∞)
D．[0，＋∞)
【解析】　由题意得1－2x≥0，即2x≤1，所以x≤0.
【答案】　B
3．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．
【解析】　由题意知，0＜2－a＜1，即1＜a＜2.
【答案】　(1,2)
4．已知指数函数的图像过点M(3,8)，求f(4)，f(－4)的值．
【解】　设指数函数是y＝ax(a>0，a≠1)，则有
8＝a3，∴a＝2，∴y＝2x.
从而f(4)＝24＝16，f(－4)＝2－4＝.
(见学生用书第105页)
一、选择题
1．下列函数一定是指数函数的是(　　)
A．y＝5x＋1
　　　　　　B．y＝x4
C．y＝3－x
D．y＝2·3x
【解析】　y＝5x＋1＝5·5x与y＝2·3x都不符合指数函数的定义，y＝x4是幂函数．
【答案】　C
2．函数y＝()的值域是(　　)
A．(－∞，0)
B．(0,1]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，1]
【解析】　由≥0且y＝()x是减函数，知0【答案】　B
3．已知a＝30.2，b＝53，c＝3－0.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　)
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．b>c>a
【解析】　因为b＝53>a＝30.2>1，而0所以b>a>c.
【答案】　B
4．(2013·贵阳高一检测)已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　)
A．2　　　B.
C．0　　　D.
【解析】　f(－1)＝2－1＝，f(f(－1)＝f()＝3＝.
【答案】　B
5．不等式2x>()x－x2的解集为(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．(0,2)
D．[0,2]
【解析】　∵()x－x2＝2x2－x且y＝2x在R上单调递增，
∴原不等式转化为x>x2－x即x2－2x<0，
∴解集为(0,2)．
【答案】　C
二、填空题
6．已知指数函数的图像过点(－1,2)，则f(－2)＝____.
【解析】　设指数函数的解析式为y＝ax(a>0且a≠1)，将(－1,2)代入得2＝a－1，
∴a＝，∴y＝()x，∴f(－2)＝()－2＝4.
【答案】　4
7．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝2x－2的值域为________．
【解析】　∵－1≤x≤1，∴＝2－1≤2x≤21＝2，
∴－≤2x－2≤0.
【答案】　[－，0]
8．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．
【解析】　若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(1)＝a，
由题意a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去)．
若0∴a－a2＝，∴a＝或a＝0(舍去)．
【答案】　或
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图像经过点(2，)，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
【解】　(1)函数图像过点(2，)，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)f(x)＝()x－1(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1，
于是0<()x－1≤()－1＝2.
所以，所求的函数值域为(0,2]．
10．如果2×22x>()1－x，求x的取值范围．
【解】　∵2×22x>()1－x，
∴22x＋1>2x－1，
∴2x＋1>x－1，
∴x>－2.即x∈(－2，＋∞)．
11．求函数y＝()x＋()x＋1的值域．
【解】　令t＝()x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝(t＋)2＋.因为函数y＝(t＋)2＋在t∈(0，＋∞)上是增函数，所以y>1，即原函数的值域是(1，＋∞).
(教师用书独具)
　右图是指数函数(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)
A．aB．bC．1D．a【思路探究】　利用指数增长的快慢进行比较，取特殊值验证．
【自主解答】　根据图像的直观性可先分两类，(1)(2)的底数小于1，(3)(4)的底数大于1，即a<1，b<1，c>1，d>1，由此可排除C.因为指数函数y＝mx(m>1)的底数越大，当x>0时，其函数值增长的就越快，所以，由图像(3)(4)可知c>d；因为指数函数y＝mx(0【答案】　B
1．不同底数的指数函数的图像在同一平面直角坐标系中的相对位置关系是：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大到小．
2．熟记指数函数的大致图像，了解底数的变化对指数函数图像的影响，从图像的变化情况指出函数的某些特征是识图、用图的基础．
　函数y1＝0.13x和y2＝0.31x的大致图像是(　　)
【解析】　因为函数y＝0.13x和y＝0.31x在R上都是减函数，所以可排除选项A和D；又根据底数对指数函数图像的影响规律知，“在第一象限内，指数函数的底数从下向上依次增大”，故选C.
【答案】　C