3.4.1 对数的运算性质 同步练习（含答案）

3.4.1
对数的运算性质
同步练习
(30分钟
50分)
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.计算lg30-lg3等于(
)
（A）4
（B）2
（C）1
（D）12
2.若10a=5,10b=2,则a+b=(
)
(A)-1
(B)0
(C)1
(D)2
3.若a＞0且a≠1,x＞0,y＞0,n∈N+,且n＞1,下列命题正确的个数为(
)
①(logax)2=2logax；
②loga(x+y)=logax+logay；
③=loga；
④=loga.
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
4.（易错题）若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个实根，则(lg)2的值等于(
)
(A)2
(B)
(C)4
(D)
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.计算log312-log32=________.
6.设则f(f(-2))=________.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.计算：
（1）log2［log3(log5125)］;
(2)log3+lg25+lg4+.
8.已知log32=a,3b=5,用a、b表示log3.
【挑战能力】
(10分)甲、乙两人解关于x的方程：(log2x)2+blog2x+c=0，甲写错了常数b，得到根为,
,乙写错了常数c，得到根为,64.求方程的真正根.
答案解析
1.【解析】选C.lg30-lg3=lg10=1.
2.【解析】选C.∵10a=5,10b=2,∴a=lg5,b=lg2,
∴a+b=lg5+lg2=1.
【一题多解】∵10a=5,10b=2,
∴10a·10b=10a+b=10,
∴a+b=1.
3.【解析】选B.①(logax)2=(logax)·(logax)，故①不正确；②logax+logay=loga(xy)≠loga(x+y),故②不正确；③logax-logay=loga≠,故③不正确；根据对数的运算性质易知④是正确的.
4.【解析】选A.由题意可知lga+lgb=2,lga·lgb=,
∴(lg)2=(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lga·lgb
=4-2=2.
【误区警示】本题在求解过程中，因想不到“lga-lgb”同“lga+lgb”及“lg
a·lgb”的互化而无法求解.
【变式训练】如果α，β是关于x的方程lg(3x)·lg(5x)=1的两实数根，则α·β等于(
)
(A)
(B)lg15
(C)lg3·lg5
(D)15
【解析】选A.原方程可化为（lg3+lgx）(lg5+lgx)=1,整理即得：
（lgx）2+(lg3+lg5)lgx+lg3·lg5-1=0，
即(lgx)2+lg15·lgx+lg3·lg5-1=0,
∴lgα+lgβ=lg(α·β)=-lg15,
∴α·β=.
5.【解析】原式=log3=log3=.
答案：
6.【解题指南】由x=-2算起，先判断x的范围，是大于0，还是不大于0,然后选取解析式；再判断f(-2)作为自变量时值的范围，最后计算出结果.
【解析】∵x=-2＜0,∴f(-2)=10-2=＞0,
∴f(10-2)=lg2,即f(f(-2))=lg2.
答案：lg2
7.【解析】（1）原式=log2(log33)=log21=0.
(2)原式=log3+lg(25×4)+2=log3+lg102+2
=-+2+2=.
8.【解析】∵3b=5,∴b=log35.
又∵log32=a,∴log3=log3(2×3×5)
=(log32+log33+log35)=(a+b+1).
【变式训练】设logax=m,logay=n,用m、n表示loga().
【解析】loga(·)=loga+loga-loga
=+logax-logay=+m-n.
【挑战能力】
【解析】原方程为：(log2x)2+blog2x+c=0,
∵甲写错了b,得到根为,,
∴c=log2×log2=-2×(-3)=6.
又∵乙写错了c,得到根为,64,
∴b=-(log2+log264)=-5,
∴原方程为(log2x)2-5log2x+6=0,
即（log2x-2）(log2x-3)=0,
∴log2x=2或3,∴x=4或8.