第六章 滚动习题（一）范围6.1～6.2（课件 练习）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

滚动习题(一)
1.A　[解析] 　++=+=,故选A.
2.D　[解析] 因为|a|=2|b|,=,所以a在b上的投影向量为|a|cos·=cos·b=2cos·b=-3b.故选D.
3.A　[解析] ∵e1,e2不共线,∴a=2e1-e2≠0,又a∥b,∴存在实数λ,使b=λa,即ke1+e2=2λe1-λe2,∴解得故选A.
4.A　[解析] 由题意知a,b,c为非零向量,当a=b时,可得(a-b)·c=0,充分性成立;当(a-b)·c=0时,可得a=b或(a-b)⊥c,必要性不成立.所以“a=b”是“(a-b)·c=0”的充分不必要条件.故选A.
5.D　[解析] =-=-=(-)+=-.故选D.
6.C　[解析] ·=||·(||cos∠PAB).由题图可得,当P为半圆弧BC的中点时,||cos∠PAB取得最大值3,此时·=||·(||cos∠PAB)=2×3=6;当P与C点或B点重合时,||cos∠PAB取得最小值2,此时·=||·(||cos∠PAB)=2×2=4.综上,·的取值范围是[4,6].故选C.
7.AB　[解析] 对于A,若a,b的夹角为钝角,则cos<0,所以a·b=|a||b|cos<0,A正确;对于B,当|a-b|=|a+b|时,以a,b为邻边的平行四边形是矩形,所以a⊥b,B正确;对于C,当a,b同向共线时,有a·b>0,C错误;对于D,a+b=3b,a-3b=-b,所以a+b与a-3b反向,D错误.故选AB.
8.ACD　[解析] 对于A,设BC的中点为D,连接AD,若=+=(+)=×2=,则点M是△ABC的重心,故A正确;对于B,连接BM,若=2-,则有-=-,即=,则点M在CB的延长线上,故B错误;对于C,延长AM交BC于点N,若2=x+y,且x+y=1,则可得M为AN的中点,则△MBC的面积是△ABC面积的,故C正确;对于D,因为·=·,所以·(+)=·(+),即·=·,所以||||cos(π-∠BAM)=||||cos(π-∠CAM),即||||cos∠BAM=||||cos∠CAM,又=λ,所以点M在∠BAC的平分线上,所以∠BAM=∠CAM,所以cos∠BAM=cos∠CAM,所以||=||,所以△ABC为等腰三角形,故D正确.故选ACD.
9.　[解析] 由已知得a·b=|a||b|cos=3×2×=-6,所以|a-2b|====.
10.梯形　[解析] 因为=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,所以=++=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b,所以=2,所以AD∥BC且||≠||,所以四边形ABCD为梯形.
11.-2　[解析] 　=+=+2=+2(-)=3-2,因此,·=(3-2)·=3·-2=-2.
12.[6,2]　[解析] 设a与b的夹角为θ(0≤θ≤π),则a·b=|a||b|cos θ=3cos θ,令y=|a+b|+|a-b|=+=+=+,则有y2=(+)2=20+2·=20+2,又0≤cos2θ≤1,所以8≤≤10,所以y2=20+2∈[36,40],则y∈[6,2],即|a+b|+|a-b|的取值范围是[6,2].
13.解:(1)∵(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=-6,
∴a·b=a2-2b2+6=1-8+6=-1.
(2)∵a·b=|a|·|b|·cos θ=-1,∴cos θ===-,又θ∈[0,π],∴θ=.
(3)|a+b|===.
14.解:(1)因为点P在BF上,所以设=x+(1-x)=+(1-x),
又因为=+=+,与共线,所以=,解得x=,所以=+.
(2)由(1)可得=,则=,所以=.
由(1)可得=+,即=+,即(-)=(-),
即=,可得=3,所以=3,
所以===5.
15.解:(1)根据题意得==3,所以BD=BC.
因为=x(00),
所以=+=+=+(-)=+=+,
又E,D,F三点共线,所以+=1,所以+=4.
(2)·=(-)·(-)=(y-x)·(-)=y+x-(x+y)·=9x+y-(x+y)||||cos∠BAC=x+y==+≥+,
当且仅当=时取等号,所以·的最小值为+.滚动习题(一) [范围6.1~6.2]
(时间:45分钟　分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.若点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,则++= (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.
C. D.0
2.[2024·浙江宁波镇海中学高一月考] 已知向量a,b满足|a|=2|b|,且=,则a在b上的投影向量为 (　 )
A.b B.-b
C.3b D.-3b
3.已知e1,e2是两个不共线的向量,向量a=2e1-e2,b=ke1+e2.若a∥b,则k= (　 )
A.-2 B.-
C.2 D.
4.[2024·山西运城中学高一月考] 已知a,b,c是非零向量,则“a=b”是“(a-b)·c=0”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.在△ABC中,D为AC边的中点,E在BC边上,且=2,则= (　 )
A.+ B.+
C.- D.-
6.如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,P为半圆弧BC(含端点)上的动点,则·的取值范围为 (　 )
A.[2,6] B.[2,3]
C.[4,6] D.[4,8]
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.[2024·合肥168中学高一期中] 设a,b都是非零向量,则下列说法中正确的是 (　 )
A.若a,b的夹角为钝角,则a·b<0
B.若|a-b|=|a+b|,则a⊥b
C.若a·b>0,则a,b的夹角为锐角
D.若a=2b,则a+b与a-3b同向
8.设M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 (　 )
A.若=+,则点M是△ABC的重心
B.若=2-,则点M在BC的延长线上
C.若2=x+y,且x+y=1,则△MBC的面积是△ABC面积的
D.若·=·,=λ,则△ABC为等腰三角形
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.[2024·江西景德镇高一期中] 已知向量a,b的夹角为,|a|=3,|b|=2,则|a-2b|=　　　　.
10.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是　　　　.
11.如图,在△ABC中,·=0,||=1,=2,则·=　　　　.
12.若|a|=1,|b|=3,则|a+b|+|a-b|的取值范围是　　　　.
四、解答题(本大题共3小题,共38分)
13.(10分)已知向量a,b满足(a+b)·(a-2b)=-6,且|a|=1,|b|=2.
(1)求a·b;
(2)求a与b的夹角θ;
(3)求|a+b|.
14.(13分)[2024·山东德州高一期中] 如图,已知平行四边形ABCD中,=2,2=,AE和BF交于点P.
(1)用,表示向量;
(2)若△BPE的面积为S1,△APF的面积为S2,求的值.
15.(15分)[2024·浙江宁波五校联盟高一期中] 平面几何中有如下结论:“三角形ABC的角平分线AD(D在BC边上)分对边所成的两段之比等于角的两边之比,即=”.如图,在△ABC中,AB=3,AC=1,AD平分∠BAC,D在BC边上.过点D作直线交AB,AC的延长线于不同两点E,F,且满足=x(00).
(1)求+的值;
(2)若∠BAC=120°,求·的最小值.(共23张PPT)
滚动习题（一）范围
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.若点是平行四边形 的两条对角线的交点，则
( )
A. B. C. D.
[解析] ，故选A.
√
2.[2024·浙江宁波镇海中学高一月考]已知向量，满足 ，
且,，则在 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，,，所以在 上的投影向量为
,, .故选D.
√
3.已知,是两个不共线的向量，向量, .
若，则 ( )
A. B. C.2 D.
[解析] ,不共线，,又，
存在实数 ，使，即,
解得 故选A.
√
4.[2024·山西运城中学高一月考]已知，，是非零向量，则“ ”
是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由题意知，，为非零向量，
当 时，可得，充分性成立；
当时，可得 或，必要性不成立.
所以“”是“ ”的充分不必要条件.故选A.
√
5.在中，为边的中点，在边上，且 ,则
( )
A. B. C. D.
[解析]
.故
选D.
√
6.如图，四边形是边长为2的正方形， 为半
圆弧（含端点）上的动点，则 的取值
范围为( )
A. B. C. D.
[解析] .
由题图可得，当 为半圆弧的中点时， 取得最大值3，
此时；
当 与C点或B点重合时， 取得最小值2，此时
.
综上， 的取值范围是 .故选C.
√
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
7.[2024·合肥168中学高一期中]设， 都是非零向量，则下列说法中
正确的是( )
A.若，的夹角为钝角，则
B.若，则
C.若，则， 的夹角为锐角
D.若，则与 同向
√
√
[解析] 对于A,若,的夹角为钝角，则, ，所以
,，A正确；
对于B，当 时，以,为邻边的平行四边形是矩形，
所以,B正确；
对于C，当 ,同向共线时，有，C错误；
对于D, ,，所以与反向，D错误.
故选 .
8.设是 所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A.若，则点是 的重心
B.若，则点在 的延长线上
C.若，且，则的面积是 面
积的
D.若，，则 为等腰三
角形
√
√
√
[解析] 对于A,设的中点为D,连接 ，若
,则点是
的重心，故A正确；
对于B,连接，若 ,则有,
即,则点在 的延长线上，故B错误；
对于C,延长交于点，若,且 ,则可
得为的中点，则的面积是面积的 ，故C正确；
对于D,因为 ,所以
,即 ,
所以 ，
即,
又 ,所以点在的平分线上，
所以 ,所以,所以,
所以 为等腰三角形，故D正确.故选 .
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.[2024·江西景德镇高一期中] 已知向量，的夹角为， ，
，则 _____.
[解析] 由已知得 ，所以
.
10.在四边形中，， ，
，则四边形 的形状是______.
梯形
[解析] 因为，， ，所以
，
所以，所以且，所以四边形
为梯形.
11.如图，在中，，， ，则
____.
[解析]
，因
此， .
12.若，，则 的取值范围是_________.
[解析] 设与的夹角为 ，则， ，
则有，
又 ，所以 ，
所以，则 ，即
的取值范围是 .
四、解答题（本大题共3小题，共38分）
13.（10分）已知向量，满足 ，且
， .
（1）求 ；
解： ，
.
（2）求与的夹角 ；
解：， ，
又， .
（3）求 .
解： .
14.（13分）[2024·山东德州高一期中] 如图，
已知平行四边形中， ，
，和交于点 .
（1）用，表示向量 ；
解：因为点在 上，
所以设 ，
又因为，与共线，
所以 ，解得，所以 .
（2）若的面积为， 的面积为
，求 的值.
解：由（1）可得，则 ，所以 .
由（1）可得 ，即 ，
即 ， 即，
可得，所以 ，所以 .
15.（15分）[2024·浙江宁波五校联盟高一期中] 平面几何中有如下
结论：“三角形的角平分线在边上 分对边所成的两段之
比等于角的两边之比，即”.如图，在中， ，
，平分，在边上.过点作直线交, 的延长
线于不同两点,，且满足 ，
.
（1）求 的值；
解：根据题意得，所以 .
因为， ，
所以 ，
又,,三点共线，所以，所以 .
（2）若 ，求 的最小值.
解：
，当且仅当时取等号，所以的最小值为 .