3.4 对数 学案（含答案）
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3.4
对数
学案
[读教材·填要点]
1．对数的概念与性质
(1)定义：
一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b．其中a叫作对数的底数，N叫作真数．logaN读作以a为底N的对数．
(2)常用对数与自然对数：
以10为底的对数叫作常用对数，记作lg_N；以e为底的对数叫作自然对数，记作ln_N．
(3)基本性质：
①负数没有对数，即logaN中真数必须大于零；
②1的对数为0，即loga1＝0；
③底数的对数为1，即logaa＝1；
④对数恒等式：alogaN＝N．
2．对数的运算性质
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则：
(1)积的对数：loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)商的对数：loga＝logaM－logaN；
(3)幂的对数：logaMn＝nlogaM(n∈R)．
3．对数的换底公式
logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．
[小问题·大思维]
1．指数式ab＝N和对数式logaN＝b(a＞0且a≠1，N＞0)有什么关系？
提示：关系如图示
2．如何用对数的定义证明alogaN＝N
提示：因为若ab＝N，则b＝logaN(a＞0且a≠1)，所以由等量代换得alogaN＝N.
3．对数运算性质(1)当M、N同号时成立吗？
提示：不一定成立．如lg
[(－5)×(－3)]有意义，
而lg(－5)、lg(－3)无意义．
[研一题]
[例1] (1)将对数式log27＝－3化为指数式；
(2)将指数式()－2＝16化为对数式；
(3)求式子log2(log5x)＝0中的x；
(4)计算4(log29－log25)．
[自主解答] (1)因为log27＝－3，所以()－3＝27；
(2)因为()－2＝16，所以log16＝－2；
(3)因为log2(log5x)＝0，所以log5x＝1，所以x＝5；
(4)原式＝2log
29－log
25＝＝.
[悟一法]
(1)对数式和指数式互化的主要依据是关系式ab＝N等价于b＝logaN(a＞0且a≠1，N＞0)，要注意a、b、N的位置．
(2)有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．
(3)对于对数恒等式alogaN＝N要注意其结构特点：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．
[通一类]
1．(1)将指数式104＝10
000和()m＝5化为对数式；
(2)将对数式log0.10.01＝2和ln
x＝化为指数式；
(3)求式log3(lg
x)＝1中的x；
(4)计算71－log75的值．
解：(1)lg
10
000＝4,
m＝log5；
(2)0.12＝0.01,
e＝x；
(3)∵log3(lg
x)＝1，∴lg
x＝3，∴x＝103＝1
000；
(4)原式＝＝.
[研一题]
[例2] 计算下列各式的值．
(1)log2
＋log212－log242；
(2)；
(3)lg
52＋lg
8＋lg
5·lg
20＋lg
22.
[自主解答]
(1)原式＝log2
＝log2＝－；
(2)原式＝＝＝；
(3)原式＝2lg
5＋2lg
2＋lg
5×(1＋lg
2)＋(lg
2)2
＝2(lg
5＋lg
2)＋lg
5＋lg
2(lg
5＋lg
2)
＝2＋lg
5＋lg
2＝2＋1＝3.
[悟一法]
利用对数的运算性质化简、求值的一般策略：①把复杂的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
[通一类]
2．用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga；
(2)loga.
解：(1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz；
(2)loga＝loga(x2)－loga
＝logax2＋loga－loga
＝2logax＋logay－logaz.
[研一题]
[例3] (1)计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．
(2)设3a＝4b＝36，求＋的值．
[自主解答] (1)法一：原式＝(log253＋＋)(log52＋＋)
＝(3log25＋＋)(log52＋＋)
＝(3＋1＋)log25·(3log52)＝13log25·
＝13.
法二：原式＝(＋＋)(＋＋)
＝(＋＋)(＋＋)
＝()(3)＝13；
(2)法一：由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，
∴＋＝2log363＋log364
＝log369＋log364
＝log3636＝1.
法二：对已知条件取以6为底的对数，
得alog63＝2，blog62＝1，∴＝log63，＝log62.
于是＋＝log63＋log62＝log66＝1.
[悟一法]
(1)解决指数、对数的化简、求值时，一般通过指数、对数互化及换底公式，使所求式子的底数与已知条件中的底数统一，从而达到代入化简求值的目的．
(2)用已知对数表示其他对数时，若它们的底数不相同，常用换底公式来解决．
(3)在一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧．一般地说，给出的等式是以指数形式出现时，常用此法，在取对数时，要注意底数的合理选取．
[通一类]
3．(1)设log1227＝a，求证log616＝；
(2)已知14a＝2，用a表示log7.
解：(1)法一：＝
＝＝＝
＝＝＝log616，
故原式得证．
法二：a＝log1227＝＝，
∴log32＝－，
log616＝4log62＝4
＝＝＝；
(2)∵14a＝2，∴log142＝a，
log7＝＝＝＝.
已知lg
x＋lg
y＝21g(x－2y)，求log的值．
[错解] 因为lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)，
所以xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0.
所以(x－y)(x－4y)＝0，
解得x＝y或x＝4y.
则＝1或＝4，
所以log
＝log
1＝0或log＝log
4＝4.
[错因] 错解中忽略了lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)成立的前提是即x＞2y＞0，在求出x，y的关系后未检验是否满足前提条件，从而导致产生增根．
[正解] 因为lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)，
所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.
所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.
因为x＞0，y＞0，x－2y＞0，所以x＝y应舍去．
则＝4，所以log＝log4＝4.
1．下列各式中正确的个数是( )
①lg(lg
10)＝0；②lg(lne)＝0；
③若10＝lg
x，则x＝10；
④若log25x＝，则x＝±5.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：∵lg
10＝1，∴lg(lg
10)＝lg
1＝0，∴①正确；
∵lne＝1.∴lg(lne)＝lg
1＝0，∴②正确；若10＝lg
x，则1010＝x，∴③不正确；若log25x＝，则25＝x，∴x＝5，④不正确．故只有①②正确．
答案：B
2．下列各等式中正确运用对数运算性质的是(其中x，y，z＞0)( )
A．lg(x2y)＝(lg
x)2＋lg
y＋
B．lg(x2y)＝zlg
x＋2lg
y＋2lg
z
C．lg(x2y)＝2lg
x＋lg
y－2lg
z
D．lg(x2y)＝2lg
x＋lg
y＋lg
z
解析：lg(x2y)＝lg
x2＋lg
y＋lg
＝2lg
x＋lg
y＋lg
z.
答案：D
3．(2012·安徽高考)(log29)·(log34)＝( )
A.
B.
C．2
D．4
解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4.
答案：D
4．已知ln
x＝a，ln
y＝b，则ln
[·()2]＝________．(用a，b表示)
解析：由于ln
[·()2]＝ln
＋ln
()2＝ln
x＋2ln
＝ln
x＋2ln
y－2ln
e＝a＋2b－2.
答案：a＋2b－2
5．log332·log227＝________．
解析：原式＝log325·log233＝5log32×3log23
＝15log32·log23＝15.
答案：15
6．计算下列各式：
(1)；
(2)loga＋loga＋loga(a＞0且a≠1)．
解：原式＝＝
＝－4lg
10＝－4.
(2)法一：原式＝logaa＋logaa－n＋logaa－
＝logaa－n－＝logaa－n＝－n.
法二：原式＝loga(··)＝logaa－n＝－n.
一、选择题
1．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，即x＝23＝8.
∴x－＝
.
答案：C
2．已知lg
x－lg
y＝a，则lg()3－lg
()3＝( )
A．3a
B.a
C．a
D.
解析：lg
()3－lg
()3＝3(lg
－lg
)＝3[(lg
x－lg
2)－(lg
y－lg
2)]＝3(lg
x－lg
y)＝3a.
答案：A
3．设函数f(x)＝，则f(f(2))＝( )
A.
B．2e2
C．2e
D．2
解析：∵f(2)＝log3＝log33－1＝－1.
∴f(f(2))＝f(－1)＝2e－2＝.
答案：A
4．已知2m＝7n＝p，－＝4，则p的值是( )
A．()4
B．()
C．()4
D．()
解析：∵2m＝7n＝p，∴m＝log2p，n＝log7p.
又－＝－
＝logp2－logp7＝logp＝4，
∴p4＝.∴p＝().
答案：B
二、填空题
5．方程lg
x＋lg(x＋3)＝1的解为________．
解析：由原方程得lg
x(x＋3)＝lg
10，∴x(x＋3)＝10，
即x2＋3x－10＝0，解得x1＝2,
x2＝－5
又x＞0，
∴x＝2.
答案：x＝2
6．若a＞0，a＝，则loga＝________．
解析：∵a＞0,
a＝，∴loga＝，
∴loga＝，∴loga＝3.
答案：3
7．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y＝________．
解析：∵2x＝3，∴x＝log23.
∵log4＝y，
∴y＝log48－log43＝－
＝－log23，
∴x＋2y＝log23＋2(－log23)＝3.
答案：3
8．若10α＝2，β＝lg
3，则100α－β＝________．
解析：法一：∵10α＝2，β＝lg
3，∴α＝lg
2，
100α－β＝100lg
2－lg
3
＝(10lg
2)2·(10lg
3)
－＝22×3－1＝.
法二：∵10α＝2，β＝lg
3.∴10β＝3，
100α－β＝100α·100－β
＝(10α)2·(10β)－1＝22×3－1＝.
答案：
三、解答题
9．(1)求值：2log
3＋log
2＋(－2)2－(log2)2.
(2)2013年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长率为8%，那么大约经过多少年后国民生产总值是2013年的两倍？(lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1，lg
1.08≈0.033
4，精确到1年)
解：(1)原式＝2log29＋2log(2＋)(2－)－()2
＝9－2－＝；
(2)设经过x年后国民生产总值是2011年的两倍．
经过1年，生产总值为a(1＋8%)，
经过2年，生产总值为a(1＋8%)2，
…，
经过x年，生产总值为a(1＋8%)x.
由题意得a(1＋8%)x＝2a，即1.08x＝2.
两边取常用对数，得lg
1.08x＝lg
2.
故x＝≈≈9(年)．
答：约经过9年，国民生产总值是2011年的两倍．
10．若a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
解：原方程可化为2(lg
x)2－4lg
x＋1＝0，
设t＝lg
x，
则原方程化为2t2－4t＋1＝0.
∴t1＋t2＝2，t1t2＝.
由已知a，b是原方程的两个根，
则t1＝lg
a，t2＝lg
b，
即lg
a＋lg
b＝2，lg
a·lg
b＝，
∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg
a＋lg
b)(＋)
＝
＝(lg
a＋lg
b)·
＝2×
＝12.
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
对数
学案
[读教材·填要点]
1．对数的概念与性质
(1)定义：
一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b．其中a叫作对数的底数，N叫作真数．logaN读作以a为底N的对数．
(2)常用对数与自然对数：
以10为底的对数叫作常用对数，记作lg_N；以e为底的对数叫作自然对数，记作ln_N．
(3)基本性质：
①负数没有对数，即logaN中真数必须大于零；
②1的对数为0，即loga1＝0；
③底数的对数为1，即logaa＝1；
④对数恒等式：alogaN＝N．
2．对数的运算性质
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则：
(1)积的对数：loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)商的对数：loga＝logaM－logaN；
(3)幂的对数：logaMn＝nlogaM(n∈R)．
3．对数的换底公式
logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．
[小问题·大思维]
1．指数式ab＝N和对数式logaN＝b(a＞0且a≠1，N＞0)有什么关系？
提示：关系如图示
2．如何用对数的定义证明alogaN＝N
提示：因为若ab＝N，则b＝logaN(a＞0且a≠1)，所以由等量代换得alogaN＝N.
3．对数运算性质(1)当M、N同号时成立吗？
提示：不一定成立．如lg
[(－5)×(－3)]有意义，
而lg(－5)、lg(－3)无意义．
[研一题]
[例1] (1)将对数式log27＝－3化为指数式；
(2)将指数式()－2＝16化为对数式；
(3)求式子log2(log5x)＝0中的x；
(4)计算4(log29－log25)．
[自主解答] (1)因为log27＝－3，所以()－3＝27；
(2)因为()－2＝16，所以log16＝－2；
(3)因为log2(log5x)＝0，所以log5x＝1，所以x＝5；
(4)原式＝2log
29－log
25＝＝.
[悟一法]
(1)对数式和指数式互化的主要依据是关系式ab＝N等价于b＝logaN(a＞0且a≠1，N＞0)，要注意a、b、N的位置．
(2)有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．
(3)对于对数恒等式alogaN＝N要注意其结构特点：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．
[通一类]
1．(1)将指数式104＝10
000和()m＝5化为对数式；
(2)将对数式log0.10.01＝2和ln
x＝化为指数式；
(3)求式log3(lg
x)＝1中的x；
(4)计算71－log75的值．
解：(1)lg
10
000＝4,
m＝log5；
(2)0.12＝0.01,
e＝x；
(3)∵log3(lg
x)＝1，∴lg
x＝3，∴x＝103＝1
000；
(4)原式＝＝.
[研一题]
[例2] 计算下列各式的值．
(1)log2
＋log212－log242；
(2)；
(3)lg
52＋lg
8＋lg
5·lg
20＋lg
22.
[自主解答]
(1)原式＝log2
＝log2＝－；
(2)原式＝＝＝；
(3)原式＝2lg
5＋2lg
2＋lg
5×(1＋lg
2)＋(lg
2)2
＝2(lg
5＋lg
2)＋lg
5＋lg
2(lg
5＋lg
2)
＝2＋lg
5＋lg
2＝2＋1＝3.
[悟一法]
利用对数的运算性质化简、求值的一般策略：①把复杂的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
[通一类]
2．用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga；
(2)loga.
解：(1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz；
(2)loga＝loga(x2)－loga
＝logax2＋loga－loga
＝2logax＋logay－logaz.
[研一题]
[例3] (1)计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．
(2)设3a＝4b＝36，求＋的值．
[自主解答] (1)法一：原式＝(log253＋＋)(log52＋＋)
＝(3log25＋＋)(log52＋＋)
＝(3＋1＋)log25·(3log52)＝13log25·
＝13.
法二：原式＝(＋＋)(＋＋)
＝(＋＋)(＋＋)
＝()(3)＝13；
(2)法一：由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，
∴＋＝2log363＋log364
＝log369＋log364
＝log3636＝1.
法二：对已知条件取以6为底的对数，
得alog63＝2，blog62＝1，∴＝log63，＝log62.
于是＋＝log63＋log62＝log66＝1.
[悟一法]
(1)解决指数、对数的化简、求值时，一般通过指数、对数互化及换底公式，使所求式子的底数与已知条件中的底数统一，从而达到代入化简求值的目的．
(2)用已知对数表示其他对数时，若它们的底数不相同，常用换底公式来解决．
(3)在一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧．一般地说，给出的等式是以指数形式出现时，常用此法，在取对数时，要注意底数的合理选取．
[通一类]
3．(1)设log1227＝a，求证log616＝；
(2)已知14a＝2，用a表示log7.
解：(1)法一：＝
＝＝＝
＝＝＝log616，
故原式得证．
法二：a＝log1227＝＝，
∴log32＝－，
log616＝4log62＝4
＝＝＝；
(2)∵14a＝2，∴log142＝a，
log7＝＝＝＝.
已知lg
x＋lg
y＝21g(x－2y)，求log的值．
[错解] 因为lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)，
所以xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0.
所以(x－y)(x－4y)＝0，
解得x＝y或x＝4y.
则＝1或＝4，
所以log
＝log
1＝0或log＝log
4＝4.
[错因] 错解中忽略了lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)成立的前提是即x＞2y＞0，在求出x，y的关系后未检验是否满足前提条件，从而导致产生增根．
[正解] 因为lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)，
所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0.
所以(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.
因为x＞0，y＞0，x－2y＞0，所以x＝y应舍去．
则＝4，所以log＝log4＝4.
1．下列各式中正确的个数是( )
①lg(lg
10)＝0；②lg(lne)＝0；
③若10＝lg
x，则x＝10；
④若log25x＝，则x＝±5.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：∵lg
10＝1，∴lg(lg
10)＝lg
1＝0，∴①正确；
∵lne＝1.∴lg(lne)＝lg
1＝0，∴②正确；若10＝lg
x，则1010＝x，∴③不正确；若log25x＝，则25＝x，∴x＝5，④不正确．故只有①②正确．
答案：B
2．下列各等式中正确运用对数运算性质的是(其中x，y，z＞0)( )
A．lg(x2y)＝(lg
x)2＋lg
y＋
B．lg(x2y)＝zlg
x＋2lg
y＋2lg
z
C．lg(x2y)＝2lg
x＋lg
y－2lg
z
D．lg(x2y)＝2lg
x＋lg
y＋lg
z
解析：lg(x2y)＝lg
x2＋lg
y＋lg
＝2lg
x＋lg
y＋lg
z.
答案：D
3．(2012·安徽高考)(log29)·(log34)＝( )
A.
B.
C．2
D．4
解析：(log29)·(log34)＝×＝×＝4.
答案：D
4．已知ln
x＝a，ln
y＝b，则ln
[·()2]＝________．(用a，b表示)
解析：由于ln
[·()2]＝ln
＋ln
()2＝ln
x＋2ln
＝ln
x＋2ln
y－2ln
e＝a＋2b－2.
答案：a＋2b－2
5．log332·log227＝________．
解析：原式＝log325·log233＝5log32×3log23
＝15log32·log23＝15.
答案：15
6．计算下列各式：
(1)；
(2)loga＋loga＋loga(a＞0且a≠1)．
解：原式＝＝
＝－4lg
10＝－4.
(2)法一：原式＝logaa＋logaa－n＋logaa－
＝logaa－n－＝logaa－n＝－n.
法二：原式＝loga(··)＝logaa－n＝－n.
一、选择题
1．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，即x＝23＝8.
∴x－＝
.
答案：C
2．已知lg
x－lg
y＝a，则lg()3－lg
()3＝( )
A．3a
B.a
C．a
D.
解析：lg
()3－lg
()3＝3(lg
－lg
)＝3[(lg
x－lg
2)－(lg
y－lg
2)]＝3(lg
x－lg
y)＝3a.
答案：A
3．设函数f(x)＝，则f(f(2))＝( )
A.
B．2e2
C．2e
D．2
解析：∵f(2)＝log3＝log33－1＝－1.
∴f(f(2))＝f(－1)＝2e－2＝.
答案：A
4．已知2m＝7n＝p，－＝4，则p的值是( )
A．()4
B．()
C．()4
D．()
解析：∵2m＝7n＝p，∴m＝log2p，n＝log7p.
又－＝－
＝logp2－logp7＝logp＝4，
∴p4＝.∴p＝().
答案：B
二、填空题
5．方程lg
x＋lg(x＋3)＝1的解为________．
解析：由原方程得lg
x(x＋3)＝lg
10，∴x(x＋3)＝10，
即x2＋3x－10＝0，解得x1＝2,
x2＝－5
又x＞0，
∴x＝2.
答案：x＝2
6．若a＞0，a＝，则loga＝________．
解析：∵a＞0,
a＝，∴loga＝，
∴loga＝，∴loga＝3.
答案：3
7．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y＝________．
解析：∵2x＝3，∴x＝log23.
∵log4＝y，
∴y＝log48－log43＝－
＝－log23，
∴x＋2y＝log23＋2(－log23)＝3.
答案：3
8．若10α＝2，β＝lg
3，则100α－β＝________．
解析：法一：∵10α＝2，β＝lg
3，∴α＝lg
2，
100α－β＝100lg
2－lg
3
＝(10lg
2)2·(10lg
3)
－＝22×3－1＝.
法二：∵10α＝2，β＝lg
3.∴10β＝3，
100α－β＝100α·100－β
＝(10α)2·(10β)－1＝22×3－1＝.
答案：
三、解答题
9．(1)求值：2log
3＋log
2＋(－2)2－(log2)2.
(2)2013年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长率为8%，那么大约经过多少年后国民生产总值是2013年的两倍？(lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1，lg
1.08≈0.033
4，精确到1年)
解：(1)原式＝2log29＋2log(2＋)(2－)－()2
＝9－2－＝；
(2)设经过x年后国民生产总值是2011年的两倍．
经过1年，生产总值为a(1＋8%)，
经过2年，生产总值为a(1＋8%)2，
…，
经过x年，生产总值为a(1＋8%)x.
由题意得a(1＋8%)x＝2a，即1.08x＝2.
两边取常用对数，得lg
1.08x＝lg
2.
故x＝≈≈9(年)．
答：约经过9年，国民生产总值是2011年的两倍．
10．若a，b是方程2(lg
x)2－lg
x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
解：原方程可化为2(lg
x)2－4lg
x＋1＝0，
设t＝lg
x，
则原方程化为2t2－4t＋1＝0.
∴t1＋t2＝2，t1t2＝.
由已知a，b是原方程的两个根，
则t1＝lg
a，t2＝lg
b，
即lg
a＋lg
b＝2，lg
a·lg
b＝，
∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg
a＋lg
b)(＋)
＝
＝(lg
a＋lg
b)·
＝2×
＝12.
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.