24.2.1 点和圆的位置关系（同步练习·含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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24.2.1 点和圆的位置关系
一．选择题（共8小题）
1．（2025 河南模拟）下列说法正确的是（　　）
A．同位角相等
B．对顶角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．平面内的三点确定一个圆
2．（2025 西平县三模）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠ABC＝52°，则∠ACD的度数是（　　）
A．38° B．39° C．49° D．51°
3．（2025 东莞市校级模拟）已知点O到直线l的距离为3cm，以点O为圆心的⊙O与直线l有两个交点，则⊙O的半径可能为（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
4．（2024秋 扬州期末）若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为3，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定
5．（2025 楚雄市二模）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（　　）
A．36° B．33° C．30° D．27°
6．（2024秋 定兴县期末）已知⊙O的半径为9，点A在⊙O内，则OA的长可能为（　　）
A．13 B．11 C．9 D．7
7．（2024秋 邯郸期末）⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，CD为⊙O的直径，若∠ACD＝25°，则∠BDC为（　　）
A．25° B．45° C．50° D．60°
8．（2024秋 绵阳期末）如图所示，M是x轴的正半轴上一点，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A（﹣2，0），C（0，6），点N是⊙M上任意一点，点P是ON的中点，则CP的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
9．（2025春 桂平市校级月考）如图，在矩形ABCD中，，点E在边AB上，AE：EB＝1：2，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段DP的最小值为 　 　 ．
10．（2025 兰山区一模）如图，△ABO为等边三角形，A，B在⊙O的圆周上，AO＝1，P为圆周上一动点，C为BP的中点，当P在圆周上运动时，AC的最小值为　 　 ．
11．（2024秋 锡山区校级期末）如图，已知⊙O的半径为2，P是⊙O外一点，PO＝5，点A、B在⊙O上，且满足BP＝BA，则线段PA的取值范围是　 　 ．
12．（2025春 广州月考）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，，则AB＝ 　 　 ．
13．（2024秋 安定区期末）若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是 　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 荔湾区校级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝120°，，求⊙O的半径．
15．（2024秋 青县校级期末）如图，△BCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝42°，求∠ABC的度数．
24.2.1 点和圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 河南模拟）下列说法正确的是（　　）
A．同位角相等
B．对顶角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．平面内的三点确定一个圆
【考点】确定圆的条件；对顶角、邻补角；垂线；同位角、内错角、同旁内角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由对顶角的定义，同位角的定义，垂线的性质，确定圆的条件，即可判断．
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故不符合题意；
B、对顶角相等，故符合题意；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故不符合题意；
D、平面内，不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查确定圆的条件，对顶角、同位角，关键是掌握对顶角的定义，同位角的定义，垂线的性质，确定圆的条件．
2．（2025 西平县三模）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠ABC＝52°，则∠ACD的度数是（　　）
A．38° B．39° C．49° D．51°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】A
【分析】根据直径所对的圆周角的直角可得∠DBC＝90°，从而可得∠DBA＝38°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得∠DBA＝∠DCA，即可求解．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∵∠ABC＝52°，
∴∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝38°，
∴∠DBA＝∠DCA＝38°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3．（2025 东莞市校级模拟）已知点O到直线l的距离为3cm，以点O为圆心的⊙O与直线l有两个交点，则⊙O的半径可能为（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；几何直观．
【答案】D
【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求解．
【解答】解：点O到直线l的距离为3cm，以点O为圆心的⊙O与直线l有两个交点，则⊙O的半径大于3cm，所以⊙O的半径可能为4cm，
故选：D．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
4．（2024秋 扬州期末）若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为3，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】推理能力．
【答案】A
【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径比较大小即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径r为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离d为3，3＞2，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O外，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟记点与圆的位置关系：点与圆心的距离d，当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
5．（2025 楚雄市二模）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是（　　）
A．36° B．33° C．30° D．27°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【答案】A
【分析】首先连接BD，由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠CBD的度数，继而求得∠D的度数，然后由圆周角定理，求得∠A的度数．
【解答】解：连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠BCD＝54°，
∴∠D＝90°﹣∠BCD＝36°，
∴∠A＝∠D＝36°．
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
6．（2024秋 定兴县期末）已知⊙O的半径为9，点A在⊙O内，则OA的长可能为（　　）
A．13 B．11 C．9 D．7
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】D
【分析】由点A在⊙O内，可知点A到该圆圆心的距离小于其半径，即可得解．
【解答】解：∵⊙O的半径为9，且点A在⊙O内，
∴OA的长小于半径，即OA＜9，
故选：D．
【点评】本题考查点与圆的位置关系．掌握点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外是解题关键．
7．（2024秋 邯郸期末）⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，CD为⊙O的直径，若∠ACD＝25°，则∠BDC为（　　）
A．25° B．45° C．50° D．60°
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【专题】三角形；圆的有关概念及性质．
【答案】C
【分析】根据直径所对的圆周角为直角，得到∠CAD＝∠CBD＝90°，三角形的内角和求出∠ADC，等弦对等弧，得到，进而得到∠ACB＝∠ADC＝65°，进而求出∠BCD＝40°，再根据三角形的内角和定理求出∠BDC的度数即可．
【解答】解：∵CD为⊙O的直径，
∴∠CAD＝∠CBD＝90°，
∵∠ACD＝25°，
∴∠ADC＝90°﹣∠ACD＝65°，
∵AB＝AC，
∴，
∴∠ACB＝∠ADC＝65°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝40°，
∴∠BDC＝90°﹣∠BCD＝50°；
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，等弦对等弧，掌握以上知识点是解题的关键．
8．（2024秋 绵阳期末）如图所示，M是x轴的正半轴上一点，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A（﹣2，0），C（0，6），点N是⊙M上任意一点，点P是ON的中点，则CP的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质；三角形三边关系；三角形中位线定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】B
【分析】取OM中点D，连接CD，PD，CM，MN，由点P是ON的中点，得 ，由A（﹣2，0），C（0，6），得OA＝2，OC＝6，进而可得CM＝10，OM＝8，，，由勾股定理求得，由PC+PD≥CD，得C、P、D三点共线时，CP+PD＝CD，CP最小，即可求解．
【解答】解：取OM中点D，连接CD，PD，CM，MN，
由条件可知，
由条件可知OA＝2，OC＝6，
∴CM2＝OC2+OM2，
∴CM2＝62+（CM﹣2）2，
∴CM＝10，OM＝8，
∴，，
∴Rt△COD中，，
∵△CDP中，PC+PD≥CD，
∴C、P、D三点共线时，CP+PD＝CD，CP最小，
此时，
故答案为：B．
【点评】本题主要考查了圆的性质，三角形三边之间的关系、三角形中位线定理及勾股定理的应用，正确运用相关性质定理，作出辅助线是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2025春 桂平市校级月考）如图，在矩形ABCD中，，点E在边AB上，AE：EB＝1：2，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段DP的最小值为 　4　 ．
【考点】点与圆的位置关系；勾股定理；矩形的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】4．
【分析】连接OE，OB，过O作OH⊥BE于H，过O作OM⊥AD于M，求出，，由等腰三角形的性质推出，，由圆周角定理得到∠BOE＝2∠BPE＝120°，由，求出OH＝1，由含30度角的直角三角形的性质得到PO＝OE＝2OH＝2，判定四边形AHOM是矩形，得到AM＝OH＝1，OM＝AH，由勾股定理求出OD的长，即可得到答案．
【解答】解：点P在所对圆周角∠BPE＝60°的圆O上运动，
当DP的延长线过圆心O时，PD有最小值，连接OE，OB，过O作OH⊥BE于H，过O作OM⊥AD于M，
由条件可知，，，，
∵∠BOE＝2∠BPE＝120°，
∴∠EOH＝60°，
∵，
∴OH＝1，
∵∠OEH＝90°﹣60°＝30°，
∴PO＝OE＝2OH＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠AMO＝∠AHO＝90°，
∴四边形AHOM是矩形，
∴AM＝OH＝1，OM＝AH，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴PD＝PO﹣OP＝6﹣2＝4，
∴PD的最小值是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质，关键是判定点P在所对圆周角∠BPE＝60°的圆O上运动．点P在所对圆周角∠BPE＝60°的圆O上运动，当DP的延长线过圆心O时，PD有最小值．
10．（2025 兰山区一模）如图，△ABO为等边三角形，A，B在⊙O的圆周上，AO＝1，P为圆周上一动点，C为BP的中点，当P在圆周上运动时，AC的最小值为　　 ．
【考点】点与圆的位置关系；三角形三边关系；等边三角形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】．
【分析】过点A作 AE⊥OB，连接CE，首先根据圆的基本性质可得：OP＝OB＝OA＝1，根据中位线定理可知CE＝1，根据等边三角形的性质可得：，从而可得：AC的最小值为．
【解答】解：如下图所示，过点A作AE⊥OB，连接CE，
∵OA＝1，
∴OP＝OB＝OA＝1，
∵△ABO是等边三角形，
∴点E是BO的中点，
又∵点C是BP的中点，
∴CE是△BPO的中位线，
∴，BE＝OE，AE⊥OB，
在Rt△AEB中，，
∵当点A、C、E三点共线时AE有最小值，
∴当点A、C、E三点共线时AC有最小值，
最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、圆的基本性质、中位线定理，掌握以上性质是解题的关键．
11．（2024秋 锡山区校级期末）如图，已知⊙O的半径为2，P是⊙O外一点，PO＝5，点A、B在⊙O上，且满足BP＝BA，则线段PA的取值范围是　　 ．
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】．
【分析】得到点B为AP的中垂线与⊙O的交点，以及PA取最大值和最小值时的临界点是解答的关键．先根据中垂线的性质得到点B为AP的中垂线与⊙O的交点，再结合图形，当点A在PO的延长线上时，AP有最大值，当PA的中垂线与⊙O相切于点B时，PA最小，进而结合勾股定理和正方形的判定与性质、圆的切线性质分别求得PA的最大值和最小值即可．
【解答】解：∵BP＝BA，
∴点B为AP的中垂线与⊙O的交点，
如图，当点A在PO的延长线上时，存在点B，此时AP有最大值，最大值为OP+OA＝5+2＝7；
如图，当PA的中垂线与⊙O相切于点B时，PA最小，设中垂线交PA于C，连接OB，OA，过O作OD⊥PA于D，
则∠OBC＝∠BCD＝∠ODC＝90°，又OB＝OD＝2，
∴四边形BCDO是正方形，
∴BC＝CD＝OB＝2，
设PC＝AC＝t，则AD＝2﹣t，PD＝t+2，
在Rt△AOD中，OD2＝22﹣（2﹣t）2，
在Rt△POD中，OD2＝52﹣（2+t）2，
∴22﹣（2﹣t）2＝52﹣（2+t）2，
解得，则，
综上，线段PA的取值范围是，
故答案为：．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、切线性质等知识，熟练掌握以上知识点是关键．
12．（2025春 广州月考）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，，则AB＝ 　3　 ．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】三角形．
【答案】3．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到∠ACB＝∠ABC＝30°，继而由圆周角定理得到∠D＝∠C＝30°，∠BAD＝90°，再解直角三角形即可．
【解答】解：∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∴∠D＝∠C＝30°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∴，
故答案为：3．
【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13．（2024秋 安定区期末）若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是 　点A在⊙O内　 ．
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】点A在⊙O内．
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来判断，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵点A到圆心O的距离为3cm，小于⊙O的半径4cm，
∴点A在⊙O内．
故答案为：点A在⊙O内．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 荔湾区校级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝120°，，求⊙O的半径．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【专题】三角形．
【答案】2．
【分析】连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD，根据圆内接四边形性质得∠D＝60°，根据，得AD＝4，即得．
【解答】解：连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠ABD＝90°，
∵∠D+∠C＝180°，∠ACB＝120°，
∴∠D＝60°，
在Rt△ABD中，
∵，
∴AD＝4，
∴⊙O的半径为2．
【点评】本题考查了圆内接四边形性质，圆周角定理推论，熟练掌握以上性质及相关计算是解题的关键．
15．（2024秋 青县校级期末）如图，△BCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝42°，求∠ABC的度数．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】48°．
【分析】连接AC，根据直径所对的圆周角为直角得∠ACB＝90°，再根据圆周角定理得∠A＝∠CDB＝42°，由此可得∠ABC的度数．
【解答】解：连接AC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵△BCD内接于⊙O，
∴∠A＝∠CDB＝42°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣42°＝48°．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，准确识图，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
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