3.4.2 换底公式 学案5（含答案）
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3.4.2
换底公式
学案
课标解读
1.能推导出对数的换底公式．(重点)2．会用对数换底公式进行化简与求值．(难点易混点)
知识
对数换底公式
【问题导思】
已知对数log864，log264，log28，log464，log48.
1．你能计算出它们各自的值吗？
【提示】 log864＝2，log264＝6，log28＝3，log464＝3，log48＝.
2．对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系？
【提示】 log864＝
3．对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系？
【提示】 log864＝.
换底公式：logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．
特别地，logab·logba=1
(见学生用书第49页)
类型1
利用换底公式化简求值
(1)化简：log225·log3·log5.
(2)计算：(log43＋log83).
【思路探究】 由于所给式子的底数不同，可考虑用换底公式统一底数，然后化简求值．
【自主解答】 (1)原式＝log252·log32－4·log53－2
＝··＝16.
(2)原式＝(＋)·
＝(＋)·lg
2＝.
利用换底公式计算、化简、求值问题的思路：
一是先利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成统一底．
二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值．
计算：(1)log1627·log8132；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
【解】 (1)原式＝·＝·＝.
(2)原式＝(＋)(＋)
＝·＝.
类型2
用已知对数表示其他对数
已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
【思路探究】 运用换底公式，统一化为以18为底的对数．
【自主解答】 法一 因为log189＝a，所以9＝18a，
又5＝18b，
所以log3645＝log2×18(5×9)
＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.
又因为log2×1818＝
＝＝
＝＝，
所以原式＝.
法二 ∵18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝
＝＝
＝＝.
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
1．增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
2．巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
3．注意一些派生公式的使用．
若本例条件不变，求log45(用a，b表示)．
【解】 由18b＝5，得log185＝b，
∴log45＝
＝＝.
类型3
对数的实际应用
光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)至少通过多少块玻璃板以后，光线强度减弱到原来光线强度的以下？(lg
2＝0.3010，lg
3＝0.4771)
【思路点拨】 (1)根据x＝1,2,3时的光线强度值归纳出y与x的关系式．
(2)可通过解不等式求解．
【自主解答】 (1)当x＝1时，y＝0.9a，
当x＝2时，y＝0.92a，
当x＝3时，y＝0.93a，
则经过x块玻璃板后，光线强度值为y＝0.9xa(x∈N)．
(2)由题意得0.9xa＜a，则0.9x＜，
∴x＞log0.9＝＝
＝≈6.57.
即至少通过7块玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的以下．
1．本题通过归纳得到y与x的关系式，这是一种常用的方法．
2．解对数应用题的一般步骤：
某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t＝2时，μ＝0.90
μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时，该种汽车已使用的年数为__________(结果精确到1，参考数据：lg
2＝0.301
0，lg
3＝0.477
1)．
【解】 由0.90μ0＝μ0(e－λ)2，得e－λ＝，
又0.50μ0＝μ0(e－λ)t，
则＝()t，两边取常用对数，得lg＝lg
0.90，
故t＝＝
≈13.
【答案】 13
(对应学生用书第50页)
转化思想在对数问题中的应用
(12分)已知log95＝m,3n＝7，试用含m，n的式子表示log359.
【思路点拨】 在解题时，根据问题的需要，将指数式转化为对数式，再利用换底公式进行运算．
【规范解答】 法一 由3n＝7，得n＝log37，m＝log95＝＝log35，4分
∴log35＝2m.6分
∴log359＝＝＝.12分
法二 由3n＝7，得n＝log37，log95＝＝＝m，4分
∴lg
5＝2mlg
3.6分
∵log37＝＝n，∴lg
7＝nlg
3，8分
∴log359＝＝＝
＝.12分
1．利用对数的换底公式把不同底的对数化成同底的对数，这是解决有关对数问题的基本思想方法．
2．转化思想就是借助某些已知的知识，将待解决的问题转化为我们已知的或熟悉的问题，从而解决问题的思想．
1．换底公式主要用于计算、化简求值，化简时，有两种思路：
(1)根据题目特点，先换部分对数的底进行运算；
(2)直接把题中对数全换成统一底的对数进行运算．
2．换底公式常用推论：
loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；
logab·logba＝1(a>0，b>0，a≠1，b≠1)；
logab·logbc·logcd＝logad(a>0，a≠1，b>0，b≠1，c>0，c≠1，d>0).
(见学生用书第51页)
1．计算：的值为( )
A. B. C．2 D．3
【解析】 ＝＝＝＝＝；或＝＝＝＝.
【答案】 A
2．若2a＝5b＝10，则＋＝________.
【解析】 根据2a＝5b＝10，可将指数式化成对数式得到a＝log210，b＝log510，
于是＋＝＋＝lg
2＋lg
5＝lg(2×5)＝lg
10＝1.
【答案】 1
3．设10a＝2,10b＝3，则log1815＝________(用a，b表示)．
【解析】 由10a＝2,10b＝3得a＝lg
2，b＝lg
3，
又log1815＝＝＝＝.
【答案】
4．计算：23log24＋3log21－lg
3·log32－lg
5.
【解】 原式＝2log243＋30－lg
3×－lg
5
＝43＋1－lg
2－lg
5＝64＋1－lg
10＝64.
(见学生用书第113页)
一、选择题
1．下列等式不成立的是( )
A．log54＝ B．log54＝
C．log54＝
D．log54＝
【解析】 由换底公式的定义知，D不成立．
【答案】 D
2．式子log916·log881的值为( )
A．18 B. C. D.
【解析】 原式＝·
＝·＝.
【答案】 C
3.＋等于( )
A．lg
3
B．－lg
3
C.
D．－
【解析】 原式＝log＋log＝log94＋log35＝log32＋log35＝log310＝.
【答案】 C
4．若logab·log3a＝5，则b＝( )
A．a3
B．a5
C．35
D．53
【解析】 由换底公式得，
·＝5，
化简得lg
b＝5lg
3＝lg
35，
∴b＝35.
【答案】 C
5．(2013·晋城高一检测)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A.
B．10
C．20
D．100
【解析】 ∵2a＝5b＝m，
∴a＝log2m，b＝log5m.
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
∴m2＝10，∴m＝.
【答案】 A
二、填空题
6．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝________.(用a，b表示)
【解析】 由于log37＝＝b，又log23＝a，所以log27＝ab.
【答案】 ab
7．若mlog35＝1，n＝5m＋5－m，则n的值为________．
【解析】 ∵mlog35＝1，∴m＝＝log53，
∴n＝5m＋5－m＝5log53＋5－log53＝3＋5log5＝3＋＝.
【答案】
8.＋log2(－)＝________.
【解析】 原式＝＋log4(－)2
＝(－log32)·3log23＋log42
＝－＋
＝－1.
【答案】 －1
三、解答题
9．计算：(1)(log43＋log83)(log32＋log92)－log；
(2)(log25＋log40.2)(log52＋log250.5)．
【解】 (1)原式＝(log23＋log23)·(log32＋log32)＋log22
＝(log23)·(log32)＋
＝×××＋＝＋＝.
(2)原式＝(log25＋log2)(log52＋log5)
＝(log25＋log25－1)(log52＋log52－1)
＝(log25－log25)(log52－log52)
＝·log25·log52＝.
10．已知一个驾驶员喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.3
mg/mL，在停止喝酒以后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得大于0.08
mg/mL.问若喝了少量酒的驾驶员至少过几个小时后才能驾驶？
【解】 设喝酒x小时后才能驾驶，在x小时后，血液中的酒精含量达0.3×(1－50%)x＝0.3×0.5x
mg/mL.
依题意得0.3×0.5x≤0.08，
∴0.5x≤0.266
7，
∴x≥≈2(小时)．
即大约2小时后，驾驶员才能驾车．
11．已知x，y，z为正数，且3x＝4y＝6z.
(1)求使2x＝py的p的值；
(2)求证：＝－.
【解】 (1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·，
∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)证明 －＝－
＝logk6－logk3
＝logk2＝logk4＝＝.
换底公式
学案
课标解读
1.能推导出对数的换底公式．(重点)2．会用对数换底公式进行化简与求值．(难点易混点)
知识
对数换底公式
【问题导思】
已知对数log864，log264，log28，log464，log48.
1．你能计算出它们各自的值吗？
【提示】 log864＝2，log264＝6，log28＝3，log464＝3，log48＝.
2．对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系？
【提示】 log864＝
3．对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系？
【提示】 log864＝.
换底公式：logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．
特别地，logab·logba=1
(见学生用书第49页)
类型1
利用换底公式化简求值
(1)化简：log225·log3·log5.
(2)计算：(log43＋log83).
【思路探究】 由于所给式子的底数不同，可考虑用换底公式统一底数，然后化简求值．
【自主解答】 (1)原式＝log252·log32－4·log53－2
＝··＝16.
(2)原式＝(＋)·
＝(＋)·lg
2＝.
利用换底公式计算、化简、求值问题的思路：
一是先利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成统一底．
二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值．
计算：(1)log1627·log8132；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
【解】 (1)原式＝·＝·＝.
(2)原式＝(＋)(＋)
＝·＝.
类型2
用已知对数表示其他对数
已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
【思路探究】 运用换底公式，统一化为以18为底的对数．
【自主解答】 法一 因为log189＝a，所以9＝18a，
又5＝18b，
所以log3645＝log2×18(5×9)
＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.
又因为log2×1818＝
＝＝
＝＝，
所以原式＝.
法二 ∵18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝＝
＝＝
＝＝.
用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：
1．增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；
2．巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；
3．注意一些派生公式的使用．
若本例条件不变，求log45(用a，b表示)．
【解】 由18b＝5，得log185＝b，
∴log45＝
＝＝.
类型3
对数的实际应用
光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)至少通过多少块玻璃板以后，光线强度减弱到原来光线强度的以下？(lg
2＝0.3010，lg
3＝0.4771)
【思路点拨】 (1)根据x＝1,2,3时的光线强度值归纳出y与x的关系式．
(2)可通过解不等式求解．
【自主解答】 (1)当x＝1时，y＝0.9a，
当x＝2时，y＝0.92a，
当x＝3时，y＝0.93a，
则经过x块玻璃板后，光线强度值为y＝0.9xa(x∈N)．
(2)由题意得0.9xa＜a，则0.9x＜，
∴x＞log0.9＝＝
＝≈6.57.
即至少通过7块玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的以下．
1．本题通过归纳得到y与x的关系式，这是一种常用的方法．
2．解对数应用题的一般步骤：
某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t＝2时，μ＝0.90
μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时，该种汽车已使用的年数为__________(结果精确到1，参考数据：lg
2＝0.301
0，lg
3＝0.477
1)．
【解】 由0.90μ0＝μ0(e－λ)2，得e－λ＝，
又0.50μ0＝μ0(e－λ)t，
则＝()t，两边取常用对数，得lg＝lg
0.90，
故t＝＝
≈13.
【答案】 13
(对应学生用书第50页)
转化思想在对数问题中的应用
(12分)已知log95＝m,3n＝7，试用含m，n的式子表示log359.
【思路点拨】 在解题时，根据问题的需要，将指数式转化为对数式，再利用换底公式进行运算．
【规范解答】 法一 由3n＝7，得n＝log37，m＝log95＝＝log35，4分
∴log35＝2m.6分
∴log359＝＝＝.12分
法二 由3n＝7，得n＝log37，log95＝＝＝m，4分
∴lg
5＝2mlg
3.6分
∵log37＝＝n，∴lg
7＝nlg
3，8分
∴log359＝＝＝
＝.12分
1．利用对数的换底公式把不同底的对数化成同底的对数，这是解决有关对数问题的基本思想方法．
2．转化思想就是借助某些已知的知识，将待解决的问题转化为我们已知的或熟悉的问题，从而解决问题的思想．
1．换底公式主要用于计算、化简求值，化简时，有两种思路：
(1)根据题目特点，先换部分对数的底进行运算；
(2)直接把题中对数全换成统一底的对数进行运算．
2．换底公式常用推论：
loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
logambn＝logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；
logab·logba＝1(a>0，b>0，a≠1，b≠1)；
logab·logbc·logcd＝logad(a>0，a≠1，b>0，b≠1，c>0，c≠1，d>0).
(见学生用书第51页)
1．计算：的值为( )
A. B. C．2 D．3
【解析】 ＝＝＝＝＝；或＝＝＝＝.
【答案】 A
2．若2a＝5b＝10，则＋＝________.
【解析】 根据2a＝5b＝10，可将指数式化成对数式得到a＝log210，b＝log510，
于是＋＝＋＝lg
2＋lg
5＝lg(2×5)＝lg
10＝1.
【答案】 1
3．设10a＝2,10b＝3，则log1815＝________(用a，b表示)．
【解析】 由10a＝2,10b＝3得a＝lg
2，b＝lg
3，
又log1815＝＝＝＝.
【答案】
4．计算：23log24＋3log21－lg
3·log32－lg
5.
【解】 原式＝2log243＋30－lg
3×－lg
5
＝43＋1－lg
2－lg
5＝64＋1－lg
10＝64.
(见学生用书第113页)
一、选择题
1．下列等式不成立的是( )
A．log54＝ B．log54＝
C．log54＝
D．log54＝
【解析】 由换底公式的定义知，D不成立．
【答案】 D
2．式子log916·log881的值为( )
A．18 B. C. D.
【解析】 原式＝·
＝·＝.
【答案】 C
3.＋等于( )
A．lg
3
B．－lg
3
C.
D．－
【解析】 原式＝log＋log＝log94＋log35＝log32＋log35＝log310＝.
【答案】 C
4．若logab·log3a＝5，则b＝( )
A．a3
B．a5
C．35
D．53
【解析】 由换底公式得，
·＝5，
化简得lg
b＝5lg
3＝lg
35，
∴b＝35.
【答案】 C
5．(2013·晋城高一检测)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A.
B．10
C．20
D．100
【解析】 ∵2a＝5b＝m，
∴a＝log2m，b＝log5m.
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
∴m2＝10，∴m＝.
【答案】 A
二、填空题
6．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝________.(用a，b表示)
【解析】 由于log37＝＝b，又log23＝a，所以log27＝ab.
【答案】 ab
7．若mlog35＝1，n＝5m＋5－m，则n的值为________．
【解析】 ∵mlog35＝1，∴m＝＝log53，
∴n＝5m＋5－m＝5log53＋5－log53＝3＋5log5＝3＋＝.
【答案】
8.＋log2(－)＝________.
【解析】 原式＝＋log4(－)2
＝(－log32)·3log23＋log42
＝－＋
＝－1.
【答案】 －1
三、解答题
9．计算：(1)(log43＋log83)(log32＋log92)－log；
(2)(log25＋log40.2)(log52＋log250.5)．
【解】 (1)原式＝(log23＋log23)·(log32＋log32)＋log22
＝(log23)·(log32)＋
＝×××＋＝＋＝.
(2)原式＝(log25＋log2)(log52＋log5)
＝(log25＋log25－1)(log52＋log52－1)
＝(log25－log25)(log52－log52)
＝·log25·log52＝.
10．已知一个驾驶员喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.3
mg/mL，在停止喝酒以后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得大于0.08
mg/mL.问若喝了少量酒的驾驶员至少过几个小时后才能驾驶？
【解】 设喝酒x小时后才能驾驶，在x小时后，血液中的酒精含量达0.3×(1－50%)x＝0.3×0.5x
mg/mL.
依题意得0.3×0.5x≤0.08，
∴0.5x≤0.266
7，
∴x≥≈2(小时)．
即大约2小时后，驾驶员才能驾车．
11．已知x，y，z为正数，且3x＝4y＝6z.
(1)求使2x＝py的p的值；
(2)求证：＝－.
【解】 (1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，
由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·，
∵log3k≠0，∴p＝2log34.
(2)证明 －＝－
＝logk6－logk3
＝logk2＝logk4＝＝.