滚动习题(二)
1.D [解析] 由题意得A(x2+x+1,-x2+x-1),∵x2+x+1>0,-x2+x-1<0,∴点A位于第四象限,故选D.
2.D [解析] 因为a=(-2,4),b=(1,-2),所以a=-2b,所以a与b方向相反.故选D.
3.D [解析] 向量a=(sin α,2),b=(1,-cos α),a⊥b,则a·b=sin α-2cos α=0,故tan α===2.故选D.
4.A [解析] 因为a=(2,0),b=(1,),所以a-b=(1,-),a-kb=(2-k,-k),所以|a-b|=2,|a-kb|=2,(a-b)·(a-kb)=2-k+3k=2+2k,又向量a-b与a-kb的夹角为,所以cos
===,所以2k2-5k+2=0,所以k=2或k=,故选A.
5.C [解析] 以A为原点,建立平面直角坐标系如图,则A(0,0),C(2,2),D(0,2),可得=(2,2),=(0,2),所以=(+)=(1,2),所以·=1×2+2×2=6.故选C.
6.B [解析] 由题意,在△ABC中,G为△ABC的重心,且=λ,=μ,0<λ≤1,0<μ≤1,设D为BC的中点,连接AD,则==×(+)=(+)=,因为M,N,G三点共线,所以+=1,故λ+4μ=(λ+4μ)=++≥+2=3,当且仅当=,+=1,即λ=1,μ=时等号成立,故λ+4μ的最小值为3,故选B.
7.ABD [解析] 因为e1,e2是平面内两个不共线的向量,对于A,设a=λb,即e1+e2=λe1,显然不成立,即a不能用b表示,所以a,b不共线,故A符合题意;对于B,设a=λb,即2e1+e2=λ=e1+e2,则无解,即a不能用b表示,所以a,b不共线,故B符合题意;对于C,a=-b,所以a,b共线,故C不符合题意;对于D,设a=λb,即e1-2e2=λ(-e1+4e2)=-λe1+4λe2,则无解,即a不能用b表示,所以a,b不共线,故D符合题意.故选ABD.
8.AB [解析] 对于A,若a⊥b,则cos θ+sin θ=0,可得tan θ=-,A正确;对于B,|a|=2,|b|=1,则b在a上的投影向量为-a=|b|cos·=·a,所以cos=-,因为∈[0,π],所以=,B正确;对于C,若b与a共线,设b=(λ,λ)(λ≠0),则有λ2+3λ2=1,解得λ=±,因为b=(cos θ,sin θ)(0≤θ≤π),即sin θ≥0,所以λ=,所以b=,C不正确;对于D,若|a-b|=|a|+|b|,则a与b反向,设ta=b(t<0),则b=(t,t),则sin θ=t<0,与sin θ≥0矛盾,故不存在θ,使得|a-b|=|a|+|b|,D不正确.故选AB.
9.(-1,-2)(答案不唯一) [解析] 向量n只要满足n=(λ,2λ)(λ<0)即可,当λ=-1时,n=(-1,-2).
10. [解析] 由题意可得=3,设P(x,y),则(-6,-14)=3(x-7,y-8),即解得故P.
11.2 [解析] 因为a=(2,0),b=(1,),所以a+b=(3,),所以|a|=2,|a+b|=2,所以cos==,因为∈[0,π],所以sin=,所以|a*(a+b)|=2×2×=2.
12.1 [解析] 在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=,∠BAD为锐角,且sin∠BAD=,所以cos∠BAD==,建立平面直角坐标系,如图所示,因为sin∠BAD==,所以yD=2,因为cos∠BAD==,所以xD=1,则D(1,2).又由题意得A(0,0),B(4,0),C(5,2),设P(m,2),1≤m≤5,则=(-m,-2),=(4-m,-2),所以·=-m(4-m)+4=m2-4m+4=(m-2)2,当m=2时,·取得最小值0,此时P(2,2),故若·≥·恒成立,则P0(2,2),所以||=2-1=1.
13.解:(1)因为a∥b,所以k(k-1)-1×(k+3)=0,解得k=-1或k=3.
(2)因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=0,即a2-a·b=0,所以k2+1=k(k+3)+1×(k-1),解得k=,
此时a=,b=.
①因为a·b=×-1×=,|a|==,|b|==,
所以cos θ==.
②因为2a+b=(1,2)+=,
所以|2a+b|==.
14.解:(1)由题意得=++=(x+4,y-2),=(x,y),因为∥,所以(x+4)y-(y-2)x=0,可得x+2y=0.
(2)由题意得=+=(x+6,y+1),=+=(x-2,y-3),因为⊥,所以·=0,即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,整理得x2+y2+4x-2y-15=0.
由解得或
记四边形ABCD的面积为S.当时,=(8,0),=(0,-4),则S=||||=×8×4=16;
当时,=(0,4),=(-8,0),
则S=||||=×4×8=16.
综上,或四边形ABCD的面积为16.
15.解:(1)设D(t,0)(0≤t≤1),由题意知C,则=,=(t,0),
所以+=,
所以|+|2=+,
故当t=时,|+|取得最小值,最小值为.
(2)由题意得C(cos θ,sin θ),
则m==(cos θ+1,sin θ),
因为n=(1-cos θ,sin θ-2cos θ),所以m·n=1-cos2θ+sin2θ-2sin θcos θ=1-cos 2θ-sin 2θ=1-sin.因为θ∈,所以2θ+∈,
所以当2θ+=,即θ=时,sin取得最大值1,m·n取得最小值1-.滚动习题(二) [范围6.3]
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知i,j分别是与x轴正方向、y轴正方向同向的单位向量,O为坐标原点,设=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(x∈R),则点A位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量a=(-2,4),b=(1,-2),则a与b的关系是 ( )
A.不共线 B.相等
C.方向相同 D.方向相反
3.已知向量a=(sin α,2),b=(1,-cos α),若a⊥b,则tan α= ( )
A. B.-2
C.- D.2
4.已知平面向量a=(2,0),b=(1,),向量a-b与a-kb的夹角为,则k= ( )
A.2或 B.3或
C.2或0 D.3或
5.[2024·杭州二中高一期中] 已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则·= ( )
A.4 B.5
C.6 D.8
6.在△ABC中,G为△ABC的重心,M,N分别为线段AB,AC上的动点,且M,N,G三点共线,若=λ,=μ,则λ+4μ的最小值为 ( )
A. B.3
C.2 D.
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.设e1,e2是平面内两个不共线的向量,则以下a,b可作为该平面内一个基底的是 ( )
A.a=e1+e2,b=e1
B.a=2e1+e2,b=e1+e2
C.a=-e1+e2,b=e1-e2
D.a=e1-2e2,b=-e1+4e2
8.已知向量a=(1,),b=(cos θ,sin θ)(0≤θ≤π),则下列说法正确的是 ( )
A.若a⊥b,则tan θ=-
B.若b在a上的投影向量为-a,则向量a与b的夹角为
C.若b与a共线,则b=或b=
D.存在θ,使得|a-b|=|a|+|b|
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.已知向量m=(1,2),写出一个与向量m方向相反的向量n的坐标为 .
10.已知两点M(7,8),N(1,-6),点P是线段MN上靠近点M的三等分点,则点P的坐标为 .
11.定义a*b是向量a和b的“向量积”,其长度为|a*b|=|a|·|b|·sin θ,其中θ为向量a和b的夹角.若a=(2,0),b=(1,),则|a*(a+b)|= .
12.已知在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=,∠BAD为锐角,且sin∠BAD=,点P0是边CD上一定点,点P是边CD上一动点,若·≥·恒成立,则||= .
四、解答题(本大题共3小题,共38分)
13.(10分)[2024·天津北辰区高一期中] 已知向量a=(k,1),b=(k+3,k-1).
(1)若a∥b,求k的值.
(2)若a⊥(a-b).
①求a与b的夹角θ的余弦值;
②求|2a+b|.
14.(13分)在平面直角坐标系中,已知向量=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),且∥.
(1)求x与y满足的关系式;
(2)若⊥,求x与y的值及四边形ABCD的面积.
15.(15分)在平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),点C在x轴及x轴上方,||=1,且∠AOC=θ,其中O为坐标原点.
(1)若θ=,设点D为线段OA(包括端点)上的动点,求|+|的最小值;
(2)若θ∈,向量m=,n=(1-cos θ,sin θ-2cos θ),求m·n的最小值及对应的θ值.(共27张PPT)
滚动习题（二）范围6.3
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.已知，分别是与轴正方向、轴正方向同向的单位向量， 为坐
标原点，设，则点 位于
( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 由题意得， ，
， 点A位于第四象限，故选D.
√
2.已知向量,，则与 的关系是( )
A.不共线 B.相等 C.方向相同 D.方向相反
[解析] 因为,，所以，所以与 方向
相反.故选D.
√
3.已知向量，，若，则 ( )
A. B. C. D.2
[解析] 向量，， ,
则,故 .故选D.
√
4.已知平面向量，，向量与 的夹角
为，则 ( )
A.2或 B.3或 C.2或0 D.3或
√
[解析] 因为，，
所以 ，，所以 ，
， ，
又向量与的夹角为，
所以 ,，
所以 ，
所以或 ，故选A.
5.[2024·杭州二中高一期中]已知正方形的边长为2，点 满足
，则 ( )
A.4 B.5 C.6 D.8
[解析] 以A为原点，建立平面直角坐标系如图，
则，，，
可得 , ，
所以 ，
所以 .故选C.
√
6.在中，为的重心，,分别为线段, 上的动点，
且,,三点共线，若，，则 的最小值
为( )
A. B.3 C.2 D.
√
[解析] 由题意，在中，为的重心，且 ，
，,，
设D为的中点，连接 ，则
因为,,三点共线，所以 ，
故 ，
当且仅当，，即,时等号成立，
故 的最小值为3，故选B.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
7.设，是平面内两个不共线的向量，则以下， 可作为该平面
内一个基底的是( )
A.， B.，
C.， D.，
√
√
√
[解析] 因为,是平面内两个不共线的向量，
对于A，设 ，即，显然不成立，即不能用表示，
所以， 不共线，故A符合题意；
对于B，设 ，即，
则无解，即 不能用表示，所以，不共线，故B符合题意；
对于C， ，所以，共线，故C不符合题意；
对于D，设 ，即，
则无解，即 不能用表示，所以，不共线，
故D符合题意.故选 .
8.已知向量， ，则下列说法
正确的是( )
A.若，则
B.若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C.若与共线，则或
D.存在 ，使得
√
√
[解析] 对于A，若，则，可得 ，
A正确；
对于B，，，则在 上的投影向量为
,，所以,，因为 ,
，所以,，B正确；
对于C，若与 共线，设，则有，
解得 ，因为，即，
所以 ，所以，C不正确；
对于D，若，则与 反向，设，
则，则，与 矛盾，故不存在 ，
使得，D不正确.故选 .
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.已知向量，写出一个与向量方向相反的向量 的坐标为
_______________________.
（答案不唯一）
[解析] 向量只要满足即可，当 时，
.
10.已知两点，，点是线段上靠近点 的三等分
点，则点 的坐标为_______.
[解析] 由题意可得，设 ，
则，
即解得 故 .
11.定义*是向量和的“向量积”，其长度为 *
， 其中 为向量和的夹角.若 ，
，则* _____.
[解析] 因为，，所以 ，
所以，，所以, ，
因为,，所以,，
所以 * .
12.已知在平行四边形中，，， 为锐角，
且，点是边上一定点，点是边 上一动点，
若恒成立，则 ___.
1
[解析] 在平行四边形中， ，
，为锐角，且 ，
所以 ，建立平面 直角坐标系，如图所示，
因为，所以 ，
因为，所以，则 .
又由题意得，，，设， ，则
，，
所以，
当时，取得最小值0，此时，故若 恒成立，
则，所以 .
四、解答题（本大题共3小题，共38分）
13.（10分）[2024·天津北辰区高一期中] 已知向量 ，
.
（1）若，求 的值.
解：因为//，所以，解得或 .
（2）若 .
解：因为，所以，即 ，
所以，解得 ，
此时， .
因为， ，
，所以 .
①求与的夹角 的余弦值；
②求 .
解： 因为 ，
所以 .
14.（13分）在平面直角坐标系中，已知向量 ，
，，且 .
（1）求与 满足的关系式；
解：由题意得， ，
因为，所以，可得 .
（2）若，求与的值及四边形 的面积.
解：由题意得 ，
，
因为，所以 ，
即 ，
整理得 .
由解得或
记四边形的面积为.当时，， ，
则 ；
当时，， ，
则 .
综上，或四边形 的面积为16.
15.（15分）在平面直角坐标系中，已知点和点，点
在轴及轴上方，，且 ，其中 为坐标原点.
（1）若，设点为线段 （包括端点）上的动点，求
的最小值；
解：设，由题意知，
则 , ,
所以 ，所以 ，
故当时，取得最小值，最小值为 .
（2）若，向量， ，
求的最小值及对应的 值.
解：由题意得 ,则 ，
因为 ，所以
.
因为，所以 ，所以当，
即时，取得最大值1， 取得最小值 .