6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
【课前预习】
知识点一
1.不共线 λ1e1+λ2e2 2.不共线
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)× [解析] (3)只有当e1与e2不共线时,才有λ1=λ2=0.
2.解:表示形式是唯一的.理由如下:
若a=μ1e1+μ2e2,则λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,得(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0,因为e1,e2不共线,所以λ1-μ1=0,λ2-μ2=0,即λ1=μ1,λ2=μ2.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)BCD (2)B [解析] (1)只要平面内一对向量不共线,这对向量就可构成表示该平面内所有向量的一个基底,所以A不正确,B,D正确;因为零向量与任意向量平行,所以C正确.故选BCD.
(2)∵4e2-6e1=-2(3e1-2e2),∴3e1-2e2和4e2-6e1共线,∴3e1-2e2,4e2-6e1不能构成表示这一平面内所有向量的一个基底.故选B.
变式 (1)B [解析] ①与不共线;②=-,则与共线;③与不共线;④=-,则与共线.由平面向量基底的概念知,只有不共线的两个向量才能构成表示其所在平面内所有向量的一个基底,故①③符合题意.故选B.
(2)解:设存在实数λ,使得c=λd,
则2a-b=λ(3a-2b),即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0.
∵a,b不共线,∴由平面向量基本定理得无解,
从而c,d不共线,∴c,d能构成一个基底.
探究点二
例2 解: 因为=2,所以-=2(-),可得=+.
设=λ=+,因为E是边BC的中点,所以=+,
又P,A,E三点共线,所以+=1,解得λ=,
所以=+.
变式 (1) (2)a-b -a+b [解析] (1)因为c=λa+μb=λ(e1+e2)+μ(3e1-2e2)=
(λ+3μ)e1+(λ-2μ)e2,且c=2e1+3e2,所以解得所以λ+μ=.
(2)=+=-+=-b+(a+b)=a-b,=+=-+=-a+(a+b)=-a+b.
拓展 解:(1)因为=2,所以=,所以=+=+=+(-)=+,又O是线段AP的中点,所以===+,又=x+y,且,不共线,所以x=,y=.
(2)因为=+=+λ=(1+λ),=+=+μ=(1+μ),由(1)可知=+,所以=+,又E,O,F三点共线,所以+=1,可得2λ+μ=3.
因为λ>0,μ>0,所以+=·(2λ+μ)=≥=,当且仅当μ=2λ,即λ=,μ=时取等号,所以+的最小值为.
探究点三
例3 解:(1)因为=3,所以=,则=-=-=a-b.因为3=2,所以==(-)=(b-a).因为=3,所以==b,则=-=(b-a)-b=-a+b.
(2)因为E,P,F三点共线,所以=λ+(1-λ)=(1-λ)a+b(λ∈R).因为C,P,D三点共线,所以=k=ka-kb(k∈R),
则解得所以=,
故=.
变式 证明:设D,E,F分别是△ABC的三边BC,AC,AB的中点,连接AD,BE,CF,令=a,=b,选取{a, b}为△ABC所在平面内的一个基底,则=a-b,=a-b,=-a+b.设AD与BE交于点G1,且=λ,=μ,λ,μ∈R,则有=λa-b,=-a+μb.∵=+=a+(μ-1)b,∴解得∴=a-b.再设AD与CF交于点G2,同理可得=a-b,∴点G1,G2重合,即AD,BE,CF交于一点,故三角形的三条边上的中线交于一点.6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
1.B [解析] 由题图可知,与共线,与共线,与共线,均不能构成一个基底,与不共线,能构成一个基底.故选B.
2.C [解析] 由题图易知a-b=e1-3e2.故选C.
3.A [解析] ==(-)=(+)=(5e1+3e2).
4.A [解析] 因为=+t,所以-=t,所以=t,所以,共线.因为05.B [解析] ∵a+b= e1-2e2+2e1+e2=3e1- e2,∴c=6e1-2e2=2(3e1- e2)=2(a+b),∴a+b与c共线,故选B.
6.B [解析] 由题可得=+=+=+(++)=+=+.故选B.
7.C [解析] 如图所示,连接AO并延长,交BC于点E,因为O为△ABC的重心,所以E为BC的中点,且=2,所以=(+),又由=4,可得=,所以=+=+=×(+)+(-)=-+.因为=m+n,所以m=-,n=,所以=-.故选C.
8.ABD [解析] 对于A,根据平面向量基底的定义可知,e1,e2不共线,所以e1,e2一定都是非零向量,A正确;对于B,因为a=0=λ1e1+λ2e2,且e1,e2不共线,所以λ1=λ2=0,B正确;对于C,平面内不共线的两个向量都可以构成一个基底,C错误;对于D,e1在e2上的投影向量为|e1|·cos·=-e2,D正确.故选ABD.
9.BC [解析] 由题意得=-=b-a,故D错误;=-=-=-a-(b-a)=-a-b,故A错误;=-=-+=-b+(b-a)=-a+b,故B正确;=-=-=-a+b,故C正确.故选BC.
10.λ≠- [解析] 当(e1-2e2)∥(λe1+e2)时,则存在唯一实数t,使得λe1+e2=t(e1-2e2),所以解得.因为{e1-2e2,λe1+e2}是一个基底,所以e1-2e2,λe1+e2不共线,所以λ≠-.
11. [解析] 因为=-,所以=2λ+3=2λ+3(-)=(2λ+3)-3,又A,B,C三点共线,所以2λ+3-3=1,解得λ=.
12.8 [解析] 根据题意,在平行四边形ABCD中,+=,又||=2,+=,所以+=,则=,=,所以||=4,||=2,则||2+||2=||2,所以⊥,所以平行四边形ABCD的面积S=||||=8.
13.解:(1)证明:若a,b共线,则存在k∈R,使a=kb,即e1-2e2=k(e1+3e2),则(1-k)e1-(2+3k)e2=0,由e1与e2不共线,得此方程组无解,所以a,b不共线,故a,b可以构成表示其所在平面内所有向量的一个基底.
(2)设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2,因为e1与e2不共线,所以解得故c=2a+b.
(3)由4e1-3e2=λa+μb,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2,因为e1与e2不共线,所以解得
14.解:(1)因为A,O,D三点共线,所以存在唯一实数λ,使=λ(λ∈R).因为E,O,C三点共线,
所以存在实数μ,使=μ+(1-μ),又D是BC的中点,E在边AB上,且BE=2EA,
所以
可得解得所以=+.
(2)因为H,O,G三点共线,所以存在实数m,使=m+(1-m),又=,=t,
所以=+(1-m)t,
根据平面向量基本定理可得解得
所以t=.
(3)·=6·=6·=,
整理可得=,所以=,即=.
15.AC [解析] ∵=,∴B,E,C三点共线且E为边BC的中点.∵=+,∴-=+,∴=+-=-=,∴A,F,C三点共线且F为边AC上靠近点A的三等分点.∵=μ,∴-=μ(-),∴=(1-μ)+μ=(1-μ)+μ,又=λ=λ+λ,∴解得故A正确,B错误.=+=+=+(-)=+=+,故C正确.+=+==≠+,故D错误.故选AC.
16.解:(1)证明:∵·+=(+)·,
∴·-·+-·=0,
即·(-)-·(-)=0,
∴·-·=0,即(-)·=0,
∴·=0,∴OA⊥OC.
(2)依题意得=,=,∴=(-)=(+)-=+-=-,∴=+=+-=+.
∵=2,=x(0≤x≤1),∴=,
∴=λ+μ=λ(-)+μ(+)=+(μ-λ),
又,不共线,∴即
∴λ·μ=μ=-.
∵0≤x≤1,∴≤μ≤,∴当μ=时,λ·μ取得最大值,且最大值为,此时x=0.6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
【学习目标】
了解平面向量基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简单数学问题.
◆ 知识点一 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a= .
2.基底:若e1,e2 ,我们把{e1,e2}叫作表示这一平面内所有向量的一个基底.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内任意两个向量都可以构成表示该平面内所有向量的一个基底. ( )
(2)平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.( )
(3)若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0. ( )
2.已知平面内的一个基底{e1,e2},平面内任何一个向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式,这种表示形式是唯一的吗
◆ 知识点二 平面向量基本定理的应用
1.平面向量基本定理唯一性的应用
设a,b是同一平面内的两个不共线向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则
2.重要结论
设{e1,e2}是平面内的一个基底,若a=λ1e1+λ2e2:
①当λ2=0时,a与e1共线;
②当λ1=0时,a与e2共线;
③当λ1=λ2=0时,a=0.
◆ 探究点一 对基底概念的理解
例1 (1)(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.一个平面内只有一对不共线向量可构成表示该平面内所有向量的基底
B.一个平面内有无数对不共线向量可构成表示该平面内所有向量的基底
C.零向量不可作为基底中的向量
D.一对不共线的单位向量可构成表示该平面内所有向量的一个基底
(2)设{e1,e2}是表示某一平面内所有向量的一个基底,则下列四组向量中不能构成表示这一平面内所有向量的一个基底的是 ( )
A.e1+e2,e1-e2 B.3e1-2e2,4e2-6e1
C.e1+2e2,e2+2e1 D.e2,e2+e1
变式 (1)设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,给出下列向量组:
①{,};②{,};③{,};④{,}.
其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的是 ( )
A.①② B.①③
C.①④ D.③④
(2)设a,b不共线,c=2a-b,d=3a-2b,试判断c,d能否构成一个基底.
[素养小结]
判断两个向量是否能构成一个基底,主要看两向量是否非零且不共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么该平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.
◆ 探究点二 用基底表示平面内的向量
例2 如图,在△ABC中,E是边BC的中点,点D在边AB上,且满足=2,AE与CD交于点P.试用,表示和.
变式 (1)已知{e1,e2}是表示某一平面内所有向量的一个基底,且a=e1+e2,b=3e1-2e2,c=2e1+3e2,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λ+μ= .
(2)如图,在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两个三等分点,设=a,=b,则= ,= .(用a,b表示)
[素养小结]
用两个不共线的向量构成的基底表示其他向量的基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至能用基底表示;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.
拓展 [2024·山东省实验中学高一期中] 如图,在△ABC中,点P满足=2,O是线段AP的中点,过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F.
(1)若=x+y,求x和y的值;
(2)若=λ(λ>0),=μ(μ>0),求+的最小值.
◆ 探究点三 平面向量基本定理的应用
例3 在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且=3,3=2,=3,P是CD与EF的交点.设=a,=b.
(1)用a,b表示,;
(2)求的值.
变式 用向量法证明三角形的三条边上的中线交于一点.
[素养小结]
平面向量基本定理唯一性的应用
设a,b是同一平面内的两个不共线向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
一、选择题
1.如图所示,点O为正六边形ABCDEF的中心, 则能构成一个基底的向量是 ( )
A.,
B.,
C.,
D.,
2.如图所示,用向量e1,e2表示向量a-b为( )
A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2
C.e1-3e2 D.3e1-e2
3.在矩形ABCD中,=5e1,=3e2,AC与BD交于点O,则= ( )
A.(5e1+3e2) B.(5e1-3e2)
C.(3e2-5e1) D.(5e2-3e1)
4.设空间四点O,A,B,P满足=+t,其中0A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段BA的延长线上
D.点P不一定在直线AB上
5.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,c=6e1-2e2,其中e1,e2不共线,则a+b与c的关系是 ( )
A.不共线 B.共线
C.相等 D.不确定
6.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD=3AD,E为边CD上靠近点D的三等分点,F为边BC的中点,则= ( )
A.-+ B.+
C.+ D.-
7.[2024·广东六校高一期末] 如图,点O是△ABC的重心,点D是边BC上一点,且=4,若=m+n,则= ( )
A. B.-
C.- D.
8.(多选题)[2024·江苏盐城五校高一月考] 下列说法中正确的是 ( )
A.平面向量的一个基底{e1,e2}中,e1,e2一定都是非零向量
B.在平面向量基本定理a=λ1e1+λ2e2中,若a=0,则λ1=λ2=0
C.表示同一平面内所有向量的基底是唯一的
D.若单位向量e1,e2的夹角为,则e1在e2上的投影向量是-e2
9.(多选题)如图所示,已知P,Q,R分别是△ABC的三边AB,BC,CA上靠近点A,B,C的四等分点,若=a,=b,则下列向量表示正确的是 ( )
A.=-a-b B.=-a+b
C.=-a+b D.=a-b
二、填空题
10.已知e1与e2不共线,{e1-2e2,λe1+e2}是一个基底,则实数λ的取值范围是 .
11.已知A,B,C三点共线,若=2λ+3,则λ= .
12.[2024·重庆七校高一期中] 在平行四边形ABCD中,若||=2,+=,则平行四边形ABCD的面积为 .
三、解答题
13.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:a,b可以构成表示其所在平面内所有向量的一个基底;
(2)设c=3e1-e2,试用基底{a,b}表示c;
(3)若4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.
14.[2024·浙江四校高一月考] 如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,且BE=2EA,AD与CE交于点O.
(1)用,表示;
(2)过点O作直线交线段AB于点G,交线段AC于点H,若=,=t,求t的值;
(3)若·=6·,求的值.
15.(多选题)已知在△ABC中,=,=+,点M满足=λ且=μ(λ,μ∈R),则 ( )
A.λ=
B.μ=
C.=+
D.+=+
16.如图,在四边形OABC中,=2,=,=x(0≤x≤1),·+=(+)·.
(1)证明:OA⊥OC;
(2)设=λ+μ,求λ·μ的最大值,并求λ·μ取得最大值时x的值.(共62张PPT)
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
探究点一 对基底概念的理解
探究点二 用基底表示平面内的向量
探究点三 平面向量基本定理的应用
【学习目标】
了解平面向量基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简
单数学问题.
知识点一 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果, 是同一平面内的两个________向量,
那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使
____________.
不共线
2.基底：若,________，我们把, 叫作表示这一平面内所有
向量的一个基底.
不共线
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）平面内任意两个向量都可以构成表示该平面内所有向量的一个
基底．( )
×
（2）平面向量基本定理中基底的选取是唯一的．( )
×
（3）若，则 .( )
×
[解析] 只有当与不共线时，才有 .
2.已知平面内的一个基底，，平面内任何一个向量 都可以表
示成 的形式，这种表示形式是唯一的吗？
解：表示形式是唯一的.理由如下：
若，则 ，得
，因为， 不共线，所以
，，即， .
知识点二 平面向量基本定理的应用
1.平面向量基本定理唯一性的应用
设，是同一平面内的两个不共线向量，若 ，
则
2.重要结论
设，是平面内的一个基底，若
①当时，与 共线；
②当时，与 共线；
③当时， .
探究点一 对基底概念的理解
例1（1） （多选题）下列说法中正确的是( )
A.一个平面内只有一对不共线向量可构成表示该平面内所有向量的
基底
B.一个平面内有无数对不共线向量可构成表示该平面内所有向量的
基底
C.零向量不可作为基底中的向量
D.一对不共线的单位向量可构成表示该平面内所有向量的一个基底
√
√
√
[解析] 只要平面内一对向量不共线，这对向量就可构成表示该平面
内所有向量的一个基底，所以A不正确，B，D正确；
因为零向量与任意向量平行，所以C正确.故选 .
（2）设{， 是表示某一平面内所有向量的一个基底，则下列四
组向量中不能构成表示这一平面内所有向量的一个基底的是( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] ,和 共线,
, 不能构成表示这一平面内所有向量的一个基底.
故选B.
√
变式（1） 设是平行四边形 两条对角线的交点，给出下列向
量组：
，}；，}；，}；， }.
其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的
是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
√
[解析] 与不共线；，则与共线； 与
不共线；，则与 共线.
由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成表示
其所在平面内所有向量的一个基底，故①③符合题意.故选B.
（2）设，不共线，，，试判断， 能否
构成一个基底．
解：设存在实数 ，使得 ，
则，即 .
，不共线， 由平面向量基本定理得 无解，
从而，不共线，， 能构成一个基底．
［素养小结］
判断两个向量是否能构成一个基底，主要看两向量是否非零且不共
线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么该平面内任意一个向量
都可以由这个基底唯一线性表示出来．
探究点二 用基底表示平面内的向量
例2 如图，在中，是边的中点，点在边 上，且满足
,与交于点.试用，表示和 .
解： 因为 ，所以
，可得 .
设，因为是边 的
中点，所以 ，
又，，三点共线，所以 ，解得 ，
所以 .
变式（1） 已知{, }是表示某一平面内所有向量的一个基底，且
,,，若 ，
则 ___.
[解析] 因为
，且，所以解得 所以
.
（2）如图，在平行四边形中，， 是对
角线上的两个三等分点，设, ，
则_________， ___________.
（用， 表示）
[解析] ，
.
［素养小结］
用两个不共线的向量构成的基底表示其他向量的基本方法有两种：
一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能
用基底表示；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底
表示向量的唯一性求解．
拓展 [2024·山东省实验中学高一期中] 如图，
在中，点满足,是线段
的中点，过点的直线与边, 分别交于点
, .
（1）若，求和 的值；
解：因为，所以 ，所以
，又
是线段的中点，所以 ，
又，且，不共线，所以, .
（2）若,，求 的最小值.
解：因为 ，
，由（1）
可知 ，所以 ，
又,, 三点共线，所以，可得 .
因为, ，所以
，
当且仅当 ，即 ,时取等号，所以的最小值为 .
探究点三 平面向量基本定理的应用
例3 在中，点,，分别在边,,上，且 ，
，，是与的交点.设， .
（1）用,表示， ；
解：因为，所以 ，则
.
因为 ，所以.
因为 ，所以，
则 .
（2）求 的值.
解：因为，， 三点共线，所以
.
因为,, 三点共线，所以 ，
则解得所以 ,故 .
变式 用向量法证明三角形的三条边上的中线交于一点.
证明：设,,分别是的三边,,的中点,连接， ,
，令,，选取{,}为 所在平面内的一个基底，
则,,.
设与交于点 ,且,, ，，
则有 ,.
,
解得.
再设与交于点 ,同理可得，
点,重合,即,, 交于一点,
故三角形的三条边上的中线交于一点.
［素养小结］
平面向量基本定理唯一性的应用
设，是同一平面内的两个不共线向量，若 ，
则
1.对平面向量基本定理的理解
（1）基底不共线.
（2）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成
基底．
（3）基底给定时，分解形式唯一，，是被，， 唯一确定
的数值．
（4）若{，是同一平面内表示所有向量的一个基底，则当 与
共线时，，当与共线时，，当 时，
.
（5）因为零向量与任意向量都是共线的，所以零向量不能作为基底
中的向量．
（6）平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的
和,且这样的分解是唯一的,同一个非零向量在不同的基底下的分解式
是不同的,而零向量的分解式是唯一的,即 ,且
.
2.结论：向量，，中的三个终点，， 共线的充要条件是
存在实数 ， ，使得，且 .
平面向量基本定理的应用
应用平面向量基本定理解决平面几何问题时,关键是选取不共线的一
组向量构成基底,利用这个基底先把相关量表示出来,再解决问题.
例1 已知向量，， ，其中
，不共线，是否存在这样的实数 ， ，使与 共线？
解： ，
要使与共线，则存在实数，使 ，即
，
所以可得 .
故存在这样的实数 ， ，且 ，使与 共线.
例2 [2024·河北石家庄一中高一期中] 如图，在等腰梯形 中，
与平行,，为线段的中点， 与
交于点，为线段 上的一个动点.
解：由题可得 ，
，
因为为线段的中点，所以 ，又由得
，所以 .
由与交于点，设 ，
又，，三点共线，所以，解得 ，
所以，所以 .
（1）求 ；
（2）设，求 的取值范围.
解：由题意，可设 ，因
为，所以 ，
又 ，所以可得
因为，所以 ，又
，所以当时，取得最小值0，
当 时，取得最大值 ，所以的取值范围为 .
练习册
一、选择题
1.如图所示，点为正六边形 的中心，
则能构成一个基底的向量是( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 由题图可知，与共线，与
共线，与共线，均不能构成一个基底，与 不共线，能构成
一个基底.故选B.
√
2.如图所示,用向量,表示向量 为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题图易知 .故选C.
√
3.在矩形中，，，与交于点 ，则
( )
A. B.
C. D.
[解析] .
√
4.设空间四点，，，满足，其中 ，则
( )
A.点在线段上 B.点在线段 的延长线上
C.点在线段的延长线上 D.点不一定在直线 上
[解析] 因为，所以，所以 ，
所以，共线.因为，，有公共点A，所以点 在
线段 上，且不包括端点，故选A.
√
5.已知向量，，，其中 ，
不共线，则与 的关系是( )
A.不共线 B.共线 C.相等 D.不确定
[解析] ，
，与 共线，故选B.
√
6.在等腰梯形中，，，为边
上靠近点的三等分点，为边的中点，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题可得
.故选B.
√
7.[2024·广东六校高一期末]如图，点是的重心，点是边
上一点，且，若，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图所示，连接并延长，交 于点
，因为为的重心，所以为 的中
点，且，所以 ，
又由，可得 ，所以
.因为，所以， ，所以
.故选C.
8.（多选题）[2024·江苏盐城五校高一月考] 下列说法中正确的是
( )
A.平面向量的一个基底{,中，, 一定都是非零向量
B.在平面向量基本定理中，若，则
C.表示同一平面内所有向量的基底是唯一的
D.若单位向量,的夹角为，则在上的投影向量是
√
√
√
[解析] 对于A，根据平面向量基底的定义可知，, 不共线，所以
,一定都是非零向量，A正确；
对于B，因为 ，且,不共线，所以 ，
B正确；
对于C，平面内不共线的两个向量都可以构成一个基底，C错误；
对于D，在 上的投影向量为，D正确.
故选 .
9.（多选题）如图所示，已知，， 分别是
的三边，，上靠近点，，
的四等分点，若， ，则下列向
量表示正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由题意得 ，故D错误；
, 故A错误；
，故B
正确；
，故C正确.故选 .
二、填空题
10.已知与不共线，,是一个基底，则实数
的取值范围是________.
[解析] 当时，则存在唯一实数 ，使得
，所以解得 .
因为{,是一个基底，所以, 不共线，
所以 .
11.已知，，三点共线，若，则 __.
[解析] 因为 ，所以
，
又，，三点共线，所以，解得 ．
12.[2024·重庆七校高一期中] 在平行四边形中，若 ，
，则平行四边形 的面积为___.
8
[解析] 根据题意，在平行四边形中， ，又
，，所以 ，
则,，所以, ，
则，所以，所以平行四边形 的面
积 .
三、解答题
13.设，是不共线的非零向量，且， .
（1）证明：, 可以构成表示其所在平面内所有向量的一个基底；
证明：若,共线，则存在，使 ，即
，则，
由与 不共线，得此方程组无解，所以,不共线，
故, 可以构成表示其所在平面内所有向量的一个基底.
（2）设，试用基底{,}表示 ；
解:设 ，则
，因为与不共线，所以解得 故
.
（3）若，求 ， 的值.
解:由 ，得，因为与不共线，所以
解得
14.[2024·浙江四校高一月考] 如图，在中，是的中点，
在边上，且，与交于点 .
（1）用，表示 ；
解：因为，，三点共线，所以存在唯一实数 ，
使.
因为，， 三点共线，所以存在实数 ，使，
又 是的中点，在边上，且 ，
所以
可得解得 所以 .
（2）过点作直线交线段于点，交线段 于点
，若，，求 的值；
解：因为，，三点共线，所以存在实数 ，使
，又 ，
，所以 ，
根据平面向量基本定理可得 解得 所以 .
（3）若，求 的值.
解： ，
整理可得，所以，即 .
15.（多选题）已知在中，，，点
满足且 ，则( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] ，,,C三点共线且为边 的中点.
， ，
，, ,C三点共线且
为边上靠近点A的三等分点.
， ，
，
又 ，解得 故A正确，
B错误.
，故C正确.
，故D错误.故选 .
16.如图，在四边形中， ,
, ,
.
（1）证明: ；
证明： ，
，
即 ，
，即 ，
， .
（2）设，求 的最大值，并求 取得最大
值时 的值.
解:依题意得, ，
，
.
,， ，
，
又,不共线，
.
,， 当时， 取得最大值，且最大值为，此时 .
