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7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
探究点一 复数的加、减运算
探究点二 复数加、减法的几何意义
探究点三 的几何意义的
应用
【学习目标】
1.掌握复数代数表示式的加、减运算法则,并能熟练地进行运算.
2.了解复数加、减运算的几何意义,并能利用几何意义解决简单
数学问题.
知识点一 复数的加、减法运算
1.复数的加、减法运算法则
设， ，
则 _________________，
_________________.
2.复数加法的运算律
（1）交换律： ________.
（2）结合律： _____________.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）复数与复数相加、减后结果为复数.( )
√
（2）复数加法的运算律类同于实数的加法运算律.( )
√
（3）若复数,满足,则 .( )
×
[解析] 两个虚数作差可以等于实数，所以可以比零大，但是两个虚
数是不能比较大小的.
2.复数 _______.
[解析] .
知识点二 复数加、减法的几何意义
1.如图，设在复平面内复数， 对应的向量分别
为，，以， 为邻边作平行四边形，
则与对应的向量是____，与 对应的向
量是______.
2.复平面内两点, 之间的距离为
_______________________.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）复数加、减法的几何意义类同于向量加、减法运算的几何意义.
( )
√
（2）的几何意义是复数在复平面内对应的点 与
复数在复平面内对应的点 之间的距离.( )
√
（3）已知复数， ，则复平面内这两个复数对
应的点之间的距离为8.( )
√
探究点一 复数的加、减运算
［探索］ 两个实数可随意相加,那么两个或两个以上的复数相加,具
体怎么运算呢
解：两个或两个以上的复数相加就是把实部与实部、虚部与虚部分
别相加.
例1 计算：
（1） _______；
[解析] .
（2） _________；
[解析] 原式 .
（3）若,,则 _____________.
[解析] .
变式（1） 设,，若，其中 是虚数单位，
则 ___.
7
[解析] 因为，所以,，即 ,
，所以 .
（2）已知, ,若
,则 ___.
3
[解析] ,
解得 .
（3）设，，且 ，则
__________.
[解析] 因为，， ，所以
，所以解得 所以
.
［素养小结］
复数的加、减法运算技巧
（1）对于复数的加减运算,只要把实部与实部、虚部与虚部分别相加
减即可.类比实数的加减运算,若有括号,则先计算括号内的;若没有括
号,则可从左到右依次进行计算.
（2）算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实
部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.
探究点二 复数加、减法的几何意义
例2 如图所示,在复平面内,平行四边形的顶点 ,
,分别对应复数0,, .求:
（1）向量 表示的复数;
解：因为,所以表示的复数为 .
（2）向量表示的复数及， 两点之间的距离；
解：因为,所以 表示的复数为
，则 .
（3）向量表示的复数及， 两点之间的距离.
解：因为,所以 表示的复数为
，则 .
变式（1） 若,， 在复平面内对应
的点在实轴上，则 ( )
A.3 B.2 C.1 D.
[解析] 在复平面内对应的
点在实轴上，，解得 ．故选D.
√
（2）在复平面内，，，三点分别对应复数1,， .
①求，， 对应的复数；
解：因为，，三点分别对应复数1,，，所以 ，
，为坐标原点对应的复数分别为1,， .
因为，所以对应的复数为 ；
因为，所以对应的复数为 ；
因为，所以 对应的复数为.
综上，对应的复数为， 对应的复数为，对应的
复数为 .
②判断 的形状.
解：因为， ，
，所以 ，所以
是直角三角形.
［素养小结］
复数与向量的对应关系的两个关注点
（1）复数与以原点为起点， 为终点的向
量一一对应.
（2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所
对应的复数可能改变.
探究点三 的几何意义的应用
例3（1） 如果复数满足，那么 的最小
值是( )
A.1 B. C.2 D.
[解析] 设复数，，，在复平面内对应的点分别为， ，
，.
因为,，所以点 的轨迹为线段，
原问题可转化为动点在线段上移动，求 的最小值.
易知，所以 .
√
（2）设，，已知， ，求
.
解：方法一：作出，对应的向量，为坐标原点 ，使
.
，，， 不共线，
连接，，则四边形 为菱形，
又， 四边形 为正方形，
.
方法二：设， ，由题知
，，
， ，
， .
方法三： ，将已知数据代入，
可得，则 .
变式 [2024·菏泽一中高一月考] 设是复数且 ，求
的最小值.
解：设复数在复平面内表示的点为 ，根据复数模的几何意义可知，
点的集合为复平面内以为圆心，1为半径的圆，
又 表示点 到原点的距离，
所以 .
［素养小结］
表示复平面内， 对应的两点间的距离，利用此性质，可
把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形
结合，把复数问题转化为几何问题求解.
1.两个实数的差是实数，但是两个虚数的差不一定是虚数，例如
.
2.把复数的代数形式看成关于“ ”的多项式，则复数的加、减法类似
于多项式的加、减法，只需要“合并同类项”就可以了.
3.根据复数的几何意义，复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算
或向量的加、减法运算，复数的加、减运算用向量进行时，同样满
足平行四边形法则和三角形法则.
4.复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提
供了可能，对于一些比较复杂的复数运算问题,特别是与模有关的问
题,将复数转化为点或向量有助于问题的解决.
5.设, ，则
的几何意义为复平面内复数对应的点到复数 对应的点的
距离;
中所对应的点为以复数所对应的点为圆心,
为半径的圆上的点.
6.复数与平行四边形的关系
在复平面内，，对应的点分别为，，对应的点为，
为坐标原点，则四边形 为平行四边形.
若，则四边形 为矩形；
若，则四边形 为菱形；
若且，则四边形 为正方形.
1.共轭复数问题
例1 对任意复数， 为虚数单位，下列结论中正
确的是( )
B
A. B.
C.不可能为实数 D. 可能为虚数
[解析] 由题知，，则，故A错误；
当 时，，为实数，故C错误；
，为实数，故B正确，D错误.故选B.
2.复数模的几何意义
例2 设，则满足下列条件的复数 在复平面内对应的点的集合是
什么图形？
（1） ；
解：满足的复数在复平面内对应的点的集合是以 为
圆心，1为半径的圆.
（2） .
解：， 复数在复平面内对应的点到 和
的距离相等，即复数在复平面内对应的点的集合是以 和
为端点的线段的中垂线.
例3 在复平面内，的三个顶点所对应的复数分别为,, ，
复数满足，则对应的点是 的
( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
[解析] 设复数在复平面内对应的点为，由 的三个顶点所对
应的复数分别为,,及，可知点 到
的三个顶点的距离相等，
由三角形外心的定义，可知点 为 的外心，故选A.
√
例4 已知，，求证： .
证明：设复平面上的点，是复数， 所对应的点，
向量，是复数，所对应的向量，其中 为坐标原点，
， .
当， 不共线时，如图所示，平行四边
形 的一条对角线所成向量
，
向量是复数 所对应的向量，
，
在 中，由“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小
于第三边”的性质可得，
，
，
；
当且仅当， 共线且方向相同，即
且时， ；
当且仅当， 共线且方向相反，即
且时， .
综上所述， .
练习册
一、选择题
1.已知为虚数单位，复数，，则 等于
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意， .故选C.
√
2.设复数为虚数单位，则 的模为( )
A. B.5 C. D.10
[解析] ,,故 ．故
选C.
√
3.设复数,在复平面内对应的点关于实轴对称， ,则
( )
A. B.6 C. D.
[解析] 依题意得，所以 .故选B.
√
4.已知复数在复平面内对应的点为 ，则( )
A.是实数 B. 是纯虚数
C.是实数 D. 是纯虚数
[解析] 由题意得，则 ，故A，B错误；
，为实数，故C正确；
，不是纯虚数，故D错误.故选C.
√
5.[2024·丽水五校高一期中]已知复数, 是虚数单
位，若，则复数 的虚部为( )
A. B. C. D.
[解析] ，则
解得则复数的虚部为 .故选A.
√
6.在复平面内,一个正方形的3个顶点对应的复数分别是, ,
0,则第4个顶点对应的复数为( )
A. B. C. D.
[解析] 在复平面内,设复数,,0对应的点分别为 ,
,,则且,所以该正方形以, 为邻边.
设第4个顶点为,则,即 解得
所以,即第4个顶点对应的复数为 ,故选B.
√
7.,分别是复数,在复平面内对应的点, 为坐标原点,若
,则 一定是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
[解析] 由题可知，以, 为邻边所作的平行四边形的对角线相等,
则此平行四边形为矩形,故 一定是直角三角形.故选B.
√
8.（多选题）设复数的共轭复数为，若, ，
则 可能为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，则 ，由题意可得
解得或所以 或
.故选 .
√
√
9.（多选题）已知复数为虚数单位 在复平面内对应的点
为,复数满足 ，则下列结论正确的是( )
A.点的坐标为 B.
C.的最大值为 D.的最小值为
[解析] 复数为虚数单位在复平面内对应的点为 ，则
，，故A,B正确；
由复数满足 ,可得在复平面内对应的点的集合是以
为圆心，1为半径的圆，连接，则 的最大值为
，最小值为
，故C正确，D不正确．故选 .
√
√
√
二、填空题
10.化简： _______.
[解析] .
11.已知复数,.若，且复数 的实部为复数
的虚部，则复数 ______________.
或
[解析] 设，因为，所以 .
因为,所以复数 的虚部为4.
因为复数的实部为复数的虚部，所以，
又由 ，解得，所以或 .
12.设复数，满足，且，其中
为虚数单位，则 _____.
[解析] 方法一：设，，，，， .
， ，
，
， ，
，，
．
方法二：设，，,,, .
， ，即
，
设为坐标原点,,, 在复平面内对应的点分别为,,，连接
，，，， ，
,是边长为2的正三角形,
四边形是一个内角为 ,边长为2的菱形,且 是菱形
的较长的对角线 的长,
.
三、解答题
13.（1）计算： .
解： .
（2）已知，，求， .
解：， ，
，
.
14.已知复平面内平行四边形，点对应的复数为 ，向量
对应的复数为，向量对应的复数为 .
（1）求点 对应的复数；
解： 在复平面内，向量对应的复数为 ,
向量对应的复数为,， ，
，
易知点的坐标为，则设 为坐标原点，
则 ，
，
点 对应的复数为5.
（2）求平行四边形 的面积.
解： ，
.
，， 平行四边形 的面积为
.
15.在复平面内，已知复数满足为虚数单位 ，记
对应的点为，对应的点为，则点与点 之间距离的
最小值为_ ___.
[解析] 设复数，则， ,
,
，
,整理得，
又 在复平面内对应的点为， 点与点 之间的距离
， ．
16.[2024·安庆一中高一期中] 定义一种运算： .
（1）已知为复数，且，求 ；
解：设, ，因为
，
所以即
则，故 .
（2）已知，为实数， 也是实
数，将表示为 的函数.
解： 为实数，则 ，
所以 .7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
【课前预习】
知识点一
1.(a+c)+(b+d)i (a-c)+(b-d)i
2.(1)z2+z1 (2)z1+(z2+z3)
诊断分析
1.(1)√ (2)√ (3)× [解析] (3)两个虚数作差可以等于实数,所以可以比零大,但是两个虚数是不能比较大小的.
2.-1+i [解析] (1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.
知识点二
1. 2.
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√
【课中探究】
探究点一
探索 解:两个或两个以上的复数相加就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加.
例1 (1)3+2i (2)-4-10i (3)2+(2b-3)i
[解析] (1)(-2+3i)+(5-i)=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.
(2)原式=(3-4-3)+(-5-1-4)i=-4-10i.
(3)(2-3i)-(a-b)i+(a+b)i=2-3i+[-(a-b)+(a+b)]i=2+(2b-3)i.
变式 (1)7 (2)3 (3)-1+10i [解析] (1)因为x+(y-1)i=3+xi,所以x=3,y-1=x,即x=3,y=4,所以x+y=7.
(2)∵z1-z2=a+(a+1)i-[-3b+(b+2)i]=+(a-b-1)i=4,∴
解得∴a+b=3.
(3)因为z1=x+2i,z2=3-yi,z1+z2=5-6i,所以(x+3)+(2-y)i=5-6i,所以解得所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=(2-3)+[2-(-8)]i=-1+10i.
探究点二
例2 解:(1)因为=-,所以表示的复数为-3-2i.
(2)因为=-,所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i,则|AC|==.
(3)因为=+,所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,则|OB|==.
变式 (1)D [解析] ∵z1+z2=2+i+(3+ai)=5+(1+a)i在复平面内对应的点在实轴上,∴1+a=0,解得a=-1.故选D.
(2)解:①因为A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i,所以,,(O为坐标原点)对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.因为=-,所以对应的复数为(2+i)-1=1+i;因为=-,所以对应的复数为(-1+2i)-1=-2+2i;因为=-,所以对应的复数为(-1+2i)-(2+i)=-3+i.综上,对应的复数为1+i,对应的复数为-2+2i,对应的复数为-3+i.
②因为||==,||==2,||==,所以||2+||2=||2,所以△ABC是直角三角形.
探究点三
例3 (1)A [解析] 设复数z,-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3.因为|z+i|+|z-i|=2, |Z1Z2|=2,所以点Z的轨迹为线段Z1Z2,原问题可转化为动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.易知|ZZ3|min=1,所以|z+i+1|min=1.
(2)解:方法一:作出z1,z2对应的向量,(O为坐标原点),使+=.∵|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,∴,不共线,连接ZZ1,ZZ2,则四边形OZ1ZZ2为菱形,又|z1|2+|z2|2=|z1+z2|2,∴四边形OZ1ZZ2为正方形,∴|z1-z2|=.
方法二:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),由题知a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2.∵(a+c)2+(b+d)2=a2+2ac+c2+b2+2bd+d2,∴2ac+2bd=0,∴|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-(2ac+2bd)=2,∴|z1-z2|=.
方法三: |z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2),将已知数据代入,可得|z1-z2|2=2,则|z1-z2|=.
变式 解:设复数z在复平面内表示的点为Z,根据复数模的几何意义可知,点Z的集合为复平面内以(1,-2)为圆心,1为半径的圆,又|z|表示点Z到原点的距离,
所以|z|min=-1=-1.7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
1.C [解析] 由题意,z1+z2=(2+i)+(1-2i)=3-i.故选C.
2.C [解析] ∵z=-1-i,∴2-z=3+i,故|2-z|==.故选C.
3.B [解析] 依题意得z2=3-4i,所以z1+z2=6.故选B.
4.C [解析] 由题意得z=-1+i,则z-1=-2+i,故A,B错误;z-i=-1,为实数,故C正确;z+i=-1+2i,不是纯虚数,故D错误.故选C.
5.A [解析] z-2=a+bi-2(a-bi)=-a+3bi=2+3i,则解得则复数z的虚部为.故选A.
6.B [解析] 在复平面内,设复数1+2i,-2+i,0对应的点分别为A(1,2),B(-2,1),O(0,0),则⊥且||=||,所以该正方形以OA,OB为邻边.设第4个顶点为D(x,y),则=,即解得所以D(-1,3),即第4个顶点对应的复数为-1+3i,故选B.
7.B [解析] 由题可知,以OA,OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故△AOB一定是直角三角形.故选B.
8.AC [解析] 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,由题意可得解得或所以z=1-7i或-1-7i.故选AC.
9.ABC [解析] 复数z1=2-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1,则P1(2,-2),=2+2i,故A,B正确;由复数z2满足|z2-i|=1,可得z2在复平面内对应的点的集合是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆,连接CP1,则|z1-z2|的最大值为|CP1|+1=+1=+1,最小值为|CP1|-1=-1,故C正确,D不正确.故选ABC.
10.5+3i [解析] (1+2i)+(i+i2)+|3+4i|=(1+2i)+(i-1)+=(1+2i)+(i-1)+5=(1-1+5)+(2+1)i=5+3i.
11.4+3i或4-3i [解析] 设z=a+bi(a,b∈R),因为|z|=5,所以a2+b2=25.因为z1-z2=(2+i)-(2-3i)=4i,所以复数z1-z2的虚部为4.因为复数z的实部为复数z1-z2的虚部,所以a=4,又由a2+b2=25,解得b=±3,所以z=4+3i或4-3i.
12.2 [解析] 方法一:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.∵z1+z2=(a+c)+(b+d)i=-i,∴a+c=,b+d=-,∴a2+c2+2ac+b2+d2+2bd=4,∴ac+bd=-2,∴|z1-z2|=|(a-c)+(b-d)i|====2.
方法二:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.∵z1+z2=(a+c)+(b+d)i=-i,∴|z1+z2|=2,即|z1|=|z2|=|z1+z2|=2,设O为坐标原点,z1,z2,z1+z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,连接OA,OB,OC,AC,BC,AB.∵|z1|=|z2|=|z1+z2|=2,∴△OAC是边长为2的正三角形,∴四边形OACB是一个内角为60°,边长为2的菱形,且|z1-z2|是菱形的较长的对角线AB的长,∴|z1-z2|=|AB|==2.
13.解:(1)+(2-i)-=+i=1+i.
(2)∵z1=2+3i,z2=-1+2i,∴z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
14.解:(1)∵在复平面内,向量对应的复数为1+2i,
向量对应的复数为3-i,∴=(1,2),=(3,-1),
∴=+=(1,2)+(3,-1)=(4,1),
易知点A的坐标为(2,1),则设O为坐标原点,
则=-=(2,1)-(1,2)=(1,-1),
∴=+=(1,-1)+(4,1)=(5,0),
∴点D对应的复数为5.
(2)∵·=||||cos B,
∴cos B===.
∵B∈(0,π),∴sin B=,∴平行四边形ABCD的面积为||||sin B=××=7.
15. [解析] 设复数z=a+bi(a,b∈R),则Z(a,b),z-1=a-1+bi,z+i=a+(b+1)i,∵|z-1|=|z+i|,∴=,整理得a+b=0,又z0=2+i在复平面内对应的点为Z0(2,1),∴点Z0与点Z之间的距离d==,∴dmin=.
16.解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),因为(3,)=3z+4=3(a+bi)+4(a-bi)=7a-bi=7-3i,
所以即
则z=1+3i,故|z|==.
(2)(y+sin 2x,2)-(1,sin2x)=(2y-sin x)+(y+sin 2x-2sin2x)i为实数,则y+sin 2x-2sin2x=0,所以y=-sin 2x+2sin2x=-sin 2x+2×=-(sin 2x+cos 2x)+=-2sin+.7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
【学习目标】
1.掌握复数代数表示式的加、减运算法则,并能熟练地进行运算.
2.了解复数加、减运算的几何意义,并能利用几何意义解决简单数学问题.
◆ 知识点一 复数的加、减法运算
1.复数的加、减法运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
则z1+z2= ,
z1-z2= .
2.复数加法的运算律
(1)交换律:z1+z2= .
(2)结合律:(z1+z2)+z3= .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数与复数相加、减后结果为复数. ( )
(2)复数加法的运算律类同于实数的加法运算律.( )
(3)若复数z1,z2满足z1-z2>0,则z1>z2. ( )
2.复数(1-i)-(2+i)+3i= .
◆ 知识点二 复数加、减法的几何意义
1.如图,设在复平面内复数z1,z2对应的向量分别为,,以OZ1,OZ2为邻边作平行四边形,则与z1+z2对应的向量是 ,与z1-z2对应的向量是 .
2.复平面内两点Z1(x1,y1),Z2(x2,y2)之间的距离为 .
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数加、减法的几何意义类同于向量加、减法运算的几何意义. ( )
(2)|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是复数z在复平面内对应的点Z与复数z0在复平面内对应的点Z0之间的距离. ( )
(3)已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则复平面内这两个复数对应的点之间的距离为8. ( )
◆ 探究点一 复数的加、减运算
[探索] 两个实数可随意相加,那么两个或两个以上的复数相加,具体怎么运算呢
例1 计算:(1)(-2+3i)+(5-i)= ;
(2)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i)= ;
(3)若a,b∈R,则(2-3i)-(a-b)i+(a+b)i= .
变式 (1)设x,y∈R,若x+(y-1)i=3+xi,其中i是虚数单位,则x+y= .
(2)已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=4,则a+b= .
(3)设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,则z1-z2= .
[素养小结]
复数的加、减法运算技巧
(1)对于复数的加减运算,只要把实部与实部、虚部与虚部分别相加减即可.类比实数的加减运算,若有括号,则先计算括号内的;若没有括号,则可从左到右依次进行计算.
(2)算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.
◆ 探究点二 复数加、减法的几何意义
例2 如图所示,在复平面内,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数0,3+2i,-2+4i.求:
(1)向量表示的复数;
(2)向量表示的复数及A,C两点之间的距离;
(3)向量表示的复数及O,B两点之间的距离.
变式 (1)若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),z1+z2在复平面内对应的点在实轴上,则a= ( )
A.3 B.2
C.1 D.-1
(2)在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.
①求,,对应的复数;
②判断△ABC的形状.
[素养小结]
复数与向量的对应关系的两个关注点
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)与以原点为起点,Z(a,b)为终点的向量一一对应.
(2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可能改变.
◆ 探究点三 |z-z0|(z,z0∈C)的几何意义的应用
例3 (1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是 ( )
A.1 B.
C.2 D.
(2)设z1,z2∈C,已知|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,求|z1-z2|.
变式 [2024·菏泽一中高一月考] 设z是复数且|z-1+2i|=1,求|z|的最小值.
[素养小结]
|z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离,利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何问题求解.7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
一、选择题
1.已知i为虚数单位,复数z1=2+i,z2=1-2i,则z1+z2等于 ( )
A.1+i B.2-i
C.3-i D.-i
2.设复数z=-1-i(i为虚数单位),则2-z的模为 ( )
A. B.5
C. D.10
3.设复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,z1=3+4i,则z1+z2= ( )
A.-6 B.6
C.8i D.-8i
4.已知复数z在复平面内对应的点为(-1,1),则 ( )
A.z-1是实数 B.z-1是纯虚数
C.z-i是实数 D.z+i是纯虚数
5.[2024·丽水五校高一期中] 已知复数z=a+bi(a,b∈R),i是虚数单位,若z-2=2+3i,则复数z的虚部为 ( )
A. B.2
C.i D.2i
6. 在复平面内,一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i,0,则第4个顶点对应的复数为 ( )
A.-1+2i B.-1+3i
C.3i D.-+3i
7.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O为坐标原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
8.(多选题)设复数z的共轭复数为,若z-=-14i,||=5,则z可能为 ( )
A.1-7i B.1+7i
C.-1-7i D.-1+7i
9.(多选题)已知复数z1=2-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1,复数z2满足|z2-i|=1,则下列结论正确的是 ( )
A.点P1的坐标为(2,-2)
B.=2+2i
C.|z1-z2|的最大值为+1
D.|z1-z2|的最小值为-1
二、填空题
10.化简:(1+2i)+(i+i2)+|3+4i|= .
11.已知复数z1=2+i,z2=2-3i. 若|z|=5,且复数z的实部为复数z1-z2的虚部,则复数z= .
12.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,且z1+z2=-i,其中i为虚数单位,则|z1-z2|= .
三、解答题
13.(1)计算:+(2-i)-.
(2)已知z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2.
14.已知复平面内平行四边形ABCD,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i.
(1)求点D对应的复数;
(2)求平行四边形ABCD的面积.
15.在复平面内,已知复数z满足|z-1|=|z+i|(i为虚数单位),记z0=2+i对应的点为Z0,z对应的点为Z,则点Z0与点Z之间距离的最小值为 .
16.[2024·安庆一中高一期中] 定义一种运算:(a,b)=ac+bd.
(1)已知z为复数,且(3,)=7-3i,求|z|;
(2)已知x,y为实数,(y+sin 2x,2)-(1,sin2x)也是实数,将y表示为x的函数.
