3.4.2 换底公式 学案3（含答案）
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3.4.2 换底公式
学案
问题导学
一、利用换底公式求值、化简
活动与探究1
计算：(1)log16；(2)(log43＋log83)·.
迁移与应用
1．的值为( )．
A．2 B． C．1 D．
2．求log37·log29·log492的值．
利用换底公式计算、化简、求值问题的思路：
一是先利用对数的运算性质进行部分运算，最后再换成同一底数进行计算；
二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值．
二、对数换底公式的综合应用
活动与探究2
(1)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值；
(2)设3x＝4y＝6z＞1，求证：－＝.
迁移与应用
1．已知lg
2＝a，lg
3＝b，则用a，b表示log312的结果为__________．
2．设3a＝4b＝36，求＋的值．
(1)用已知对数表示其他对数时，若它们的底数不相同，常用换底公式来解决．
(2)在一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧．一般地，给出的等式是以指数形式出现时，常用此法，值得一提的是，在取对数时，要注意对底数的合理选取．
三、换底公式的实际应用
活动与探究3
2011年，我国GDP约为47万亿元，若我国GDP年平均增长率为8.1%，那么约经过__________年，我国GDP增长为2011年的两倍．
迁移与应用
在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的关系是v＝2
000ln.当燃料质量约是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达到10
km/s(已知e5≈148.4)
求解对数实际应用题时，注意以下两点：一是合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是利用对数的运算性质以及两边取对数的方法计算求解．
当堂检测
1．下列等式不成立的是( )．
A．log34＝
B．log34＝
C．log3
4＝
D．log34＝
2．log45·log54＝( )．
A．4
B．5
C．1
D．
3．log89·log32＝__________.
4．若mlog35＝1，n＝5m，则n的值为______．
5．化简：.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．
预习交流1 提示：由对数恒等式可知N＝blogbN，上式两边取以a为底的对数可得logaN＝，即logaN＝logbN·logab，于是可得logbN＝.
预习交流2 提示：只要底数大于零且不等于1即可．
2． 1 logab logab －logab
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)16和都可表示为2的幂的形式，因此可换成以2为底的对数计算；(2)前后两个式子中的底数不同，可利用换底公式化成同一底数，再进行运算．
解：(1)log16＝＝＝＝－.
(2)原式＝·
＝·
＝··＝.
迁移与应用 1．D 解析：＝＝＝log416＝.
2．解：原式＝··＝··＝1.
活动与探究2 思路分析：由本题条件与所求的关系可分析出思路，在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x，y，z，并结合换底公式与对数的运算性质证明．
(1)解：∵由18b＝5，得log185＝b，
∴log3645＝＝
＝＝.
(2)证明：设3x＝4y＝6z＝t，
∵3x＝4y＝6z＞1，
∴t＞1，∴x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t.
因此x＝，y＝，z＝，
∴－＝－＝＝＝.
迁移与应用 1． 解析：
log312＝＝＝＝.
2．解法一：由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，
因此＝log363，＝log364，
所以＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.
解法二：对已知等式取以6为底的对数，
得alog63＝2，blog62＝1，
所以＝log63，＝log62.
于是＋＝log63＋log62＝log66＝1.
活动与探究3 思路分析：依题意，建立指数函数关系，然后利用对数求值计算．
解：设经过x年，我国GDP增长为2011年的两倍，
则有47(1＋8.1%)x＝47×2，
即1.081x＝2，
所以x＝log1.0812＝≈9.
故约经过9年，我国GDP增长为2011年的两倍．
迁移与应用 解：由题意可得10
000＝2
000ln，即ln＝5.
所以＝e5－1，即≈148.4－1＝147.4.
故当燃料质量约是火箭质量的147.4倍时，火箭的最大速度可达到10
km/s.
【当堂检测】
1．D 解析：结合换底公式的特征可知选项D不正确，因为底数必须满足大于0且不等于1.
2．C 解析：log45·log54＝·＝1.
3． 解析：原式＝·＝＝.
4．3 解析：∵m＝＝log53，
∴n＝5m＝＝3.
5．解：原式＝＝log38.
学案
问题导学
一、利用换底公式求值、化简
活动与探究1
计算：(1)log16；(2)(log43＋log83)·.
迁移与应用
1．的值为( )．
A．2 B． C．1 D．
2．求log37·log29·log492的值．
利用换底公式计算、化简、求值问题的思路：
一是先利用对数的运算性质进行部分运算，最后再换成同一底数进行计算；
二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值．
二、对数换底公式的综合应用
活动与探究2
(1)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值；
(2)设3x＝4y＝6z＞1，求证：－＝.
迁移与应用
1．已知lg
2＝a，lg
3＝b，则用a，b表示log312的结果为__________．
2．设3a＝4b＝36，求＋的值．
(1)用已知对数表示其他对数时，若它们的底数不相同，常用换底公式来解决．
(2)在一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧．一般地，给出的等式是以指数形式出现时，常用此法，值得一提的是，在取对数时，要注意对底数的合理选取．
三、换底公式的实际应用
活动与探究3
2011年，我国GDP约为47万亿元，若我国GDP年平均增长率为8.1%，那么约经过__________年，我国GDP增长为2011年的两倍．
迁移与应用
在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的关系是v＝2
000ln.当燃料质量约是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达到10
km/s(已知e5≈148.4)
求解对数实际应用题时，注意以下两点：一是合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是利用对数的运算性质以及两边取对数的方法计算求解．
当堂检测
1．下列等式不成立的是( )．
A．log34＝
B．log34＝
C．log3
4＝
D．log34＝
2．log45·log54＝( )．
A．4
B．5
C．1
D．
3．log89·log32＝__________.
4．若mlog35＝1，n＝5m，则n的值为______．
5．化简：.
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．
预习交流1 提示：由对数恒等式可知N＝blogbN，上式两边取以a为底的对数可得logaN＝，即logaN＝logbN·logab，于是可得logbN＝.
预习交流2 提示：只要底数大于零且不等于1即可．
2． 1 logab logab －logab
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：(1)16和都可表示为2的幂的形式，因此可换成以2为底的对数计算；(2)前后两个式子中的底数不同，可利用换底公式化成同一底数，再进行运算．
解：(1)log16＝＝＝＝－.
(2)原式＝·
＝·
＝··＝.
迁移与应用 1．D 解析：＝＝＝log416＝.
2．解：原式＝··＝··＝1.
活动与探究2 思路分析：由本题条件与所求的关系可分析出思路，在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x，y，z，并结合换底公式与对数的运算性质证明．
(1)解：∵由18b＝5，得log185＝b，
∴log3645＝＝
＝＝.
(2)证明：设3x＝4y＝6z＝t，
∵3x＝4y＝6z＞1，
∴t＞1，∴x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t.
因此x＝，y＝，z＝，
∴－＝－＝＝＝.
迁移与应用 1． 解析：
log312＝＝＝＝.
2．解法一：由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，
因此＝log363，＝log364，
所以＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.
解法二：对已知等式取以6为底的对数，
得alog63＝2，blog62＝1，
所以＝log63，＝log62.
于是＋＝log63＋log62＝log66＝1.
活动与探究3 思路分析：依题意，建立指数函数关系，然后利用对数求值计算．
解：设经过x年，我国GDP增长为2011年的两倍，
则有47(1＋8.1%)x＝47×2，
即1.081x＝2，
所以x＝log1.0812＝≈9.
故约经过9年，我国GDP增长为2011年的两倍．
迁移与应用 解：由题意可得10
000＝2
000ln，即ln＝5.
所以＝e5－1，即≈148.4－1＝147.4.
故当燃料质量约是火箭质量的147.4倍时，火箭的最大速度可达到10
km/s.
【当堂检测】
1．D 解析：结合换底公式的特征可知选项D不正确，因为底数必须满足大于0且不等于1.
2．C 解析：log45·log54＝·＝1.
3． 解析：原式＝·＝＝.
4．3 解析：∵m＝＝log53，
∴n＝5m＝＝3.
5．解：原式＝＝log38.