3.4.2 换底公式 同步练习（含答案）

3.4.2
换底公式
同步练习
一、选择题
1.等于(　　)
A．3
B．8
C．27
D．2
[答案]　D
[解析]　＝log39＝2.
2．在，，log，loganbn(a，b均为不等于1的正数，且ab≠1)其中与logab相等的有(　　)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
[答案]　C
[解析]　＝logab，＝logba，log＝logba，loganbn＝logab，故答案为C.
3．已知lg2＝a，lg3＝b，则log312＝(　　)
A.
B.
C.
D.
[答案]　A
[解析]　log312＝＝＝.
4．若y＝log56·log67·log78·log89·log910，则(　　)
A．y∈(0,1)
B．y∈(1,2)
C．y∈(2,3)
D．y∈(3,4)
[答案]　B
[解析]　原式＝····＝＝lg510∈(1,2)．
5．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值是(　　)
A.
B．9
C．18
D．27
[答案]　B
[解析]　原式可化为：··＝log442＝2，
所以lgm＝2lg3＝lg9，所以m＝9.
6．若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　　)
A．9
B.
C．25
D.
[答案]　D
[解析]　由换底公式，得··＝2，
lgx＝－2lg5，x＝5－2＝.
二、填空题
7．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
[答案]　
[解析]　∵a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝＋
＝logm2＋logm5＝logm10＝2，
∴m2＝10.又∵m>0，∴m＝.
8．2log510＋log50.25＋(－)÷＝________.
[答案]　－3
[解析]　原式＝2(log510＋log50.5)＋(－)
＝2log5(10×0.5)＋5－－5－
＝2＋5－5＝－3.
三、解答题
9．计算：(1)lg－lg＋lg12.5－log89·log34；
(2)(log25＋log40.2)(log52＋log250.5)．
[解析]　(1)解法1：lg－lg＋lg12.5－log89·log34
＝lg(××12.5)－·＝1－＝－.
解法2：lg－lg＋lg12.5－log89·log34
＝lg－lg＋lg－·
＝－lg2－lg5＋3lg2＋(2lg5－lg2)－·
＝(lg2＋lg5)－＝1－＝－.
(2)原式＝(log25＋log2)(log52＋log5)
＝(log25＋log25－1)(log52＋log52－1)
＝(log25－log25)(log52－log52)
＝·log25·log52＝.
10．已知log142＝a，用a表示log7.
[解析]　解法1：log142＝a，∴log214＝.
∴1＋log27＝.∴log27＝－1.
∵由对数换底公式，得log27＝＝，
∴log7＝2log27＝2(－1)＝.
解法2：∵由对数换底公式，得
log142＝＝＝a，
∴2＝a(log7＋2)，即log7＝.
解法3：由对数换底公式，得
log7＝＝＝2log27
＝2(log214－log22)＝2(－1)＝.
一、选择题
1.eq
\f(1,\f(1,9))＋eq
\f(1,\f(1,3))等于(　　)
A．lg3
B．－lg3
C.
D．－
[答案]　C
[解析]　
eq
\f(1,\f(1,9))＋eq
\f(1,\f(1,3))＝＋
＝＋＝＋＝＝.
2．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值等于(　　)
A．2
B.
C．4
D.
[答案]　A
[解析]　由根与系数的关系可知lga＋lgb＝2，
lgalgb＝.
于是(lg)2＝(lga－lgb)2
＝(lga＋lgb)2－4lgalgb＝22－4×＝2.
二、填空题
3．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝________.(用a，b表示)
[答案]　ab
[解析]　由于log37＝＝b，又log23＝a，
所以log27＝ab.
4．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝lgE－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．
[答案]　1000
[解析]　设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1，则8－6＝(lgE2－lgE1)，
即lg＝3.
∴＝103＝1000，
即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹．
三、解答题
5．化简下列各式
(1)(log5＋log2)log52；
(2)2log39＋log93－0.70－2－1＋25.
[解析]　(1)原式＝(log25＋log25)·log52
＝(2log25＋log25)log52＝log25·log52＝.
(2)原式＝2log332＋log323－1－＋5
＝4＋－1－＋5＝8.
6．设a>0，a≠1，x，y满足logax＋3logxa－logxy＝3，用logax表示logay，并求当x取何值时，logay取得最小值．
[解析]　∵由换底公式得logax＋－＝3，
整理得(logax)2＋3－logay＝3logax，
∴logay＝(logax)2－3logax＋3＝(logax－)2＋.
∴当logax＝，即x＝a时，logay取得最小值.
7．若a、b是方程2lg2x－lgx4＋1＝0的两个实数根，求lg(ab)(logab＋logba)的值．
[解析]　原方程可化为2lg2x－4lgx＋1＝0.依题意知，lga＋lgb＝2，lga·lgb＝，
∴lg(ab)(logab＋logba)＝(lga＋lgb)
＝2×＝＝12.