3.4.1 对数及其运算 学案3（含答案）

3.4.1
对数及其运算
学案
课标解读
1.理解对数的概念．(重点)2．掌握指数式与对数式的互化．(重点)3．理解并掌握对数的基本性质．(难点、易混点)
知识点一
对数的定义
【问题导思】　
1．若2x＝16，()x＝9，x的值分别为多少？
【提示】　4，－2.
2．若2x＝3，()x＝2，你现在还能求得x吗？
【提示】　不能．
3．若2x＝0，()x＝－1，则这样的x存在吗？
【提示】　不存在．
1．一般地，如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
2．几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
以a(a>0且a≠1)为底的对数
logaN
自然对数
以__e__为底的对数
ln
N
常用对数
以__10__为底的对数
lg
N
知识点二
对数的性质及恒等式
【问题导思】　
1．当a>0且a≠1时，loga(－2)，loga0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？
【提示】　不存在，因为loga(－2)，loga0对应的指数式分别为ax＝－2，ax＝0，而ax>0，所以ax＝－2，ax＝0中的x值不存在，由此能得到的结论是：0和负数没有对数．
2．若ab＝N，则b＝logaN，二者组合可得什么等式？
【提示】　对数恒等式：alogaN＝N.
对数恒等式
alogaN＝__N__
对数的性质
底的对数等于__1__，即logaa＝__1__
1的对数等于__0__，即loga1＝__0__
零和负数没有对数
(见学生用书第46页)
类型1
对数的概念
　已知对数log(1－a)(a＋2)有意义，求实数a的取值范围．
【思路探究】　根据对数的概念列出实数a满足的不等式组，再解不等式组即可
.
【自主解答】　由于对数log(1－a)(a＋2)有意义，则有解得－21．正确理解对数的概念：
(1)底数大于0且不等于1，真数大于0.
(2)明确指数式和对数式的区别和联系，以及二者之间的相互转化．
2．求对数式中有关参数的范围时，根据对数中对底数和真数的要求列出不等式组解出即可．
若对数log3a(－2a＋1)有意义，则a的取值范围是________．
【解析】　根据题意可得解得0【答案】　(0，)∪(，)
类型2
指数式与对数式的互化
　求下列各式中x的值：
(1)log16x＝－2；　　(2)logx27＝；
(3)log4(log3x)＝0.
【思路探究】　利用对数的定义，把各个对数式化为指数式，即可解得x的值．
【自主解答】　(1)由log16x＝－2，得x＝16－2＝()2＝，故x＝.
(2)由logx27＝，得
x＝27，
即x＝33，∴x＝3，∴x＝34＝81.
(3)由log4(log3x)＝0，得log3x＝1，故x＝3.
1．首先掌握指数式与对数式的关系，即ab＝N b＝logaN.
2．对数的定义是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意各自的位置及表示方式．另外，解形如loga[logb(logcx)]＝m的方程时，一般是按由外往里去掉对数符号的顺序解决．
　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；
(4)log32＝－5；(5)lg
0.001＝－3.
【解】　(1)log2＝－7；
(2)log327＝3；
(3)lg0.1＝－1；(4)()－5＝32；
(5)10－3＝0.001.
类型3
求值
　求下列对数的值：
(1)log327；(2)81－log85；(3)22＋log25＋loga1.
【思路探究】　对于(1)可设log327＝x，利用对数式与指数式的互化，求x；(2)(3)可利用对数的基本性质及对数恒等式求其值．
【自主解答】　(1)设log327＝x，则3x＝27＝33，
所以x＝3，即log327＝3.
(2)法一　81－log85＝8log88－log85＝8log88÷8log85＝8÷5＝.
法二　81－log85＝＝.
(3)∵22＋log25＝22×2log25＝4×5＝20.
∴原式＝20＋0＝20.
1．求单个对数的值，可先把对数式化为指数式，再利用指数的有关运算转化为同底数的幂的形式求值．
2．利用对数恒等式化简求值时，必须使幂底数和对数的底数保持一致．
　求下列各对数式的值：
(1)log416；(2)log5(lg
10)；(3)log22log21.
【解】　(1)设log416＝x，则4x＝16＝42，
∴x＝2，即log416＝2.
(2)log5(lg
10)＝log51＝0.
（3）log22log21=
log21=0
(见学生用书第47页)
解对数方程时忽略真数的范围致误
　解方程log3(x2－10)＝log3(3x)．
【错解】　原方程可化为x2－10＝3x，
即x2－3x－10＝0，
解得x＝－2或x＝5.
故原方程的解为x＝－2或x＝5.
【错因分析】　错解中忽略了检验真数是否为正．
【防范措施】　解关于对数的方程或不等式时，一定要等价转化，注意对真数的检验．
【正解】　原方程可化为
由①得x＝－2或x＝5.
代入②中检验，可知x＝5是原方程的解．
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N logaN＝b(a>0且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：
(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
3．指数式与对数式的互化
(见学生用书第47页)
1．在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为(　　)
A．(－∞，3]　　　　　　　B．(3,4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞)
D．(3,4)
【解析】　∵∴
∴x>3且x≠4.即34.
【答案】　B
2．log2的值为(　　)
A．－　　　B.　　　C．－　　　D.
【解析】　设log2＝x，则2x＝＝2，∴x＝.
【答案】　D
3．若lg(ln
x)＝0，则x＝________.
【解析】　ln
x＝1，x＝e.
【答案】　e
4．求下列对数的值：
(1)log28；
(2)log9；
(3)ln
e；
(4)lg
1.
【解】　(1)设log28＝x，则2x＝8＝23，
∴x＝3.∴log28＝3.
(2)设log9＝x，则9x＝＝9－1，∴x＝－1.
∴log9＝－1.
(3)ln
e＝1.
(4)lg
1＝0.
(见学生用书第109页)
一、选择题
1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
A．e0＝1与ln
1＝0
B．8－＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log77＝1与71＝7
【解析】　根据ab＝N b＝logaN可知，A，B，D均正确，C不正确．
【答案】　C
2．已知logx8＝3，则x的值为(　　)
A.　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
【解析】　由定义知x3＝8，所以x＝2.
【答案】　B
3．已知loga3＝2log230，则a的值为(　　)
A．2
B．3
C．8
D．9
【解析】　2log230＝30＝1，∴loga3＝1，∴a＝3.
【答案】　B
4．设f(x)＝则f(f(2))的值为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】　∵f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，
∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2e0＝2.
【答案】　C
5．方程2log3x＝的解是(　　)
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝9
【解析】　∵2log3x＝＝2－2，
∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.
【答案】　A
二、填空题
6．方程log3(2x－1)＝1的解为x＝________.
【解析】　原方程同解于log3(2x－1)＝log33，所以2x－1＝3，x＝2.
【答案】　2
7．log6[log4(log381)]＝________.
【解析】　原式＝log6[log4(log334)]＝log6(log44)＝log61＝0.
【答案】　0
8．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.
【解析】　∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.
∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.
【答案】　12
三、解答题
9．求下列各式中的x.
(1)log2(log5x)＝0；(2)logx
27＝.
【解】(1)由log2(log5x)＝0得log5x＝1，∴x＝5.
(2)由logx
27＝得x＝27，
∴x＝27，
即x＝(33)，
∴x＝34＝81.
10．计算：23＋log23＋35－log39.
【解】　原式＝23×2log23＋＝8×3＋＝24＋27＝51.
11．已知loga
b＝logb
a(a>0且a≠1；b>0且b≠1)，求证：a＝b或a＝.
【证明】　设loga
b＝logb
a＝k，
则b＝ak，a＝bk，
∴b＝(bk)k＝bk2.
∵b>0且b≠1，
∴k2＝1，即k＝±1.
当k＝－1时，a＝；
当k＝1时，a＝b.
∴a＝b或a＝.