3.4.1 对数及其运算 学案2（含答案）

3.4.1
　对数及其运算
学案
问题导学
一、指数式与对数式的互化
活动与探究1
将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4；(2)；
(3)；(4)43＝64；
(5)3－2＝；(6)－2＝16.
迁移与应用
把下列各等式转化为相应的对数式或指数式：
(1)53＝125；(2)；(3)；
(4)ln
x＝；(5)lg
a＝5.
对数式和指数式互化的主要依据是关系式ab＝N等价于b＝logaN(a＞0，且a≠1，N＞0)，互化时，注意以下问题：
(1)指数式与对数式在满足底数大于0且不等于1时，可以相互转化．
(2)把指数式改写成对数式时，指数式的底数在对数式中仍然位于底数位置，指数式的指数变为对数式中的对数，指数式中的幂值变为对数式中的真数．
(3)在进行指数式与对数式的互化时，一定要保证对数式中的真数大于0.
(4)注意常用对数与自然对数的表示方法．
二、对数基本性质及对数恒等式的应用
活动与探究2
求下列各式的值：
(1)lg
1；(2)ln；(3)log327；(4)；(5).
迁移与应用
计算：(1)log2(log5x)＝0，则x＝______；
(2)______；
(3)______.
1．利用对数的定义可以求对数值，这时通常是先将对数式化为指数式，再利用指数的有关运算转化为同底数的幂的形式，从而列出方程，求出结果．
2．利用对数的基本性质求值
(1)1的对数等于0，即loga1＝0；
(2)底的对数等于1，即logaa＝1(a＞0，a≠1)．
3．利用对数恒等式求值
在计算含有形如“”的题目时，首先借助指数幂的运算性质，使其变形为，然后借助对数恒等式及指数幂的运算求值．
三、利用对数的运算性质化简、求值
活动与探究3
计算下列各式的值：
(1)log85－log840；
(2)log2＋log212－log242；
(3)lg
52＋lg
8＋lg
5·lg
20＋lg22.
迁移与应用
求下列各式的值：
(1)log64＋log69；
(2)4lg
2＋3lg
5－lg
；
(3)lg25＋lg
2·lg
5＋lg
2.
对数式化简求值常用的方法与技巧：
(1)对于同底对数的化简方法：
①将同底的两个对数的和(差)化为积(商)的对数；
②将积、商的对数拆成对数的和(差)；
③把真数化成最简；
④把数与对数的乘积写成幂的形式，逆用运算性质．
(2)对真数中含有多重根号的对数式的化简，应从内到外逐层化简．
(3)对于常用对数的化简要充分利用“lg
2＋lg
5＝1”、“lg
2＝1－lg
5”、“lg
5＝1－lg
2”来解题．
当堂检测
1．下列指数式与对数式的互化不正确的一组是(　　)．
A．100＝1与lg
1＝0
B．与log27＝－
C．log39＝2与
D．log55＝1与51＝5
2．下列等式成立的有(　　)．
①lg＝－2　②log33＝　③　④eln
e＝1　⑤3lg
3＝3　⑥5ln
5＝5
A．①②③
B．①②③④
C．①②③④⑤
D．①②③④⑤⑥
3．log8＋log8等于(　　)．
A．1
B．－1
C．8
D．
4．若log3(x2＋1)＝1，则x＝__________.
5．＝__________.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．logaN＝b　底数　真数
预习交流1　提示：指数式ab＝N与对数式b＝logaN(a＞0，a≠1，N＞0)是等价的，它们表达的是a，b，N三者之间的同一种关系．但字母a，b，N在两个式子中的名称是不相同的(如下表)：
式子
名称
a
x
N
指数式
ax＝N
底数
指数
幂
对数式
x＝logaN
底数
对数
真数
预习交流2　提示：
a不能取的值
原因
a＜0
N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使x＝2成立，所以不存在，所以a不能小于0.
a＝0
N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN.
N＝0时，任意非零正实数x，有ax＝N成立，logaN不确定．
a＝1
N≠1，logaN不存在．
N＝1，loga1有无数个值，不能确定.
2．(1)零和负数　N　(2)0　loga1＝0　(3)1　logaa＝1　(4)
预习交流3　提示：在logaN＝b中，必须N＞0，这是由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab＝N中，N总是正数．
3．10　lg
N　e　ln
N
4．(1)logaM＋logaN　(2)nlogaM　(3)logaM－logaN
预习交流4　提示：不一定成立．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1　迁移与应用　1.思路分析：由题目可知：(1)(2)(3)是对数式，(4)(5)(6)是指数式，可以利用指数式与对数式的关系进行转化．
解：(1)∵log216＝4，∴24＝16.
(2)∵＝－3，∴－3＝27.
(3)∵，∴()6＝x.
(4)∵43＝64，∴log464＝3.
(5)∵3－2＝，∴log3＝－2.
(6)∵－2＝16，∴.
迁移与应用　解：(1)∵53＝125，
∴log5125＝3.
(2)∵，∴－3＝8.
(3)∵，∴log4＝－.
(4)∵ln
x＝，∴x＝.
(5)∵lg
a＝5，∴a＝105.
活动与探究2　思路分析：对数的求值问题，可考虑利用对数的基本性质、指数式与对数式的互化以及对数恒等式求解．
解：(1)∵100＝1，∴lg
1＝0.
(2)设ln＝x，则有ex＝，即ex＝.
因此x＝，即ln＝.
(3)设log327＝x，则由指数式和对数式的关系可得3x＝27，即3x＝33，所以x＝3.
(4)原式＝＝.
(5)原式＝＝.
迁移与应用　(1)5　(2)18　(3)
解析：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5.
(2)原式＝3·＝3×6＝18.
(3)原式＝÷＝÷2＝.
活动与探究3　思路分析：利用对数的运算性质进行计算，特别注意这些性质公式的逆用．
解：(1)log85－log840＝log8＝log8
＝log88－1＝－1.
(2)原式＝log2＝log2＝－.
(3)原式＝2lg
5＋2lg
2＋lg
5×(1＋lg
2)＋(lg
2)2
＝2(lg
5＋lg
2)＋lg
5＋lg
2(lg
5＋lg
2)
＝2＋lg
5＋lg
2＝2＋1＝3.
迁移与应用　解：(1)log64＋log69＝log6(4×9)＝log636＝2.
(2)原式＝lg＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.
(3)原式＝lg
5(lg
5＋lg
2)＋lg
2
＝lg
5·lg(5×2)＋lg
2＝lg
5＋lg
2＝lg
10＝1.
【当堂检测】
1．C
2．A　解析：④中eln
e＝e，⑤⑥中指数式的底数和对数式中的底数不相等．
3．B　解析：log8＋log8＝log8＝log8＝－log88＝－1.
4．±　解析：由已知可得x2＋1＝3，因此x2＝2，即x＝±.
5．1　解析：原式＝＝＝1.