(共59张PPT)
7.1 复数的概念
7.1.2 复数的几何意义
探究点一 复数的几何意义
探究点二 复数模的计算
探究点三 复数的模的几何意义
【学习目标】
1.理解复数的几何意义,了解复数集与平面直角坐标系中的点集、
复数与以原点为起点的平面向量的对应关系,理解复平面的概念,理解
复数模的概念.
2.了解共轭复数的概念,能利用共轭复数解决一些简单的数学问题.
知识点一 复平面
如图所示,点的横坐标是,纵坐标是 ,复数
可用点 表示.这个建立了直
角坐标系来表示复数的平面叫作________,
轴叫作______, 轴叫作______.实轴上的点都
表示实数;除了______外,虚轴上的点都表示
纯虚数.
复平面
实轴
虚轴
原点
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）在复平面内,与实数对应的点都在实轴上.( )
√
（2）在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( )
×
[解析] 在复平面内,与纯虚数对应的点都在虚轴上，除原点外，虚轴
上的点都表示纯虚数.
（3）在复平面内,与非纯虚数对应的点都分布在四个象限内.( )
×
2.在复平面内,下列各点中对应的复数是纯虚数的是( )
A. B. C. D.
[解析] 复平面内的点对应的复数是 ,是纯虚数.
√
知识点二 复数的几何意义
复数 与复平面内的点
_______及以原点为起点,点 为终点的
向量____是一一对应的（如图所示）.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）复数即为向量，反之，向量即为复数.( )
×
（2）复数与向量一一对应.( )
×
（3）若，则在复平面内对应的复数为 .( )
√
（4）复数 在复平面内对应的点在第四象限.( )
√
知识点三 复数的模
（1）定义：向量的____叫作复数 的模或绝对值.
（2）记法：复数 的模记作____或________.
模
（3）公式：_________，其中， .
如果，那么是一个实数，它的模就等于____
的绝对值 .
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）复数的模一定是正实数.( )
×
[解析] 还有可能是零.
（2）两个复数的模可以比较大小.( )
√
2.已知复数的实部为，虚部为2，则 ____.
知识点四 共轭复数
（1）定义：当两个复数的实部______，虚部____________时，这两
个复数叫作互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫作______
____.
相等
互为相反数
共轭虚数
（2）表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果 ，那
么 _______.
【诊断分析】判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）在复平面内,两个互为共轭复数的复数对应的点关于实轴对称.
( )
√
（2）实数的共轭复数仍是 本身.( )
√
（3）两个互为共轭复数的复数的模相等.( )
√
探究点一 复数的几何意义
例1（1） 已知在复平面内，是坐标原点，复数 对应的点
是，如果点与点关于虚轴对称，点与点 关于原点对称，分
别求与 对应的复数.
解：由题意知， ，
由与关于虚轴对称，得 ，
由与关于原点对称，得 ，
，的坐标分别为， ，
，对应的复数分别为， .
（2）当实数 满足什么条件时，复数
在复平面内对应的点①在虚轴上？
②在第二象限？③在直线 上？
解：复数的实部为 ，
虚部为 .
①由复数在复平面内对应的点在虚轴上,得 ，解得
或 .
②由复数在复平面内对应的点在第二象限，得 即
.
③由复数在复平面内对应的点在直线 上，得
， .
变式（1） 在复平面内，将复数对应的向量绕原点 按逆时
针方向旋转得到向量，那么 对应的复数是____.
[解析] 由题意得，则.
将绕原点 按逆时针方向旋转得到向量，则点在轴上，
且 ，所以，所以对应的复数是 .
（2）当实数 满足什么条件时，复数
在复平面内对应的点①位于第四
象限？②位于 轴的负半轴上？
解：①由题意得 即
.
②由题意得即 .
［素养小结］
（1）在复平面内，解决复数与点的一一对应的问题时，首先确定复
数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标，再根据已知
条件，确定实部与虚部满足的关系.
（2）在复平面内，解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以
复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、
向量之间的转化.
探究点二 复数模的计算
例2（1） 已知复数,则 ( )
A. B.1 C.5 D.
[解析] ,则 ．故选C.
√
（2）已知复数 在复平面内对应的点位于第二象
限，且，则复数 _________.
[解析] 因为 在复平面内对应的点位于第二象限，
所以.
由，得，解得或 （舍去），
所以 .
（3）若复数的共轭复数的模等于，则实数 的
值为_______.
或
[解析] 方法一：由题意得， ，
，两边同时平方得 ，
，或 .
方法二：， ，两边同时平方得
，，或 .
变式（1） 求复数, 的模，并比较它们的模
的大小.
解：因为 ,，
所以 .
（2）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限.若 的实部与虚部
之和为7，且，求 .
解：依题意可设 ，
因为的实部与虚部之和为7，且，所以 解得
，，故 .
［素养小结］
（1）通常用复数的模的公式 计算
复数的模.
（2）已知复数的模求复数，只需套用模长公式解方程.
探究点三 复数的模的几何意义
例3 已知复数， .
（1）求及 并比较大小.
解： ，
，
所以 .
（2）设，且，则复数在复平面内对应的点 的集合
是什么图形？
解：由知为坐标原点，所以点 到原点的
距离为2，所以点 的集合是以原点为圆心，2为半径的圆.
变式（1） 设，则满足条件的复数 在复平面内对
应的点 的集合对应图形的长为_____.
[解析] 由得，这表明向量为坐标原点 的模
等于5，即点到原点的距离等于5，
因此点的集合是以原点 为圆心，5为半径的圆，其长度为 .
（2）复数为虚数单位，复数满足 ,在
复平面内对应的点组成的集合为，求集合 对应图形的面积.
解：由题知，因为 ,所以
，
所以在复平面内对应的点组成的集合 是夹在以原点为圆心，1
为半径的圆与以原点为圆心， 为半径的圆之间的圆环，
所以集合对应图形的面积为 .
［素养小结］
解决复数模的几何意义的问题时，应根据复数的模的定义 ，
并依据满足的条件，判断点 的集合表示的图形，把复数模的问
题转化为几何问题来解决.比较常见的几何图形有直线、圆、圆环等.
1.任何一个复数都可以由一个有序实数对 唯
一确定,特殊地,实轴上的点都表示实数,除原点外，虚轴上的点都表示
纯虚数,即任意实数与实轴上的点 一一对应,任意纯虚数
与除原点外虚轴上的点 一一对应.
2.复数与向量的对应和转化
（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原
点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之，复数对应的
点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.
（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面
内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
（3）复数的模、复数在复平面内对应的点到原点的距离、复数在复
平面内所对应的向量的模三者是一致的.
3.与 互为共轭复数,即当两个复数的实部相等,虚
部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.它的几何意义是:在复平
面内,共轭的两个复数对应的点关于实轴对称.
4.复数在复平面内对应的点为, 表示一个大于0的常数,则满足条件
的点的轨迹为以原点为圆心,为半径的圆, 表示圆的内
部, 表示圆的外部.
1.复数在复平面内对应的点的位置
例1 实数分别取什么值时,复数 在
复平面内对应的点 满足下列条件？
（1）位于第三象限；
解:当实数满足即时,点 位于第三象限.
（2）位于第四象限.
解:当实数满足即时,点 位于第四象限.
2.平面向量与复数的关系
例2（1） 已知复数， 在复平面内对应的点分别
为，，则向量对应的复数 在复平面内所对应的点在第____象限.
二
[解析] 由题意，，，故， 对应的复数
在复平面内所对应的点的坐标为 ，该点在第二象限.
（2）在复平面内的长方形的四个顶点中，点,, 对应的复数
分别是,,，求点 对应的复数.
解：记为复平面的原点，连接,,, ,由题意得
，，，
设 ，则， .
由题知，，所以解得
故点对应的复数为 .
（3）已知复数,.在复平面内，复数, 对应
的向量分别是,，其中是坐标原点，求 的大小.
解：由题意知向量, ，
则 ，
，
，
因为为与 的夹角，
所以 .
因为 ，
所以 .
3.复数模的几何意义
例3 设,在复平面内对应的点为,则满足条件的点 的集
合是什么图形
解:由得向量为坐标原点 的模小于或
等于3，所以满足条件的点 的集合就是以
原点 为圆心,以3为半径的圆及其内部,如图中阴影
部分所示.
练习册
一、选择题
1.设，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 在复平面内对应的点的坐标为 ，该点位于
第二象限.故选B.
√
2.若复数，则的共轭复数 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为复数，所以 .
√
3.[2024·浙江精诚联盟高一期中]已知是虚数单位，复数 ，
则 ( )
A.1 B.2 C. D.0
[解析] ,所以 .故选C.
√
4.在复平面内，是原点，向量对应的复数为，其中 为虚
数单位.若点关于虚轴的对称点为，则向量 对应的复数的共轭
复数为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，，所以向量 对应的复数
为，所以向量对应的复数的共轭复数为 ，故选C.
√
5.已知复数 在复平面内对应的点在第
三象限，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 在复平面内对应的点在第
三象限，所以即
解得，则实数的取值范围是 ，故选B.
√
6.已知复数满足，则复数 在复平面内对应的点
的集合表示的图形是( )
A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆
[解析] 由题意可知，即或 ，
，， 复数 在复平面内对应的点的集合表示的图
形是1个圆.
√
7.已知 ,，则满足的 的取值范围
是( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 因为，所以 ，
由，得 ，即
，解得 , ．
√
8.（多选题）设复数, 为虚数单位,则下列说法正确的是
( )
A.
B.复数 在复平面内对应的点位于第四象限
C.的共轭复数为
D.复数在复平面内对应的点在直线 上
[解析] ,A正确;
复数 在复平面内对应的点的坐标为,该点位于第三象限,B不正确;
的共轭复数为,C正确;
复数在复平面内对应的点不在直线 上,D不正确.故选 .
√
√
9.（多选题）在复平面内，复数对应的点 满足
为坐标原点，若点与关于实轴对称，则与点 对应
的复数 可能为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为复数对应的点满足 ，所
以，所以，所以或 ，
又点与关于实轴对称，所以或 ，所以复数
或.故选 .
√
√
二、填空题
10.[2024·茂名高一期中] 若复数 的实部与虚部互为
相反数，则 _____.
[解析] 因为复数的实部为2，虚部为 ，所以由题
意可得，解得,所以 .
11.已知复数满足，则 在复平面内对应的点所构成的
图形的面积为____.
[解析] 由题可知 在复平面内对应的点所构成的图形为半径为2和
的两个同心圆所夹的圆环，则其面积为．
12.已知复数在复平面内对应的点在射线 上，且
，则复数 的虚部为____.
[解析] 设， 复数 在复平面内对应的点
在射线上，,
又 ，，，，
, ， 复数的虚部为 ．
三、解答题
13.已知复数，其中 .
（1）若在复平面内对应的点在虚轴上且不是原点，求 的值；
解：因为复数，其中， 在复平
面内对应的点在虚轴上且不是原点，所以 解得
.
（2）若在复平面内对应的点关于虚轴对称的点在第一象限，求
的取值范围.
解：因为 在复平面内对应的点为
，所以 在复平面内对应的点关于虚轴对称
的点为 .
由题意得解得，即 的取值范围为
.
14.[2024·安徽安庆一中高一期中] 已知复数
在复平面内对应的点为 .
（1）若点在直线上，求实数 的值；
解：由题可知点的坐标为 ，
因为点在直线 上，
所以，解得 .
（2）若为坐标原点，点，且与 的夹角为钝角，求实
数 的取值范围.
解：， ，
因为与的夹角为钝角，所以，且与 不共线，
由，得 ，可化为
，可得 .
当两向量共线且方向相反时，设, ，
即解得
所以实数的取值范围为 .
15.在复平面内，为坐标原点，向量所对应的复数为 ，
向量所对应的复数为，点 所对应的复数为
，点与点关于虚轴对称，若圆经过，，，
四点，则圆 的半径为____.
[解析] 因为向量所对应的复数为，所以 ，
又向量所对应的复数为，所以.
因为点 所对应的复数为，所以,
又点与点 关于虚轴对称，所以.
易知，，，四点在以为圆心， 为半径的圆上，故圆的
半径为 .
16.复平面内，，三点所对应的复数分别为,, ，若四
边形为平行四边形，求 的值.
解：因为复平面内,,三点对应的复数分别是,, ，所以
,, .
设复平面内点的坐标为，则， ，
因为四边形 是平行四边形，
所以，则解得则 ，
所以，故 .7.1.2 复数的几何意义
【课前预习】
知识点一
复平面 实轴 虚轴 原点
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)× [解析] (2)在复平面内,与纯虚数对应的点都在虚轴上,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
2.D [解析] 复平面内的点(0,-2)对应的复数是-2i,是纯虚数.
知识点二
Z(a,b)
诊断分析
(1)× (2) × (3)√ (4)√
知识点三
(1)模 (2)|z| |a+bi| (3) |a|
诊断分析
1.(1)× (2)√ [解析] (1)还有可能是零.
2.
知识点四
(1)相等 互为相反数 共轭虚数 (2)a-bi
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)由题意知,Z(2,1),
由Z1与Z关于虚轴对称,得Z1(-2,1),
由Z2与Z关于原点对称,得Z2(-2,-1),
∴,的坐标分别为(-2,1),(-2,-1),
∴,对应的复数分别为-2+i,-2-i.
(2)复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2.
①由复数z在复平面内对应的点在虚轴上,得m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.
②由复数z在复平面内对应的点在第二象限,得即∴-1③由复数z在复平面内对应的点在直线y=x上,得m2-m-2=m2-3m+2,∴m=2.
变式 (1)i [解析] 由题意得=(1,1),则||=.将绕原点O按逆时针方向旋转得到向量,则点M1在y轴上,且||=,所以=(0,),所以对应的复数是i.
(2)解:①由题意得即∴-7②由题意得即∴m=4.
探究点二
例2 (1)C (2)-1+i (3)或-1 [解析] (1)z=4+3i,则|z|==5.故选C.
(2)因为z=a+i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,所以a<0.由|z|=2,得=2,解得a=-1或a=1(舍去),所以z=-1+i.
(3)方法一:由题意得=(a+2)+2ai,∵||=,∴=,两边同时平方得5a2+4a+4=5,∴(5a-1)(a+1)=0,∴a=或a=-1.
方法二:∵|z|=||,∴=,两边同时平方得5a2+4a+4=5,∴(5a-1)(a+1)=0,∴a=或a=-1.
变式 解:(1)因为|z1|==10,
|z2|==,所以|z1|>|z2|.
(2)依题意可设z=a+bi(a,b∈R,a>0,b<0),
因为z的实部与虚部之和为7,且|z|=13,所以解得a=12,b=-5,故z=12-5i.
探究点三
例3 解:(1)|z1|==2,
|z2|= =1,所以|z1|>|z2|.
(2)由|z|=|z1|=2知||=2(O为坐标原点),所以点Z到原点的距离为2,所以点Z的集合是以原点为圆心,2为半径的圆.
变式 (1)10π [解析] 由|z|=|3+4i|得|z|=5,这表明向量(O为坐标原点)的模等于5,即点Z到原点的距离等于5,因此点Z的集合是以原点O为圆心,5为半径的圆,其长度为10π.
(2)解:由题知z0=2i,因为1≤|z1|≤|z0+2|,所以1≤|z1|≤|2+2i|=2,
所以在复平面内z1对应的点Z1组成的集合U是夹在以原点为圆心,1为半径的圆与以原点为圆心,2为半径的圆之间的圆环,
所以集合U对应图形的面积为π×(2)2-π×12=7π.7.1.2 复数的几何意义
1.B [解析] z=-3+2i在复平面内对应的点的坐标为(-3,2),该点位于第二象限.故选B.
2.A [解析] 因为复数z=4+3i,所以=4-3i.
3.C [解析] z=i+i2=-1+i,所以|z|==.故选C.
4.C [解析] 由题意得A,B,所以向量对应的复数为--i,所以向量对应的复数的共轭复数为-+i,故选C.
5.B [解析] 因为z=(m2+3m-4)+(m+2)i在复平面内对应的点在第三象限,所以即
解得-46.A [解析] 由题意可知(|z|-3)(|z|+1)=0,即|z|=3或|z|=-1,∵|z|≥0,∴|z|=3,∴复数z在复平面内对应的点的集合表示的图形是1个圆.
7.B [解析] 因为|z|<,所以|z|2<2,由|z|2=(sin θ)2+cos2θ=2sin2θ+1<2,得sin2θ<,即-8.AC [解析] |z|==,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),该点位于第三象限,B不正确;z的共轭复数为-1+2i,C正确;复数z在复平面内对应的点(-1,-2)不在直线y=-2x上,D不正确.故选AC.
9.CD [解析] 因为复数z1=1-ai(a∈R)对应的点Z1满足||=,所以||==,所以a=±1,所以Z1(1,1)或Z1(1,-1),又点Z与Z1关于实轴对称,所以Z(1,-1)或Z(1,1),所以复数z=1-i或1+i.故选CD.
10.2 [解析] 因为复数z=2-bi(b∈R)的实部为2,虚部为-b,所以由题意可得-b+2=0,解得b=2,所以|z|==2.
11.4π [解析] 由题可知z在复平面内对应的点所构成的图形为半径为2和2的两个同心圆所夹的圆环,则其面积为π×[(2)2-22]=4π.
12.-2 [解析] 设z=a+bi(a>0,a,b∈R),∵复数z在复平面内对应的点在射线y=2x(x≥0)上,∴b=2a,又|z|=,∴==,∴a=1,∴b=2,∴z=1+2i, =1-2i,∴复数的虚部为-2.
13.解:(1)因为复数z=m2-4m-12+(m2-4)i,其中m∈R,z在复平面内对应的点在虚轴上且不是原点,所以解得m=6.
(2)因为z=m2-4m-12+(m2-4)i在复平面内对应的点为(m2-4m-12,m2-4),所以z在复平面内对应的点关于虚轴对称的点为(-m2+4m+12,m2-4).
由题意得解得214.解:(1)由题可知点Z的坐标为(2m-1,m+1),
因为点Z在直线y=2x-6上,
所以m+1=2×(2m-1)-6,解得m=3.
(2)=(2m-1,m+1),=(2,-1),
因为与的夹角为钝角,所以·<0,且与不共线,由·<0,得(2m-1,m+1)·(2,-1)<0,可化为4m-2-m-1<0,可得m<1.
当两向量共线且方向相反时,设=λ,λ<0,
即解得
所以实数m的取值范围为∪.
15. [解析] 因为向量所对应的复数为z1=1+2i,所以A(1,2),又向量所对应的复数为z2=-3-i,所以B(-2,1).因为点C所对应的复数为z3=-i,所以C(,-),又点C与点D关于虚轴对称,所以D(-,-).易知A,B,C,D四点在以(0,0)为圆心,为半径的圆上,故圆M的半径为.
16.解:因为复平面内A,B,C三点对应的复数分别是-2-i,1+i,2i,所以A(-2,-1),B(1,1),C(0,2).
设复平面内点D的坐标为(x,y),则=(3,2),=(-x,2-y),因为四边形ABCD是平行四边形,
所以=,则解得则D(-3,0),
所以=(-4,-1),故||==.7.1.2 复数的几何意义
【学习目标】
1.理解复数的几何意义,了解复数集与平面直角坐标系中的点集、复数与以原点为起点的平面向量的对应关系,理解复平面的概念,理解复数模的概念.
2.了解共轭复数的概念,能利用共轭复数解决一些简单的数学问题.
◆ 知识点一 复平面
如图所示,点Z的横坐标是a,纵坐标是b, 复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作 ,x轴叫作 ,y轴叫作 .实轴上的点都表示实数;除了 外,虚轴上的点都表示纯虚数.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在复平面内,与实数对应的点都在实轴上. ( )
(2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数. ( )
(3)在复平面内,与非纯虚数对应的点都分布在四个象限内. ( )
2.在复平面内,下列各点中对应的复数是纯虚数的是 ( )
A.(1,2) B.(-3,0)
C.(0,0) D.(0,-2)
◆ 知识点二 复数的几何意义
复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点 及以原点为起点,点Z(a,b)为终点的向量 是一一对应的(如图所示).
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数即为向量,反之,向量即为复数. ( )
(2)复数与向量一一对应. ( )
(3)若=(0,-3),则在复平面内对应的复数为-3i . ( )
(4)复数z=1-4i在复平面内对应的点在第四象限.( )
◆ 知识点三 复数的模
(1)定义:向量的 叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值.
(2)记法:复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作 或 .
(3)公式:|z|=|a+bi|= ,其中a,b∈R.
如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模就等于 (a的绝对值).
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数的模一定是正实数. ( )
(2)两个复数的模可以比较大小. ( )
2.已知复数z的实部为-1,虚部为2,则|z|= .
◆ 知识点四 共轭复数
(1)定义:当两个复数的实部 ,虚部 时,这两个复数叫作互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫作 .
(2)表示方法:复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+bi,那么= .
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在复平面内,两个互为共轭复数的复数对应的点关于实轴对称. ( )
(2)实数a的共轭复数仍是a本身. ( )
(3)两个互为共轭复数的复数的模相等. ( )
◆ 探究点一 复数的几何意义
例1 (1)已知在复平面内,O是坐标原点,复数z=2+i对应的点是Z,如果点Z1与点Z关于虚轴对称,点Z2与点Z关于原点对称,分别求与对应的复数.
(2)当实数m满足什么条件时,复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i在复平面内对应的点①在虚轴上 ②在第二象限 ③在直线y=x上
变式 (1)在复平面内,将复数1+i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转得到向量,那么对应的复数是 .
(2)当实数m满足什么条件时,复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点①位于第四象限 ②位于x轴的负半轴上
[素养小结]
(1)在复平面内,解决复数与点的一一对应的问题时,首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、纵坐标,再根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系.
(2)在复平面内,解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
◆ 探究点二 复数模的计算
例2 (1)已知复数z=4+3i,则|z|= ( )
A. B.1
C.5 D.
(2)已知复数z=a+i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则复数z= .
(3)若复数z=(a+2)-2ai的共轭复数的模等于,则实数a的值为 .
变式 (1)求复数z1=6+8i,z2=--i的模,并比较它们的模的大小.
(2)已知复数z在复平面内对应的点位于第四象限.若z的实部与虚部之和为7,且|z|=13,求z.
[素养小结]
(1)通常用复数z=a+bi(a,b∈R)的模的公式|z|=计算复数的模.
(2)已知复数的模求复数,只需套用模长公式解方程.
◆ 探究点三 复数的模的几何意义
例3 已知复数z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小.
(2)设z∈C,且|z|=|z1|,则复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形
变式 (1)设z∈C,则满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面内对应的点Z的集合对应图形的长为 .
(2)复数z0=2i(i为虚数单位),复数z1满足1≤|z1|≤|z0+2|,在复平面内z1对应的点Z1组成的集合为U,求集合U对应图形的面积.
[素养小结]
解决复数模的几何意义的问题时,应根据复数的模的定义|z|=||,并依据|z|满足的条件,判断点Z的集合表示的图形,把复数模的问题转化为几何问题来解决.比较常见的几何图形有直线、圆、圆环等.7.1.2 复数的几何意义
一、选择题
1.设z=-3+2i,则z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若复数z=4+3i,则z的共轭复数= ( )
A.4-3i B.-4-3i
C.3-4i D.-3+4i
3.[2024·浙江精诚联盟高一期中] 已知i是虚数单位,复数z=i+i2,则|z|= ( )
A.1 B.2
C. D.0
4.在复平面内,O是原点,向量对应的复数为-i,其中i为虚数单位.若点A关于虚轴的对称点为B,则向量对应的复数的共轭复数为 ( )
A.+I B.-i
C.-+i D.--i
5.已知复数z=(m2+3m-4)+(m+2)i在复平面内对应的点在第三象限,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-4,1) B.(-4,-2)
C.(-1,4) D.(-1,1)
6.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应的点的集合表示的图形是 ( )
A.1个圆 B.线段
C.2个点 D.2个圆
7.已知z=sin θ+icos θ,θ∈R,则满足|z|<的θ的取值范围是 ( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
8.(多选题)设复数z=-1-2i,i为虚数单位,则下列说法正确的是 ( )
A.|z|=
B.复数z在复平面内对应的点位于第四象限
C.z的共轭复数为-1+2i
D.复数z在复平面内对应的点在直线y=-2x上
9.(多选题)在复平面内,复数z1=1-ai(a∈R)对应的点Z1满足||=(O为坐标原点),若点Z与Z1关于实轴对称,则与点Z对应的复数z可能为 ( )
A.1-i B.1+i
C.1-i D.1+i
二、填空题
10.[2024·茂名高一期中] 若复数z=2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则|z|= .
11.已知复数z满足2≤|z|≤2,则z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 .
12.已知复数z在复平面内对应的点在射线y=2x(x≥0)上,且|z|=,则复数的虚部为 .
三、解答题
13.已知复数z=m2-4m-12+(m2-4)i,其中m∈R.
(1)若z在复平面内对应的点在虚轴上且不是原点,求m的值;
(2)若z在复平面内对应的点关于虚轴对称的点在第一象限,求m的取值范围.
14.[2024·安徽安庆一中高一期中] 已知复数z=(2m-1)+(m+1)i(m∈R)在复平面内对应的点为Z.
(1)若点Z在直线y=2x-6上,求实数m的值;
(2)若O为坐标原点,点A(2,-1),且与的夹角为钝角,求实数m的取值范围.
15.在复平面内,O为坐标原点,向量所对应的复数为z1=1+2i,向量所对应的复数为z2=-3-i,点C所对应的复数为z3=-i,点C与点D关于虚轴对称,若圆M经过A,B,C,D四点,则圆M的半径为 .
16.复平面内A,B,C三点所对应的复数分别为-2-i,1+i,2i,若四边形ABCD为平行四边形,求||的值.
