习题课 平面向量数量积的综合应用
例1 解:(1)因为在菱形ABCD中,=,=3,
所以=+=-,
故x=-,y=,所以3x+2y=-.
(2)·=(+)·=-+-·,
在菱形ABCD中,因为||=6,∠BAD=60°,
所以||=6,<,>=60°,
所以·=6×6×cos 60°=18,
故·=-×62+×62-×18=-.
变式 (1)6 [解析] 取BC边的中点D,连接PD,因为·=(+)·(+)=(+)·(-)=-=-,所以·+=+≥2||·||,当且仅当||=||时取等号,设点A到BC边的距离为h,则||·||≥h||=3,当且仅当PD⊥BC时取等号,所以·+的最小值为6.
(2)解:以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,因为AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2,CD=AD=1,
所以A(0,0),B(2,0),D(0,1),C(1,1),
设=λ,0≤λ≤1,则=λ(-2,1),所以M(2-2λ,λ),所以=(2-2λ,λ),=(1-2λ,λ-1),
所以·=(2-2λ,λ)·(1-2λ,λ-1)=5λ2-7λ+2=5-,
故当λ=时,·取得最小值-.
例2 (1)A (2)D [解析] (1)如图,作=a,=b,OA⊥OB,延长OB至点C,使OB=BC,以OA,OC为邻边作矩形OCDA,则=2b,=a-2b,∠ACD即为a-2b与a的夹角,易知cos∠ACD==,则向量a-2b在向量a上的投影向量为|a-2b|cos∠ACD·=a.
(2)如图,作=a,=c,=b或=b.由a·c=得cos∠COA=,又∠COA∈[0,π],所以∠COA=.当=b时,由a·b=得cos∠BOA=,又∠BOA∈[0,π],所以∠BOA=,所以∠BOC=,此时b,c的夹角为,所以b·c=|b|·|c|cos=;当=b时,由a·b=得cos∠DOA=,又∠DOA∈[0,π],所以∠DOA=,此时b,c的夹角为,所以b·c=|b|·|c|cos=0.综上,b·c=或0.故选D.
变式 D [解析] ∵|+-2|=|-+-|=|+|,|-|=||=|-|,
∴|+|=|-|,∴|+|2=,即||2+||2+2·=||2+||2-2·,故·=0,∴⊥,故△ABC为直角三角形.∵AB不一定等于AC,∴△ABC不一定为等腰直角三角形.故选D.
例3 解:(1)依题意,f(α)=a·b=1×sin α+1×sin β=sin α+sin β,又α+β=且α>0,β>0,所以α∈,且β=-α,
所以f(α)=sin α+sin=sin α+sincos α-cossin α=sin α+cos α==sin,所以f(α)=sin,α∈.
(2)由(1)得f(α)=sin,α∈,则α+∈,所以sin∈,
则f(α)∈.
令<α+≤,解得0<α≤,所以f(α)的单调递增区间为;令≤α+<,解得≤α<,
所以f(α)的单调递减区间为.
f(α)max=f=,f(α)没有最小值.
变式 解:(1)因为向量a=(2cos θ,sin θ),b=(1,-2),a∥b,
所以sin θ=-4cos θ,所以tan θ=-4,则==2.
(2)因为θ=90°,所以a=(0,1),
则a·b=-2,所以向量a在向量b上的投影向量为|a|··=.习题课 平面向量数量积的综合应用
1.D [解析] 由题意可知||=|+|,所以|-|=|+|,两边平方得-2·+=+2·+,所以·=0,故⊥,则△ABC为直角三角形.故选D.
2.AC [解析] 设=a,=b,则|a|=4,|b|=2,a·b=4×2×cos 60°=4.对于A,=+=+=+,故A正确;对于B,由A选项可得=a+b,则==a2+a·b+b2=×16+4+4=12,所以||=2,故B错误;对于C,因为=a+b,=-=-a+b,所以·=·(-a+b)=-a2-a·b+b2=-×16-×4+4=-6,故C正确;对于D,在上的投影向量为·==,故D错误.故选AC.
3. [解析] 连接OC,则||=||=||=1,设∠AOC=θ,则∠BOC=-θ,所以·=(-)·(-)=·-·-·+=1×1×cos-1×1×cos θ-1×1×cos+1=-cos θ-cos=-cos θ-sin θ=-cos.因为θ∈,所以θ-∈,所以cos∈,故·=-cos∈.
4.[-2,2] [解析] 由a·b-(a-b)·c-1=0,得a·b-1=(a-b)·c=|a-b||c|cos
,则|a·b-1|=|a-b||cos|≤|a-b|,当且仅当a-b,c共线时取等号,两边平方得(a·b)2-2a·b+1≤a2+b2-2a·b,即(a·b)2+1≤32+22,解得-2≤a·b≤2,所以a·b的取值范围是[-2,2].
5.解:(1)∵=a,=b,D是CB的中点,
∴=2b,∴=-=2b-a,
∴=+=a+=a+(2b-a)=a+b.
(2)证明:如图,以点C为坐标原点,以CB,CA所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系.
设A(0,a),则B(a,0),C(0,0),D.
设E(x,y),∵=2,∴(x,y-a)=2(a-x,-y),则∴即E,
∴=,=,∴·=×+(-a)×=0,∴⊥,故AD⊥CE.
6.解:(1)设=t,则=+=+t=+t(-)=(1-t)+t=+t.
设=μ=μ=μ+.
根据平面向量基本定理得解得t=,
所以=+,则x=,y=,所以xy=.
(2)因为=++=(λ-1)+,
=+=λ+,
·=||·||cos∠BAD=3×2×=2,
所以·=(λ2-λ)++·=4(λ2-λ)++3λ-1=4λ2-λ+.
因为λ∈[0,1],所以当λ=-=时,·取得最小值,最小值为,当λ=1时,·取得最大值,最大值为,故·的取值范围为.习题课 平面向量数量积的综合应用
平面向量的数量积常常利用基底法、坐标法、构图法与三角形、圆或三角计算结合来解决一些范围、垂直、角度等相关问题.
◆ 探究点一 平面向量数量积与平面向量基本定理
例1 [2024·杭州西湖高级中学高一期中] 如图,在菱形ABCD中,=,=3.
(1)若=x+y,求3x+2y的值;
(2)若||=6,∠BAD=60°,求·.
变式 (1)在面积为3的△ABC中,E,F分别为边AB,AC的中点,点P在直线EF上,则·+的最小值为 .
(2)在梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2,CD=AD=1,若点M在线段BD上,求·的最小值.
◆ 探究点二 平面向量数量积与垂直、角度问题
例2 (1)已知向量a,b满足|a|=1,a⊥b,则向量a-2b在向量a上的投影向量为 ( )
A.a B.a C.-a D.a
(2)已知平面内的三个单位向量a,b,c满足a·b=,a·c=,则b·c= ( )
A.0 B. C. D.或0
变式 若O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状一定为 ( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
◆ 探究点三 平面向量数量积与三角函数的综合问题
例3 已知向量a=(sin α,1),b=(1,sin β),α>0,β>0,α+β=,f(α)=a·b.
(1)求f(α)的解析式;
(2)求f(α)的单调区间及最值.
变式 [2024·广东珠海高一期中] 已知向量a=(2cos θ,sin θ),b=(1,-2).
(1)若a∥b,求的值;
(2)若θ=90°,求向量a在向量b上的投影向量.习题课 平面向量数量积的综合应用
1.[2024·广东佛山高一期中] 在△ABC中,若||=|+|,则△ABC为 ( )
A.等腰直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
2.(多选题)[2024·江苏扬州高一期中] 在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠BAD=60°,E是CD的中点,则 ( )
A.=+
B.||=12
C.·=-6
D.在上的投影向量为
3.如图,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,||=||=1,<,>=,则·的取值范围是 .
4.[2024·山西忻州高一期中] 已知向量a,b,c满足|a|=3,|b|=2,|c|=1,且a·b-(a-b)·c-1=0,则a·b的取值范围是 .
5.已知在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是CB的中点,E为AB上一点.
(1)设=a,=b,当=时,试用a,b表示,;
(2)当=2时,求证:AD⊥CE.
6.[2024·辽宁本溪高一期中] 在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=3,cos∠BAD=,=,=λ,λ∈[0,1].
(1)若λ=,AE与BF交于点N,=x+y,求xy的值;
(2)求·的取值范围.(共30张PPT)
习题课 平面向量数量积的综合应用
探究点一 平面向量数量积与平面向量基
本定理
探究点二 平面向量数量积与垂直、角度
问题
探究点三 平面向量数量积与三角函数的
综合问题
平面向量的数量积常常利用基底法、坐标法、构图法与三角形、
圆或三角计算结合来解决一些范围、垂直、角度等相关问题.
解：因为在菱形中，, ，
所以 ，
探究点一 平面向量数量积与平面向量基本定理
例1 [2024·杭州西湖高级中学高一期中] 如图，在菱形 中，
, .
（1）若，求 的值；
故,，所以 .
（2）若, ，求 .
解： ，
在菱形中，因为, ，
所以，, ，
所以 ，
故 .
变式（1） 在面积为3的中，，分别为边， 的中点，
点在直线上，则 的最小值为___.
6
[解析] 取边的中点，连接 ，
因为 ，
所以，当且仅当 时取等号，
设点到边的距离为，则 ，
当且仅当时取等号，所以 的最小值为6.
（2）在梯形中，， ， ，
，若点在线段上，求 的最小值.
解：以 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为， ， ， ，
所以，，， ，
设,，则，所以 ，
所以, ，
所以 ，故当时，取得最小值 .
探究点二 平面向量数量积与垂直、角度问题
例2（1） 已知向量，满足，，则向量 在向量
上的投影向量为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，作， ，，延长至点C，
使 ，以，为邻边作矩形，
则 ，，即为与 的夹角，
易知 ，
则向量在向量 上的投影向量为 .
（2）已知平面内的三个单位向量，，满足， ，
则 ( )
A.0 B. C. D. 或0
√
[解析] 如图，作，，或.
由 得，又，所以.
当 时，由得，又，
所以 ，所以，此时，的夹角为，
所以 ；
当时，由得，又 ，
所以，此时，的夹角为，所以 .
综上， 或0.故选D.
变式 若是 所在平面内的一点，且满足
，则 的形状一定为( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
√
[解析] ，
，
， ，
即 ，
故，
，故为直角三角形.
不一定等于， 不一定为等腰直角三角形.故选D.
探究点三 平面向量数量积与三角函数的综合问题
例3 已知向量,,,, ，
.
（1）求 的解析式；
解：依题意， ，
又且，，所以，且 ，
所以 ，
所以， .
（2）求 的单调区间及最值.
解：由（1）得，，则 ，
所以 ，则 .
令，解得，所以的单调递增区间为 ；
令，解得 ，
所以的单调递减区间为 .
， 没有最小值.
变式 [2024·广东珠海高一期中] 已知向量 ，
.
（1）若，求 的值；
解：因为向量，， ，
所以 ，所以 ，
则 .
（2）若 ，求向量在向量 上的投影向量.
解：因为 ，所以 ，则，
所以向量在向量 上的投影向量为 .
练习册
1.[2024·广东佛山高一期中]在中，若 ，则
为( )
A.等腰直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
[解析] 由题意可知，所以 ，
两边平方得 ，所以
，故，则 为直角三角形.故选D.
√
2.（多选题）[2024·江苏扬州高一期中] 在平行四边形 中，
,, ,是 的中点，则( )
A.
B.
C.
D.在上的投影向量为
√
√
[解析] 设,,则, , .
对于A， ,故A正确；
对于B，由A选项可得 ，则
，所以
，故B错误；
对于C，因为 ， ，所以 ,故C正确；
对于D，在 上的投影向量为,故D错误.故选 .
3.如图，点在以为圆心的圆弧上运动，， ,
，则 的取值范围是________.
[解析] 连接，则 ，
设，则 ，
所以 .
因为，所以 ，所以
，
故 .
4.[2024·山西忻州高一期中] 已知向量，，满足, ,
，且，则 的取值范围是_______
_______.
[解析] 由 ，
得, ，
则,，
当且仅当, 共线时取等号，两边平方得
，即，
解得，所以 的取值范围是 .
5.已知在中, ,,是的中点,为 上一点.
（1）设,,当时,试用,表示, ;
解：,,是 的中点,
, ,
.
（2）当时,求证: .
证明:如图,以点为坐标原点,以,所在直线分别为轴、 轴,建立
平面直角坐标系.
设,则,, .
设,, ,
则即 ,
,, ,
,故 .
6.[2024·辽宁本溪高一期中] 在平行四边形中， ,
, ,,, .
（1）若,与交于点,，求 的值；
解：设 ，则 .
设 .
根据平面向量基本定理得解得 ，
所以，则,，所以 .
（2）求 的取值范围.
解：因为 ，
，
,
所以 .
因为，所以当时， 取得最小值，最小
值为，
当时，取得最大值，最大值为，
故 的取值范围为 .