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6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
探究点一 向量数量积的坐标运算
探究点二 向量模的问题
探究点三 向量的夹角和垂直问题
【学习目标】
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件,会处理有关长度、角度和
垂直等问题.
知识点一 平面向量数量积的坐标表示
已知向量,,则 ____________,即两个向
量的数量积等于________________________.
它们对应坐标的乘积的和
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
已知,,则 .( )
√
知识点二 向量模的坐标表示
1.若,则________, __________.
2.设,,则 _______________________.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若,,则 .( )
√
（2）已知向量，，若，则 .
( )
×
[解析] 由得 ，解得 .
知识点三 向量垂直的坐标表示
设,是非零向量，,,则
_______________.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
若,是非零向量，,,则“ ”的充要条件是
“ ”.( )
×
[解析] “”的充要条件是“ ”.
知识点四 两个向量的夹角公式的坐标表示
设,都是非零向量,,, 是与 的夹角,根据
向量数量积的定义及坐标表示可得 _ ____________.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若两个非零向量的夹角 满足,则两向量的夹角 一
定是钝角.( )
×
（2）已知两个非零向量， ，若
，则向量与的夹角为 .( )
×
探究点一 向量数量积的坐标运算
例1（1） 设，，，则
( )
A. B. C.9 D.11
[解析] ，，， ，
.故选C.
√
（2）已知是腰长为2的等腰直角三角形，是斜边 的中点，
点在上，且，则 ( )
A. B. C. D.2
√
[解析] 如图，以C为坐标原点，, 所在直线
分别为轴、 轴，建立平面直角坐标系，则
,,.
因为 ，所以，所以，
所以 ,，
所以 .故选C.
变式（1） [2024·厦门双十中学高一期中]已知 ,
，则 ( )
A.10 B. C.3 D.
[解析] 由向量,，
可得 , ，
所以 .故选B.
√
（2）在正方形中，，为的中点，为 的中点，
则___；若为上的动点（包括端点），则 的最
大值为___.
1
3
[解析] 如图，以为坐标原点，， 所在直线分
别为轴、 轴，建立平面直角坐标系，
则由题意得，， ，
所以 ,
，所以 .
设，则 ，
所以，
因为 ，所以，所以 的最大值为3.
［素养小结］
向量数量积的坐标运算的技巧
（1）进行数量积运算时，要正确使用公式 ，并
能灵活运用以下几个关系式：
① .
② .
③ .
（2）在平面几何图形中求数量积，若几何图形是规则的且易建系，
则可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．
探究点二 向量模的问题
例2（1） 已知向量，，则 ( )
A. B.5 C.2 D.4
[解析] 方法一：, ,
, .故选A.
方法二：，， ，
.故选A.
√
（2）设向量，向量与向量 共线且方向相反，若
，则向量 的坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，，则 ，
可得，所以 .故选B.
√
变式（1） [2024·南阳六校高一期中]已知非零向量 ，
，若，则 ( )
A.8 B. C.6 D.
[解析] 非零向量，，且 ，
，解得（舍去）或 ，
， .故选C.
√
（2）已知，，且满足，则实数
的值为_____ .
[解析] ， ，
解得 .
［素养小结］
求向量的模的两种基本策略
（1）坐标法：若向量是以坐标形式出现的，即 ，则求向
量的模可直接利用公式 .
（2）常规平方法：若向量， 是以非坐标形式出现的，则先求向量
模的平方，再通过向量数量积的运算求解．常用的求向量的模的公
式：|， .
探究点三 向量的夹角和垂直问题
例3 已知向量,,，向量与向量 的
夹角为 .
（1）求 的值；
解：由题意得, ，
,
.
（2）若，求实数 的值.
解：，且 ,
，即，解得 .
变式（1） 已知向量,,，若, ,
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得，,,，, ,
，,，解得 ．
√
（2）已知向量， ，其中
，若，则 __.
[解析] 因为，所以 ，
即，
所以 ，
又因为，所以 .
［素养小结］
1.解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）若题目条件没有涉及向量的坐标，而给出了以及 ，
则利用公式求出 .
（2）若题目条件涉及向量的坐标，则利用公式
求出 .
（3）无论是上述哪种类型，由三角函数值 求角 时，都应注
意角 的取值范围是 ．
2.由垂直关系求参数时需要牢记公式，体现了方程思想.
1.平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题
向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，
并将数与形紧密结合起来.主要应用有：（1）求两点间的距离
（求向量的模）；（2）求两向量的夹角；（3）证明两向量垂直.
2.向量模的坐标运算的实质
向量的模即为向量的长度,其大小应为平面直角坐标系中两点间的距
离,如,则在平面直角坐标系中,一定存在 ,使
,则,即表示点 到原点的距
离.同样,若,,则 ,即
为平面直角坐标系中任意两点间的距离公式,由此可见,向量模的运算
的实质是求平面直角坐标系中两点间的距离.
3.利用平面向量数量积的坐标表示解决问题的几个注意事项
（1）向量垂直的坐标表示 与向量共线的坐标表示
易记错、易混淆,要通过前后联系,类比记忆.
（2）两向量夹角的取值范围容易忽略,要联系平面几何中两直线的夹
角、立体几何中两异面直线所成的角、二面角的平面角的取值范围
去对比记忆.由于向量夹角的取值范围是，故利用
来判断角 时，要注意有两种情况，一是 是钝角，二是
，也有两种情况，一是 是锐角，二是 .
（3）两向量的数量积和数的乘法容易混淆,如非零向量,, 一般不
满足 .
1.与数量积有关的坐标运算
进行向量数量积的运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题
时通常有两种途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积的运
算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
例1 [2024·浙江金华高一期中] 已知平面向量，向量 满
足，且与的夹角为 .
（1）求 ；
解：由题意得， ，
，
.
（2）若与垂直，求 的值.
解：由与垂直，得 ，
，即 ，
.
2.用平面向量数量积的坐标表示解决求范围问题
当平面向量求范围问题涉及的几何图形中有垂直、动点条件时，一
般建立平面直角坐标系，利用坐标运算，将几何问题代数化，结合
基本不等式、二次函数等知识解决，减少运算.
例2 如图，圆是边长为1的正方形 的外接
圆,是劣弧上的一点，则 的取值范围
是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 方法一：如图，以A为坐标原点，
,所在直线分别为轴、 轴，建立平面
直角坐标系，则,.
设 ，则，因为 ，
所以.
由题意知，圆的半径 ，
因为点在劣弧上，所以 ，
所以的取值范围是 .
方法二：如图，连接,.易知 ，
设 ,，则 .
由已知可得,, ，所以，
所以 .
因为，所以 ，
所以 ，
所以，故
的取值范围是 .故选C.
练习册
一、选择题
1.已知，,则 的值为( )
A. B.7 C. D.
[解析] ,, .故选D.
√
2.已知向量，，且，则 ( )
A. B.3 C. D.
[解析] 因为，所以，解得 .故选B.
√
3.[2024·连云港高一期中]已知向量,，则 在
上的投影向量为( )
A. B. C. D.
[解析] 由,，得 ,
，所以在 上的投影向量为
.故选A.
√
4.[2024·北京101中学高一月考]已知向量， ，且
，则 ( )
A. B.3 C.5 D.
√
[解析] 方法一：因为，所以，解得 ，
则，所以，
.故选A.
方法二：因为，所以，解得 ，
则，故 ，
则 .故选A.
5.已知，，，则 是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
[解析] 根据已知得，， ，
因为，所以是一个钝角，
故 为钝角三角形．故选C.
√
6.已知，，，若点满足，且 ，
则点 的坐标是( )
A. B. C. D.
[解析] 设,则， ，
，.
由题意可得 解得所以点D的坐标为 .故选D.
√
7.[2024·淄博高一期中]已知两个非零向量与的夹角为 ，我们把
数量 叫作向量与的叉乘的模，记作 ，即
.若向量，，则
( )
A. B.10 C. D.2
[解析] 因为向量， ，
所以，
又 ，所以 ，
所以 .故选B.
√
8.（多选题）已知向量， ，下列说法正确的是
( )
A.
B.
C.与向量平行的单位向量是
D.向量在向量上的投影向量为
√
√
[解析] 对于选项A， ，，
所以 ，A正确；
对于选项B，，所以 ，
B错误；
对于选项C，，所以与向量 平行的单位向量
是或 ，C错误；
对于选项D，向量在向量上的投影向量为 ,
，D正确.故选 .
9.（多选题）在中， ，，，点 为边
上靠近的三等分点，为 的中点，则下列结论正确的是
( )
A.
B.与的夹角的余弦值为
C.
D. 的面积为8
√
√
[解析] 对于A，为 的中点，
，A正确；
对于B，以A为坐标原点，, 的方向分别为,轴正方向
建立平面直角坐标系，则 ，，，，
， ， ，
,，即与 的夹角的余弦值
为，B错误；
对于C， ，，
，C正确；
对于D， ，D错误.故选 .
二、填空题
10.[2024·大连高一期末] 设向量, ,若
,则 ____
[解析] 方法一:由,，得 ,根据
，得,解得 .
方法二:由得 ，
所以，
又,,所以 ,解得 .
11.[2024·杭州二中高一期中] 已知向量, ，则与
, 夹角相同的单位向量为______________.
或
[解析] 设与，夹角相同的单位向量 ，
由题意得，解得，
因为，所以或 ，
故与，夹角相同的单位向量为或 .
12.已知在中， ,，是斜边 的
中点，则 ___.
4
[解析] 以为坐标原点，所在直线为轴， 所在
直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得
，，，，
所以 ，， ，
所以 ，
故 .
三、解答题
13.[2024·长郡中学高一月考] 已知，， .
（1）求 ；
解：由题得 ，
则 ，
所以 .
（2）若，求向量与 的夹角.
解：由向量，，可知 .
设与的夹角为 ，，则与的夹角为 ，
因为，，即 ，
所以 ，
可得 ，
所以，可得，即与的夹角为 .
14.已知， .
（1）若，，且，，三点共线，求
的值.
解：因为， ，
所以 ，
，
又，，三点共线，所以 ，
所以，解得 .
（2）当实数为何值时，与 垂直
解：因为 ，
，与 垂直，
所以，解得 .
15.（多选题）在矩形中，，，动点 满足
，， ，则下列说法正确的是
( )
A.若，则 的最小值为4
B.若，则 的面积为定值
C.若，则满足的点 不存在
D.若，，则的面积为
√
√
√
[解析] 以A为坐标原点，,的方向分别为, 轴的正方
向，建立如图所示的平面直角坐标系，则, ,
，所以, ，
因为，所以，故点 的坐标为 .
对于A,因为，所以点的坐标为 ，
所以，所以，
当且仅当 时取等号，所以当时， 取得最小值，最小值为2，
A错误；
对于B，因为，所以点的坐标为，所以点到
边 的距离为4，所以的面积 ，B正确；
对于C，因为，所以点的坐标为，
所以，，
若 ，则，即 ，方程
无实数根，所以满足的点 不存在，C正确；
对于D，因为，，所以点 的坐标为，
所以的面积为，D正确.故选 .
16.已知， .
（1）若与的夹角为钝角，求实数 的取值范围；
解：，， ，
.
令 ，即，
解得，当 时，，
此时与方向相反，夹角为 ，不符合题意，
，故若与的夹角为钝角，则 的取值范围是
.
（2）当时，求 的取值范围.
解： ，
.
令,，易知当时， ，
当时，，故的取值范围为 .6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
【课前预习】
知识点一
x1x2+y1y2 它们对应坐标的乘积的和
诊断分析
√
知识点二
1.x2+y2
2.
诊断分析
(1)√ (2)× [解析] (2)由|a|=|b|得 =,解得x=±2.
知识点三
x1x2+y1y2=0
诊断分析
× [解析] “a⊥b”的充要条件是“x1x2+y1y2=0”.
知识点四
诊断分析
(1)× (2)×
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)C [解析] (1)∵a=(1,2),b=(3, -4),c=(3,2),∴a+2b=(7, -6),∴(a+2b)·c=7×3+(-6)×2=9.故选C.
(2)如图,以C为坐标原点,CB,CA所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,2),B(2,0),D(1,1).因为=3,所以=,所以P,所以=,=,所以·=-×+×=-.故选C.
变式 (1)B (2)1 3 [解析] (1)由向量a=(2,-1),b=(1,-1),可得a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10.故选B.
(2)如图,以A为坐标原点,AD,AB所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,则由题意得P(1,2),Q(2,1),C(2,2),所以=(2,1)-(1,2)=(1,-1),=(2,2)-(1,2)=(1,0),所以·=1×1+(-1)×0=1.设M(2,t)(t∈[0,2]),则=(2,t)-(1,2)=(1,t-2),所以·=1×1+(-1)×(t-2)=3-t,因为t∈[0,2],所以3-t∈[1,3],所以·的最大值为3.
探究点二
例2 (1)A (2)B [解析] (1)方法一:∵a=(0,1),b=(2,-1),∴2a+b=2(0,1)+(2,-1)=(2,1),∴|2a+b|==.故选A.
方法二:∵a=(0,1),b=(2,-1),∴a·b=-1,∴|2a+b|===.故选A.
(2)设b=(-3a,4a),a<0,则|b|==10,可得a=-2,所以b=(6,-8).故选B.
变式 (1)C (2)-2 [解析] (1)∵非零向量a=(4-k,0),b=(6,k+2),且a∥b,∴(4-k)(k+2)=0×6,解得k=4(舍去)或k=-2,∴a=(6,0),∴|a|=6.故选C.
(2)∵|2a+b|=|b|,∴|(5,2m+4)|==5,解得m=-2.
探究点三
例3 解:(1)由题意得|a|==,|b|==2,a·b=1×2+2×(-2)=-2,
∴cos θ===-.
(2)∵2a+b=(4,2),且c⊥(2a+b),
∴c·(2a+b)=0,即4(λ+3)+2=0,解得λ=-.
变式 (1)C (2) [解析] (1)由题得c=(2t+5,12),∵
=,∴cos=cos,∴=,∴=,解得t=.
(2)因为m⊥n,所以m·n=0,即-=cos α-=0,所以cos α=,又因为α∈(0,π),所以α=.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.D [解析] ∵a=(3,-2),b=(-2,1),∴a·b=-6-2=-8.故选D.
2.B [解析] 因为a⊥b,所以a·b=2m-6=0,解得m=3.故选B.
3.A [解析] 由a=(-2,2),b=(1,),得|a|==4,a·b=-2×1+2×=4,所以b在a上的投影向量为a=a=a.故选A.
4.A [解析] 方法一:因为a∥b,所以4x+4=0,解得x=-1,则b=(-1,-2),所以a·b=2×(-1)+4×(-2)=-10,故|a+b|===
=.故选A.
方法二:因为a∥b,所以4x+4=0,解得x=-1,则b=(-1,-2),故a+b=(2,4)+(-1,-2)=(1,2),则|a+b|==.故选A.
5.C [解析] 根据已知得=(1,1),=(-2,1),=(-3,0),因为·=-2+1=-1<0,所以∠BAC是一个钝角,故△ABC为钝角三角形.故选C.
6.D [解析] 设D(x,y),则=(1,-2),=(1,3),=(x-1,y+1),=(x-3,y).由题意可得解得所以点D的坐标为(0,1).故选D.
7.B [解析] 因为向量a=(2,1),b=(-4,3),所以cos θ===-,又θ∈[0,π],所以sin θ==,所以|a×b|=|a||b|sin θ=×5×=10.故选B.
8.AD [解析] 对于选项A,a+b=(3,4),(a+b)·a=3×(-4)+4×3=0,所以(a+b)⊥a,A正确;对于选项B,a-b=(-11,2),所以|a-b|==5,B错误;对于选项C,|a|==5,所以与向量a平行的单位向量是=或-=,C错误;对于选项D,向量a在向量b上的投影向量为|a|cos·=|a|··=·b=·b=-b,D正确.故选AD.
9.AC [解析] 对于A,∵E为CD的中点,∴=(+)==+,A正确;对于B,以A为坐标原点,,的方向分别为x,y轴正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(6,0),C(0,8),D(2,0),E(1,4),∴=(1,4),=(1,-4),∴cos<,>===-,即与的夹角的余弦值为-,B错误;对于C,∵=(1,4),=(2,-8),∴·=1×2+4×(-8)=-30,C正确;对于D,S△AED=×2×4=4,D错误.故选AC.
10.-1 [解析] 方法一:由a=(m,2),b=(2,1),得a+b=(m+2,3),根据|a+b|2=|a|2+|b|2,得(m+2)2+9=m2+22+5,解得m=-1.
方法二:由|a+b|2=|a|2+|b|2得|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2,所以a·b=0,又a=(m,2),b=(2,1),所以a·b=2m+2=0,解得m=-1.
11.(1,0)或(-1,0) [解析] 设与a,b夹角相同的单位向量e=(x,y),由题意得=,解得y=0,因为x2+y2=1,所以x=1或x=-1,故与a,b夹角相同的单位向量为(1,0)或(-1,0).
12.4 [解析] 以C为坐标原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,可得C(0,0),A(2,0),B(0,2),P(1,1),所以=(1,1),=(2,0),=(0,2),所以+=(2,0)+(0,2)=(2,2),故·+·=·(+)=2+2=4.
13.解:(1)由题得a·b=1×(-2)+2×(-4)=-10,则(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=5-40+80=45,
所以|a+2b|=3.
(2)由向量a=(1,2),b=(-2,-4),可知a=-b.
设a与c的夹角为θ,θ∈[0,π],则b与c的夹角为π-θ,
因为|c|=,(a+b)·c=,即a·c+b·c=,
所以|a|·|c|cos θ+|b|·|c|cos(π-θ)=,
可得5cos θ-10cos θ=,
所以cos θ=-,可得θ=,即a与c的夹角为.
14.解: (1)因为a=(1,0),b=(2,1),
所以=2a-b=2(1,0)-(2,1)=(0,-1),=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),
又A,B,C三点共线,所以∥,
所以-1×(2m+1)=0×m,解得m=-.
(2)因为ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),ka-b与a+2b垂直,所以(ka-b)·(a+2b)=(k-2)×5+(-1)×2=0,解得k=.
15.BCD [解析] 以A为坐标原点,,的方向分别为x,y轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,4),所以=(2,0),=(0,4),因为=λ+μ,所以=(2λ,4μ),故点P的坐标为(2λ,4μ).对于A,因为λ=1,所以点P的坐标为(2,4μ),μ∈[0,1],所以=(2,4μ-4),所以||=≥2,当且仅当μ=1时取等号,所以当μ=1时,||取得最小值,最小值为2,A错误;对于B,因为μ=1,所以点P的坐标为(2λ,4),所以点P到边AB的距离为4,所以△ABP的面积S=×2×4=4,B正确;对于C,因为μ=,所以点P的坐标为(2λ,2),所以=(-2λ,-2),=(2-2λ,-2),若⊥,则-4λ+4λ2+4=0,即λ2-λ+1=0,方程λ2-λ+1=0无实数根,所以满足⊥的点P不存在,C正确;对于D,因为λ=,μ=,所以点P的坐标为,所以△ABP的面积为×2×=,D正确.故选BCD.
16.解:(1)∵a=(3,-2),b=(2,1),∴ma+b=(3m+2,-2m+1),a-2b=(-1,-4).令(ma+b)·(a-2b)<0,即-3m-2+8m-4<0,解得m<,当m=-时,ma+b=-a+b,此时a-2b与ma+b方向相反,夹角为180°,不符合题意,∴m≠-,故若ma+b与a-2b的夹角为钝角,
则m的取值范围是∪.
(2)∵a-tb=(3-2t,-2-t),∴|a-tb|==.
令f(t)=5t2-8t+13,t∈[-1,1],易知当t=时,f(t)min=,当t=-1时,f(t)max=26,故|a-tb|的取值范围为.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
【学习目标】
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件,会处理有关长度、角度和垂直等问题.
◆ 知识点一 平面向量数量积的坐标表示
已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= ,即两个向量的数量积等于 .
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
已知a=(-3,4),b=(5,2),则a·b=-7. ( )
◆ 知识点二 向量模的坐标表示
1.若a=(x,y),则|a|2= ,|a|= .
2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则||= .
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若A(1,0),B(0,-1),则||=. ( )
(2)已知向量a=(4,-1),b=(x,3),若|a|=|b|,则x=2.( )
◆ 知识点三 向量垂直的坐标表示
设a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b a·b=0 .
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
若a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则“a⊥b”的充要条件是“x1x2-y1y2=0”. ( )
◆ 知识点四 两个向量的夹角公式的坐标表示
设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示可得cos θ= .
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角. ( )
(2)已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若x1y2-x2y1=0,则向量a与b的夹角为0°. ( )
◆ 探究点一 向量数量积的坐标运算
例1 (1)设a=(1,2),b=(3,-4),c=(3,2),则(a+2b)·c= ( )
A.-11 B.-9
C.9 D.11
(2)已知△ABC是腰长为2的等腰直角三角形,D是斜边AB的中点,点P在CD上,且=3,则·= ( )
A.- B.-
C.- D.2
变式 (1)[2024·厦门双十中学高一期中] 已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)=( )
A.10 B.-10
C.3 D.-3
(2)在正方形ABCD中,AB=2,P为BC的中点,Q为DC的中点,则·= ;若M为CD上的动点(包括端点),则·的最大值为 .
[素养小结]
向量数量积的坐标运算的技巧
(1)进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系式:
①|a|2=a·a.
②(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.
③(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.
(2)在平面几何图形中求数量积,若几何图形是规则的且易建系,则可先建立坐标系,写出相关向量的坐标,再求数量积.
◆ 探究点二 向量模的问题
例2 (1)已知向量a=(0,1),b=(2,-1),则|2a+b|=( )
A. B.5
C.2 D.4
(2)设向量a=(-3,4),向量b与向量a共线且方向相反,若|b|=10,则向量b的坐标为 ( )
A. B.(6,-8)
C. D.(6,8)
变式 (1)[2024·南阳六校高一期中] 已知非零向量a=(4-k,0),b=(6,k+2),若a∥b,则|a|=( )
A.8 B.6
C.6 D.
(2)已知a=(1,m),b=(3,4),且满足|2a+b|=|b|,则实数m的值为 .
[素养小结]
求向量的模的两种基本策略
(1)坐标法:若向量a是以坐标形式出现的,即a=(x,y),则求向量a的模可直接利用公式|a|=.
(2)常规平方法:若向量a,b是以非坐标形式出现的,则先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解.常用的求向量的模的公式:|a|2=a2=a·a,|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2.
◆ 探究点三 向量的夹角和垂直问题
例3 已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(λ+3,1),向量a与向量b的夹角为θ.
(1)求cos θ的值;
(2)若c⊥(2a+b),求实数λ的值.
变式 (1)已知向量a=(5,12),b=(2,0),c=a+tb,若=,则t=( )
A.- B.-
C. D.
(2)已知向量m=,n=,其中α∈(0,π),若m⊥n,则α= .
[素养小结]
1.解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)若题目条件没有涉及向量的坐标,而给出了a·b以及|a||b|,则利用公式cos θ=求出cos θ.
(2)若题目条件涉及向量的坐标,则利用公式cos θ=求出cos θ.
(3)无论是上述哪种类型,由三角函数值cos θ求角θ时,都应注意角θ的取值范围是[0,π].
2.由垂直关系求参数时需要牢记公式,体现了方程思想.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
一、选择题
1.已知a=(3,-2),b=(-2,1),则a·b的值为 ( )
A.-4 B.7
C.-6 D.-8
2.已知向量a=(2,-3),b=(m,2),且a⊥b,则m= ( )
A.-3 B.3
C. D.-
3.[2024·连云港高一期中] 已知向量a=(-2,2),b=(1,),则b在a上的投影向量为 ( )
A.a B.-a
C.-b D.b
4.[2024·北京101中学高一月考] 已知向量a=(2,4),b=(x,-2),且a∥b,则|a+b|= ( )
A. B.3 C.5 D.
5.已知A(2,1),B(3,2),C(0,2),则△ABC是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
6.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0),若点D满足CD⊥AB,且CB∥AD,则点D的坐标是 ( )
A.(1,0) B.(-1,0)
C.(0,-1) D.(0,1)
7.[2024·淄博高一期中] 已知两个非零向量a与b的夹角为θ,我们把数量|a||b|sin θ叫作向量a与b的叉乘a×b的模,记作|a×b|,即|a×b|=|a||b|sin θ.若向量a=(2,1),b=(-4,3),则|a×b|= ( )
A.-10 B.10 C.-2 D.2
8.(多选题)已知向量a=(-4,3),b=(7,1),下列说法正确的是 ( )
A.(a+b)⊥a
B.|a-b|=125
C.与向量a平行的单位向量是
D.向量a在向量b上的投影向量为-b
9.(多选题)在△ABC中,A=90°,AB=6,AC=8,点D为边AB上靠近A的三等分点,E为CD的中点,则下列结论正确的是 ( )
A.=+
B.与的夹角的余弦值为
C.·=-30
D.△AED的面积为8
二、填空题
10.[2024·大连高一期末] 设向量a=(m,2),b=(2,1),若|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=
11.[2024·杭州二中高一期中] 已知向量a=(2,1),b=(2,-1),则与a,b夹角相同的单位向量为 .
12.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,P是斜边AB的中点,则·+·= .
三、解答题
13.[2024·长郡中学高一月考] 已知a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=.
(1)求|a+2b|;
(2)若(a+b)·c=,求向量a与c的夹角.
14.已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)若=2a-b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
(2)当实数k为何值时,ka-b与a+2b垂直
15. (多选题)在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,动点P满足=λ+μ,λ∈[0,1],μ∈[0,1],则下列说法正确的是 ( )
A.若λ=1,则||的最小值为4
B.若μ=1,则△ABP的面积为定值
C.若μ=,则满足⊥的点P不存在
D.若λ=,μ=,则△ABP的面积为
16.已知a=(3,-2),b=(2,1).
(1)若ma+b与a-2b的夹角为钝角,求实数m的取值范围;
(2)当t∈[-1,1]时,求|a-tb|的取值范围.