(共61张PPT)
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
探究点一 向量在几何中的应用
探究点二 向量在物理中的应用
【学习目标】
会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题,以及其他实
际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
知识点一 向量在几何中的应用
1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
（1）建立平面几何与向量的联系，用______表示问题中涉及的几何
元素，将平面几何问题转化为__________；
（2）通过__________，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等
问题；
向量
向量问题
向量运算
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
2.平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由
________________________表示出来.
向量的线性运算及数量积
（1）证明线线平行或三点共线问题，常用向量平行（共线）的条
件： ________ _______________
.
（2）证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件: _________
_______________ .
（3）求夹角问题,主要应用向量的夹角公式 _ ______________
_ ____________ .
（4）求线段的长度或说明线段相等，可以利用向量的模：|
_______________或
_______________________ .
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若为直角三角形，则 .( )
×
[解析] 哪个角是直角不确定.
（2）若向量，则 .( )
×
[解析] 和 可能在同一条直线上.
（3）在四边形中，若， ，则四边形
为菱形．( )
√
知识点二 向量在物理中的应用
1.向量有着丰富的物理背景,如物理学中的力、速度、加速度都是
__________________的量.力的做功是向量数量积的物理背景;向量加
法的____________________法则与位移的合成、力的合成、速度的
合成有着密切的联系.
既有大小又有方向
三角形和平行四边形
2.用向量法解决物理问题的一般步骤:
①问题的转化:把物理问题转化成数学问题.
②模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
③参数的获取:求出数学模型的相关解.
④问题的答案:利用建立起来的数学模型,解释和回答相关的物理现象.
【诊断分析】用向量法求解物理问题的过程中,在给出答案时除了要
考虑向量本身的意义,还要考虑什么
解：还要考虑所给出的结果是否符合实际意义.
探究点一 向量在几何中的应用
角度1 平行（共线）问题
例1 已知在中, ,, .
（1）若为斜边的中点,求证: ;
证明:以为坐标原点,以边, 所在的直线分别
为轴、 轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则,
为的中点, ,
, ,则, ,
,即 .
（2）若为的中点,连接并延长交于点,求 的长度
（用, 表示）.
解：为的中点,,.
设 ,则 .
,,三点共线, 可设 ,
即,则 , ,故,,
,则 ,
,即 .
变式 已知平面四边形的四条边，，， 的中点依次
为，，，，且，则四边形 的形
状一定为( )
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.直角梯形
√
[解析] 连接，由题意结合中位线定理可得， ，
，，所以，，所以四边形
为平行四边形.
连接，因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以，所以 ，
即，则，所以，
又 ，所以，
同理，由中位线定理可得，所以 ，故四边形 为矩形.故选C.
角度2 垂直问题
例2 在直角梯形中，， ，
，求证： .
证明：方法一: ， ，，
可设 ，，则， ,
，
，
则， ，即 .
方法二：如图，以 为坐标原点，建立平面
直角坐标系，
设，则，， ，
， ，
，
，即 .
变式 点在 所在的平面内，若
，则为 的( )
A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心
√
[解析] 分别取的中点D，的中点 ，作出
直线， ，如图所示，
则， ，
由得 ，
所以，所以垂直平分线段 .
由得,所以，
所以 垂直平分线段，所以点为 的外心.故选D.
［素养小结］
利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、长度等问
题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一
个基底，利用基底表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求
出题目中涉及的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几
何命题的证明.
探究点二 向量在物理中的应用
例3 已知力（斜向上）与水平方向的夹角为 ，大小为 ，一
个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数 的水平面上
运动了.问力和摩擦力所做的功分别为多少？（重力加速度
取 ）.
将力 分解，它在铅垂方向上的分力 的大小为
，
所以摩擦力 的大小为，
则摩擦力 所做的功
故力 和摩擦力所做的功分别为和 .
解：如图所示，设木块的位移为 ，则力 所做的功
变式 一条东西方向的河流两岸平行，河的宽度为 ，水流的
速度为向东.一艘小货船准备从河南岸的码头 处出发，航行
到位于河对岸与河的方向垂直的正西方向并且与相距
的码头 处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小
为 ，当小货船的航程最短时，求小货船航行的速度的大小.
解：由题意，当小货船的航程最短时，航行路线为线段 ，
设小货船的航行速度为，水流的速度为 ，
水流的速度与小货船航行的速度的合速度为
，则 ，如图所示.
由题意得,，
在 中，因为 ，
所以,所以,则, ，
又 ，所以
，
所以小货船航行的速度的大小为 .
［素养小结］
利用向量法解决物理问题有两种思路
（1）几何法：选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利
用向量运算法则、运算律或性质计算．
（2）坐标法：通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化
为代数运算．
1.用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因此，
用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运
算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作．
2.向量在平面几何中的应用
（1）对于平面向量在平面几何中的应用，主要是利用平面向量解决
平行、垂直、线段长度等问题，经常将上面的问题通过平面向量转
化为解决向量平行、共线，向量数量积为0，向量模长等问题.既可以
利用基底解决，也可以建立平面直角坐标系利用平面向量的坐标运
算来解决.
（2）向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向
量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算
的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向
量 向量的运算 向量和数到形”.
3.向量在物理中的应用
（1）物理问题中常见的向量有位移、力等.
（2）向量的加减法运算体现在合力与分力.
（3）功是力与位移的数量积.
1.平面向量在几何中的应用体现在各方面，主要与常见的三角形、四
边形等结合，利用平面向量基本定理、共线定理、数量积等解决问题.
例1 如图，在中，, ,
,是边的中点，,与 交
于点 .
（1）求和 的长度；
解：，，在 中，, ，
.
是中线， ，
，
，, .
（2）求 .
解：方法一：, ，
，
，
, .
方法二：如图，过作交于 ，
是的中点，是的中点，
又 ,
,是的中位线，是 的中位线，
, ，
.
2.平面向量与物理的结合在数学看来是一种学科间知识的交汇,是一
种综合,是一种实际应用.一般涉及力或速度的合成与分解,充分借助向
量的平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题,同时正确作图,
才能使问题更为直观.
向量的数量积在物理中的应用的注意点
（1）物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积．
（2）用向量的数量积解决物理中的问题时，要根据题意把物理问题
转化为向量的数量积问题，计算数量积时要注意两个向量的大小和
夹角．
例2 两个力， 作用于同一质点，使该质点从
点移动到点 .求：
（1）， 分别对该质点做的功；
解： .
对该质点做的功 .
对该质点做的功 .
（2），的合力 对该质点做的功.
解： ，
故对该质点做的功 .
练习册
一、选择题
1.某人在无风条件下骑自行车的速度为 ，此时风速为
，则他顺风行驶时的速度的大小为( )
A. B. C. D.
[解析] 他顺风行驶时的速度的大小为 .
√
2.已知三个力，， 同时作用于
某质点，为使质点保持平衡，再加上一个力，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由物理知识知 ，
故 ．
√
3.在四边形中，若， ，则该四边形的面
积为( )
A. B. C.5 D.10
[解析] ，， 四边形 的面积
.
√
4.在四边形中，若，且 ，
则该四边形是( )
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形
[解析] 因为 ，所以 ，
即 ，整理可得
，易知，均为非零向量，则 ，
因为，所以且，
所以四边形 为矩形.故选C.
√
5.[2024·绍兴高一期末]如图为某种礼物降落伞的示
意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平
面的法向量的夹角均为 .已知礼物的质量为 ，
每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的
过程中每根绳子的拉力大小最接近（重力加速度
取， ）( )
A. B. C. D.
[解析] 设每根绳子的拉力大小为，礼物的质量为 ，则根据题意可
得,解得 ，所以降落伞在匀速
下落的过程中每根绳子的拉力大小最接近 .故选A.
√
6.已知锐角三角形的外接圆的圆心为，半径为 ，且
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以，所以，所以 .故选A.
√
7.平面内及一点满足，，则点 是
的( )
A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心
√
[解析] 由平面内及一点满足 ，可得
，所以在的平分线上，
又由 ，可得，
所以在的平分线上，则点 是 的内心，故选C.
8.（多选题）已知是四边形 内一点，若
，则下列结论错误的是( )
A.四边形为正方形，点是正方形 的中心
B.四边形为一般四边形，点是四边形 的对角线交点
C.四边形为一般四边形，点是四边形 的外接圆的圆心
D.四边形为一般四边形，点是四边形 对边中点连线的
交点
√
√
√
[解析] 对于A，若四边形为正方形，点是正方形 的中心，
则必有 ，但反过来，由
推不出四边形 为正方形，故A中结论错误.
对于B，C，D，设，的中点分别为，，连接， ，
由向量加法的平行四边形法则知 ，，
，即是 的中点；
同理，设，的中点分别为，，连接， ，
由向量加法的平行四边形法则知，，
即是 的中点. 所以是， 的交点，故B，C中结论错误，
D中结论正确.故选 .
9.（多选题）一船从两平行河岸的一岸驶向另一岸，下列说法正确的
是( )
A.船垂直到达对岸所用时间最少
B.当船速 的方向与河岸垂直时用时最少
C.沿任意直线航行到达对岸的时间都一样
D.船垂直到达对岸时航行的距离最短
√
√
[解析] 设水流速度的大小为，船实际速度的大小为 ，两岸间
的垂直距离为，船垂直到达对岸时， ，则所用
时间，
当船速的方向与河岸垂直时，所用时间 ，
， 当船速 的方向与河岸垂直时，用时最少，且沿不
同直线航行到达对岸的时间不相同，故A,C错误；B正确.
对于D，船垂直到达对岸时，航行的距离为两岸间的垂直距离，
此时距离最短，D正确.故选 .
二、填空题
10.已知，是圆心为，半径为的圆上的两点，若 ，
则 ____.
[解析] 由，可知为等边三角形，所以 ，
故 .
11.冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的
集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力 作用
于冰球，使冰球从点移动到点，则对冰球所做的
功为____.
17
[解析] 因为，，所以，又 ，所
以对冰球所做的功,
.
12.[2024·浙南名校高一期中] 在中，是 边上的一点，且
平分，若，，，，则
_________.（用向量， 表示）
[解析] 平分，， ,
又， .
三、解答题
13.如图，在平行四边形中，， 是对角
线上的两点，且 试用向量
方法证明四边形 是平行四边形．
证明：设，，则 .
因为 ，
，
所以.又,,, 四点不共线，所以四边形 是平行四边形．
14.如图所示，一条河南北两岸平行，河面宽度为
，一艘游船从南岸码头 点出发航行到北岸.
游船在静水中的航行速度是，水流速度 的大
小为.设和 的夹角为
，北岸上的点在点 的正北方
向.
（1）若游船沿到达北岸点所需时间为 ，
求的大小和 的值.
解：设游船的实际速度为 .
由,，得 ，由题知
.
如图①所示，由 ，
得 ，则 ，
所以的大小为, 的值为 .
（2）当 , 时，游船航行到北岸的实际航程是
多少？
解： 当 , 时，设游船到达北
岸点所用时间为 ，如图②所示，
则，所以 .
在中，由，得 ，
因此 ，故游船的实际航程为 .
15.已知及其内部一点 满足关系式
，记的内角， ，
的对边分别为，，，若，则 为
的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
√
[解析] 设点到，，的距离分别为，， ，则
，， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
又，所以，
所以为 的内心.故选B.
16.如图所示为一段环形跑道，中间的两
段， 为直跑道，且
，两端均为半径为
的半圆形跑道，以，，， 四点为顶
点的四边形是矩形.甲、乙两人同时从
的中点处开始以的速率逆向跑步，甲、乙相对于初始位置点 的
位移分别用向量， 表示.
（1）当甲到达的中点处时，求 ；
解:如图，以点为坐标原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐
标系，当甲到达的中点时，乙到达的中点，则 ，
，， ，
.
（2）求后， 的夹角的余弦值
（ 取3）.
解:和的长度均为， 后甲、乙的路程均为
，易知此时甲在点 处， 乙在点处 ，
，.
设， 的夹角为 ，则，
故 后，的夹角的余弦值为 .6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
【课前预习】
知识点一
1.(1)向量 向量问题 (2)向量运算
2.向量的线性运算及数量积 (1)a=λb x1y2-x2y1=0 (2)a·b=0 x1x2+y1y2=0
(3)(|a||b|≠0)
(4)
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)哪个角是直角不确定.
(2)AB和CD可能在同一条直线上.
知识点二
1.既有大小又有方向 三角形和平行四边形
诊断分析
解:还要考虑所给出的结果是否符合实际意义.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,
则A(0,m),B(n,0).∵D为AB的中点,∴D,
∴=(n,-m),=,
则||=,||=,
∴||=||,即CD=AB.
(2)∵E为CD的中点,∴E,∴=.设F(x,0),则=(x,-m).
∵A,E,F三点共线,∴可设=λ,
即(x,-m)=λ,则x=λ,-m=-mλ,
故λ=,x=,∴F,则=,
∴||=,即AF=.
变式 C [解析] 连接AC,由题意结合中位线定理可得HG∥AC,HG=AC,EF∥AC,EF=AC,所以HG∥EF,HG=EF,所以四边形EFGH为平行四边形.连接BD,因为=++,所以+=+=+(++)2=++++2·+2·+2·,所以+·+·+·=0,所以·(+)+·(+)=0,所以(+)·=0,即·=0,则⊥,所以BD⊥AC,又HG∥AC,所以BD⊥HG,同理,由中位线定理可得HE∥BD,所以HE⊥HG,故四边形EFGH为矩形.故选C.
例2 证明:方法一:∵∠CDA=90°,AB∥CD,CD=DA=AB,∴可设=e1,=e2,则|e1|=|e2|,=2e2,=+=e1+e2,∴=-=(e1+e2)-2e2=e1-e2,
则·=(e1+e2)·(e1-e2)=-=|e1|2-|e2|2=0,∴⊥,即AC⊥BC.
方法二:如图,以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,
设CD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),∴=(-1,1),=(1,1),
∴·=(-1,1)·(1,1)=-1+1=0,
∴⊥,即AC⊥BC.
变式 D [解析] 分别取AB的中点D,BC的中点E,作出直线OD,OE,如图所示,则+=2,+=2,由(+)·=0得2·=0,所以OD⊥AB,所以OD垂直平分线段AB.由(+)·=0得2·=0,所以OE⊥BC,所以OE垂直平分线段BC,所以点O为△ABC的外心.故选D.
探究点二
例3 解:如图所示,设木块的位移为s,
则力F所做的功WF=F·s=
|F||s|cos 30°=50×20×=500(J).将力F分解,它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin 30°=50×=25(N),所以摩擦力f的大小为|f|=μ(|G|-|F1|)=(80-25)×0.02=1.1(N),则摩擦力f所做的功Wf=f·s=|f||s|cos 180°=1.1×20×(-1)=-22(J).故力F和摩擦力f所做的功分别为500 J和-22 J.
变式 解:由题意,当小货船的航程最短时,航行路线为线段AC,
设小货船的航行速度为v,水流的速度为v1,水流的速度与小货船航行的速度的合速度为v2,则v2=v1+v,如图所示.
由题意得AB=250 m,BC=250 m,在Rt△ABC中,因为tan∠BCA===,所以∠BCA=,所以∠BAC=,则=+=,又v=v2-v1,
所以|v|====2,
所以小货船航行的速度的大小为2 km/h.6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
1.D [解析] 他顺风行驶时的速度的大小为|v1|+|v2|.
2.D [解析] 由物理知识知F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=(1,2).
3.C [解析] ∵·=0,∴AC⊥BD,∴四边形ABCD的面积S=||||=××2=5.
4.C [解析] 因为|-|=|+|,所以(-)2=(+)2,即+-2·=++2·,整理可得·=0,易知,均为非零向量,则⊥,因为+=0,所以AB∥CD且||=||,所以四边形ABCD为矩形.故选C.
5.A [解析] 设每根绳子的拉力大小为T,礼物的质量为m,则根据题意可得8T·cos 30°=mg,解得T==≈1.41,所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子的拉力大小最接近1.4 N.故选A.
6.A [解析] 因为·=||·||·cos∠BOC=2cos∠BOC=-1,所以cos∠BOC=-,所以∠BOC=,所以A=.故选A.
7.C [解析] 由平面内△ABC及一点O满足=,可得·=0,所以O在∠CAB的平分线上,又由=,可得·=0,所以O在∠ACB的平分线上,则点O是△ABC的内心,故选C.
8.ABC [解析] 对于A,若四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心,则必有+++=0,但反过来,由+++=0推不出四边形ABCD为正方形,故A中结论错误.对于B,C,D,设AB,CD的中点分别为E,F,连接OE,OF,由向量加法的平行四边形法则知+=2,+=2,∴+=0,即O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,连接OM,ON,由向量加法的平行四边形法则知+=2,+=2,即O是MN的中点.所以O是EF,MN的交点,故B,C中结论错误,D中结论正确.故选ABC.
9.BD [解析] 设水流速度的大小为|v1|,船实际速度的大小为|v2|,两岸间的垂直距离为s,船垂直到达对岸时,|v2|=,则所用时间t=,当船速v的方向与河岸垂直时,所用时间t=,∵|v|≥|v2|,∴当船速v的方向与河岸垂直时,用时最少,且沿不同直线航行到达对岸的时间不相同,故A,C错误;B正确.对于D,船垂直到达对岸时,航行的距离为两岸间的垂直距离,此时距离最短,D正确.故选BD.
10.- [解析] 由||=,可知△ABC为等边三角形,所以∠ACB=60°,故·=-·=-||·||·cos∠ACB=-.
11.17 [解析] 因为A(-1,-2),B(1,1),所以=(2,3),又F=(4,3),所以F对冰球所做的功W=|F|||cos=F·=2×4+3×3=17.
12.b-a [解析] ∵CD平分∠ACB,∴==2,∴=,又=-=b-a,∴=b-a.
13.证明:设=a,=b,则=a+b.因为=-=-a=b-a,=-=b-=b-a,所以=.又D,E,F,B四点不共线,所以四边形DEBF是平行四边形.
14.解:设游船的实际速度为v.
(1)由AA'=1 km,6 min =0.1 h,得|v|=10 km/h,由题知|v2|=4 km/h.
如图①所示,由|v1|2=|v|2+|v2|2=102+42=116,得|v1|=2 km/h,则cos θ=-=-,
所以v1的大小为2 km/h,cos θ的值为-.
(2)当θ=60°,|v1|=10 km/h时,设游船到达北岸B点所用时间为t h,如图②所示,
则=|tv|2=t2(v1+v2)2=t2(102+42+2×10×4×cos 60°)=156t2,所以||=2t km.
在Rt△AA'C中,由t|v1|cos 30°=1,得t= h,
因此||=×2=(km),
故游船的实际航程为 km.
15.B [解析] 设点O到AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,则S△OBC=a·h2,S△OAC=b·h3,S△OAB=c·h1,因为S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0,所以a·h2·+b·h3·+c·h1·=0,即a·h2·+b·h3·+c·h1·=0,又a·+b·+c·=0,所以h1=h2=h3,所以O为△ABC的内心.故选B.
16.解:(1)如图,以点O为坐标原点,CD所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,当甲到达的中点E时,乙到达的中点F,则E(-80,30),F(80,30),s甲==(-80,30),s乙==(80,30),∴s甲·s乙=(-80,30)·(80,30)=-6400+900=-5500.
(2)和的长度均为π×30=90(m),20 s后甲、乙的路程均为20×7=140(m),易知此时甲在点A处,乙在点B处,∴s甲==(-50,60),s乙==(50,60).设s甲,s乙的夹角为θ,则cos θ===,故20 s后s甲,s乙的夹角的余弦值为.6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
【学习目标】
会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题,以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
◆ 知识点一 向量在几何中的应用
1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系,用 表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为 ;
(2)通过 ,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
2.平面几何图形的许多性质,如全等、相似、长度、夹角等都可以由 表示出来.
(1)证明线线平行或三点共线问题,常用向量平行(共线)的条件:a∥b(b≠0) (λ∈R) (a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
(2)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件:a⊥b (a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
(3)求夹角问题,主要应用向量的夹角公式cos θ= = (a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
(4)求线段的长度或说明线段相等,可以利用向量的模:|a|= = (a=(x,y))或|AB|=||= (A(x1,y1),B(x2,y2)).
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若△ABC为直角三角形,则·=0. ( )
(2)若向量∥,则AB∥CD. ( )
(3)在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形ABCD为菱形. ( )
◆ 知识点二 向量在物理中的应用
1.向量有着丰富的物理背景,如物理学中的力、速度、加速度都是 的量.力的做功是向量数量积的物理背景;向量加法的 法则与位移的合成、力的合成、速度的合成有着密切的联系.
2.用向量法解决物理问题的一般步骤:
①问题的转化:把物理问题转化成数学问题.
②模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
③参数的获取:求出数学模型的相关解.
④问题的答案:利用建立起来的数学模型,解释和回答相关的物理现象.
【诊断分析】 用向量法求解物理问题的过程中,在给出答案时除了要考虑向量本身的意义,还要考虑什么
◆ 探究点一 向量在几何中的应用
角度1 平行(共线)问题
例1 已知在Rt△ABC中,C=90°,AC=m,BC=n.
(1)若D为斜边AB的中点,求证:CD=AB;
(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于点F,求AF的长度(用m,n表示).
变式 已知平面四边形ABCD的四条边AB,BC,CD,DA的中点依次为E,F,G,H,且AB2+CD2=AD2+BC2,则四边形EFGH的形状一定为 ( )
A.正方形 B.菱形
C.矩形 D.直角梯形
角度2 垂直问题
例2 在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=90°,CD=DA=AB,求证:AC⊥BC.
变式 点O在△ABC所在的平面内,若(+)·=(+)·=0,则O为△ABC的 ( )
A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心
[素养小结]
利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、长度等问题.利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一个基底,利用基底表示涉及的向量;另一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.
◆ 探究点二 向量在物理中的应用
例3 已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°,大小为50 N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平面上运动了20 m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少 (重力加速度g取10 m/s2).
变式 一条东西方向的河流两岸平行,河的宽度为250 m,水流的速度为向东2 km/h.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发,航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距250 m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6 km/h,当小货船的航程最短时,求小货船航行的速度的大小.
[素养小结]
利用向量法解决物理问题有两种思路
(1)几何法:选取适当的基底,将题中涉及的向量用基底表示,利用向量运算法则、运算律或性质计算.
(2)坐标法:通过建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,转化为代数运算.6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
一、选择题
1.某人在无风条件下骑自行车的速度为v1,此时风速为v2(|v1|>|v2|),则他顺风行驶时的速度的大小为 ( )
A.v1-v2 B.v1+v2
C.|v1|-|v2| D.|v1|+|v2|
2.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某质点,为使质点保持平衡,再加上一个力F4,则F4= ( )
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
3.在四边形ABCD中,若=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为 ( )
A. B.2
C.5 D.10
4.在四边形ABCD中,若+=0,且|-|=|+|,则该四边形是 ( )
A.正方形 B.菱形
C.矩形 D.等腰梯形
5.[2024·绍兴高一期末] 如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg,每根绳子的拉力大小相同,则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子的拉力大小最接近(重力加速度g取9.8 m/s2,≈1.732) ( )
A.1.4 N B.1.5 N
C.1.6 N D.1.8 N
6.已知锐角三角形ABC的外接圆的圆心为O,半径为,且·=-1,则A= ( )
A. B.
C. D.
7.平面内△ABC及一点O满足=,=,则点O是△ABC的 ( )
A.重心 B.垂心
C.内心 D.外心
8.(多选题)已知O是四边形ABCD内一点,若+++=0,则下列结论错误的是 ( )
A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心
B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点
C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心
D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点
9.(多选题)一船从两平行河岸的一岸驶向另一岸,下列说法正确的是 ( )
A.船垂直到达对岸所用时间最少
B.当船速v的方向与河岸垂直时用时最少
C.沿任意直线航行到达对岸的时间都一样
D.船垂直到达对岸时航行的距离最短
二、填空题
10.已知A,B是圆心为C,半径为的圆上的两点,若||=,则·= .
11.冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中,以力F=(4,3)作用于冰球,使冰球从点A(-1,-2)移动到点B(1,1),则F对冰球所做的功为 .
12.[2024·浙南名校高一期中] 在△ABC中,D是AB边上的一点,且CD平分∠ACB,若=a,=b,|b|=2,|a|=1,则= .(用向量a,b表示)
三、解答题
13.如图,在平行四边形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=FC=AC.试用向量方法证明四边形DEBF是平行四边形.
14.如图所示,一条河南北两岸平行,河面宽度为1 km,一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是v1,水流速度v2的大小为|v2|=4 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°),北岸上的点A'在点A的正北方向.
(1)若游船沿AA'到达北岸A'点所需时间为6 min ,求v1的大小和cos θ的值.
(2)当θ=60°,|v1|=10 km/h时,游船航行到北岸的实际航程是多少
15.已知△ABC及其内部一点O满足关系式S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0,记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a·+b·+c·=0,则O为△ABC的 ( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
16.如图所示为一段环形跑道,中间的两段AB,CD为直跑道,且AB=CD=100 m,两端均为半径为30 m的半圆形跑道,以A,B,C,D四点为顶点的四边形是矩形.甲、乙两人同时从CD的中点O处开始以7 m/s的速率逆向跑步,甲、乙相对于初始位置点O的位移分别用向量s甲,s乙表示.
(1)当甲到达的中点处时,求s甲·s乙;
(2)求20 s后s甲,s乙的夹角的余弦值(π取3).
