3.3.3 指数函数的图像与性质 学案2（含答案）

3.3.3指数函数的图像与性质
学案
课标解读
1.理解指数函数的概念．2．通过具体指数函数的图像，体会指数函数图像与底数a的关系．(重点易混点)3．掌握指数函数的图像与性质及其简单应用．(难点)
知识点一
指数函数的定义
【问题导思】　
已知函数y＝2x，y＝()x.
1．上面两个关系式是函数式吗？
【提示】　是．
2．这两个函数形式上有什么共同点？
【提示】　底数为常数，指数为自变量．
　函数y＝ax叫作指数函数，自变量x在指数位置上，底数a是一个大于0且不等1的常量．
知识点二
指数函数的图像与性质
【问题导思】　
1．试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝()x(x∈R)的图像
【提示】
2．两函数图像有无交点？
【提示】　有交点，其坐标为(0,1)．
3．两函数图像与x轴有交点吗？
【提示】　没有交点，图像在x轴上方．
4．两函数的定义域是什么，值域是什么？
【提示】　定义域是R，值域是(0，＋∞)．
5．两函数的单调性如何？
【提示】　y＝2x是增函数，y＝()x是减函数．
a>1
0图象
性质
定义域：R
值域：(0，＋∞)
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
x>0时，y>1；x<0时，0x>0时，01
是R上的增函数
是R上的减函数
(见学生用书第40页)
类型1
指数函数的概念
　指出下列函数哪些是指数函数．
(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；(8)y＝(2a－1)x(a>，且a≠1)．
【思路探究】　紧扣指数函数的定义，能否转化为y＝ax(a>0且a≠1)的形式．
【自主解答】　(1)(5)(8)为指数函数，(2)是幂函数；(3)是－1与指数函数y＝4x的乘积；(4)中底数－4<0，所以它不是指数函数，(6)中指数不是x，(7)中底数x不是常数．
一般地，函数y＝ax叫作指数函数，其中a是一个大于零且不等于1的常数，x是自变量，正确完成例1需要准确理解指数函数的定义．严格对比指数函数的定义是解决好本题的关键．
已知指数函数f(x)＝(a2－8)ax的图像过点(－1，)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(－)的值．
【解】　(1)∵f(x)＝(a2－8)ax为指数函数，
∴a2－8＝1.①
又∵图像过点(－1，)，∴f(－1)＝.②
联立①②得a＝3，
∴f(x)＝3x.
(2)f(－)＝3－＝＝.
类型2
指数函数的图像
　设f(x)＝3x，g(x)＝()x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图像；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
【思路探究】　建系→列表→描点→连线
【自主解答】　(1)函数f(x)与g(x)的图像如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝()－1＝3；
f(π)＝3π，g(－π)＝()－π＝3π；
f(m)＝3m，g(－m)＝()－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图像关于y轴对称．
1．指数函数的图像根据底数不同分为两类：
(1)当0(2)当a>1时，指数函数y＝ax是定义域R上的增函数．
2．不论底数取何值，指数函数的图像恒过点(0,1)．即要求指数型函数过定点，只需让指数位置等于0即可．
　(1)指数函数y＝ax与y＝bx的图像如图3－3－1所示，则(　　)
图3－3－1
A．a<0，b<0　　　　　B．a<0，b>0
C．01
D．0(2)函数y＝15x的图像是(　　)
【解析】　(1)结合图像易知01.
(2)因为指数函数y＝15x的底数15>1，所以函数y＝15x是R上的增函数，排除A、C；又因为当x＝0时，y＝1，即图像过点(0,1)，故选B.
【答案】　(1)C　(2)B
类型3
指数函数性质的简单应用
　比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5,1.73；
(2)2.3－0.28,0.67－3.1.
【思路探究】　(1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)利用中间量1比较大小．
【自主解答】　(1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7，
故构造函数y＝1.7x，
则函数y＝1.7x在R上是增函数．
又2.5<3，所以1.72.5<1.73.
(2)(中间量法)由指数函数的性质，知
2．3－0.28<2.30＝1,0.67－3.1>0.670＝1，
所以2.3－0.28<0.67－3.1.
比较指数式大小的方法
1．单调性法：比较同底数幂的大小，可构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．
2．中间量法：比较不同底且不同指数幂的大小，常借助于中间值1进行比较．利用口诀“同大异小”，判断指数幂和1的大小．
　(1)下列不等关系中，正确的是(　　)
A．()<1<()　　　B．()<()<1
C．1<()<()
D．()<()<1
(2)(2013·长沙高一检测)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则(　　)
A．y3>y1>y2
B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2
D．y1>y2>y3
【解析】　(1)∵函数y＝()x在R上是减函数，而0<<，
∴()<()<()0，即()<()<1.
(2)从形式上看，三个幂式的底数和指数各不相同，但根据指数的运算性质可得，y1＝40.9＝(22)0.9＝21.8，y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y3＝()－1.5＝(2－1)－1.5＝21.5.
因为指数函数y＝2x(x∈R)是增函数，所以21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2.
【答案】　(1)D　(2)C
(见学生用书第42页)
忽略对指数函数底数a的讨论致误
　求函数y＝(a>0且a≠1)的定义域．
【错解】　要使函数式有意义，则ax－1≥0，即ax≥1，解得x≥0，故函数y＝(a>0且a≠1)的定义域为[0，＋∞)．
【错因分析】　解不等式ax≥1时需用到指数函数的单调性，故需对底数a分类讨论，错解默认了a>1.
【防范措施】　对涉及到含参数的不等式问题，需注意是否对参数进行讨论．
【正解】　要使函数式有意义，则ax－1≥0，即ax≥1.
易得：当a>1时，有x≥0；当0故当a>1时，函数的定义域为[0，＋∞)；
当01．指数函数定义中y＝ax具备的特点：
指数函数a是一个常数，不含自变量，a>0
且a≠1ax的系数为1指数位置是x且它的系数为1
2．指数函数中，底数a决定了函数的部分性质，当a>1时函数是增加的，当03．比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
(见学生用书第42页)
1．函数y＝(a2－a－5)ax是指数函数，则有(　　)
A.
a＝－2或a＝3　　　　　　B．a＝－2
C．a＝3
D．a>0且a≠1
【解析】　因为“一般地，函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数”，所以函数y＝(a2－a－5)ax是指数函数的条件是解得a＝3，故选C.
【答案】　C
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．(－∞，0)
B．(－∞，0]
C．(0，＋∞)
D．[0，＋∞)
【解析】　由题意得1－2x≥0，即2x≤1，所以x≤0.
【答案】　B
3．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．
【解析】　由题意知，0＜2－a＜1，即1＜a＜2.
【答案】　(1,2)
4．已知指数函数的图像过点M(3,8)，求f(4)，f(－4)的值．
【解】　设指数函数是y＝ax(a>0，a≠1)，则有
8＝a3，∴a＝2，∴y＝2x.
从而f(4)＝24＝16，f(－4)＝2－4＝.
(见学生用书第105页)
一、选择题
1．下列函数一定是指数函数的是(　　)
A．y＝5x＋1
　　　　　　B．y＝x4
C．y＝3－x
D．y＝2·3x
【解析】　y＝5x＋1＝5·5x与y＝2·3x都不符合指数函数的定义，y＝x4是幂函数．
【答案】　C
2．函数y＝()的值域是(　　)
A．(－∞，0)
B．(0,1]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，1]
【解析】　由≥0且y＝()x是减函数，知0【答案】　B
3．已知a＝30.2，b＝53，c＝3－0.2，则a，b，c三者的大小关系是(　　)
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．b>c>a
【解析】　因为b＝53>a＝30.2>1，而0所以b>a>c.
【答案】　B
4．(2013·贵阳高一检测)已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　)
A．2　　　B.
C．0　　　D.
【解析】　f(－1)＝2－1＝，f(f(－1)＝f()＝3＝.
【答案】　B
5．不等式2x>()x－x2的解集为(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．(0,2)
D．[0,2]
【解析】　∵()x－x2＝2x2－x且y＝2x在R上单调递增，
∴原不等式转化为x>x2－x即x2－2x<0，
∴解集为(0,2)．
【答案】　C
二、填空题
6．已知指数函数的图像过点(－1,2)，则f(－2)＝____.
【解析】　设指数函数的解析式为y＝ax(a>0且a≠1)，将(－1,2)代入得2＝a－1，
∴a＝，∴y＝()x，∴f(－2)＝()－2＝4.
【答案】　4
7．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝2x－2的值域为________．
【解析】　∵－1≤x≤1，∴＝2－1≤2x≤21＝2，
∴－≤2x－2≤0.
【答案】　[－，0]
8．函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值为________．
【解析】　若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，f(x)max＝f(2)＝a2，f(x)min＝f(1)＝a，
由题意a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去)．
若0∴a－a2＝，∴a＝或a＝0(舍去)．
【答案】　或
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图像经过点(2，)，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
【解】　(1)函数图像过点(2，)，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)f(x)＝()x－1(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1，
于是0<()x－1≤()－1＝2.
所以，所求的函数值域为(0,2]．
10．如果2×22x>()1－x，求x的取值范围．
【解】　∵2×22x>()1－x，
∴22x＋1>2x－1，
∴2x＋1>x－1，
∴x>－2.即x∈(－2，＋∞)．
11．求函数y＝()x＋()x＋1的值域．
【解】　令t＝()x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝(t＋)2＋.因为函数y＝(t＋)2＋在t∈(0，＋∞)上是增函数，所以y>1，即原函数的值域是(1，＋∞).