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7.2 复数的四则运算
7.2.2 复数的乘、除运算
探究点一 复数的乘法运算
探究点二 复数的除法运算
探究点三 复数范围内的方程根的问题
【学习目标】
掌握复数代数表示式的乘、除运算法则,并能熟练地进行计算.
知识点一 复数的乘法法则及运算律
1.复数的乘法法则
设， 是任意两个复数，那么它们
的积 __________________
____.
2.复数乘法的运算律
对于任意，， ，有
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）互为共轭复数的两个复数的和与积都是实数.( )
√
（2）若，，且，则 .( )
×
（3） .( )
×
[解析] 例如，而 .
（4）已知,,，若，则 .( )
×
[解析] 取,,，显然有，但
不成立.
知识点二 复数的除法法则
____________，，， ，且
.
【诊断分析】
1.计算： ______.
[解析] .
2.复数的除法与实数的除法有何不同
解：实数的除法可以直接约分化简得出结果,但复数的除法中分母为复
数,一般不能直接约分化简.
因为两个共轭复数的积是一个实数,所以两个复数相除时,可以先把它们
的商写成分式的形式,然后把分子、分母同乘分母的共轭复数（注意是
分母的共轭复数）,再把结果化简即可.
探究点一 复数的乘法运算
例1 计算：
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
（3） .
解： .
变式（1） ( )
A. B. C. D.
[解析] ，故选B.
√
（2）已知，，是虚数单位，若与 互为共轭复数，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为与互为共轭复数，所以， ，所以
.故选D.
√
（3）若复数，则 ___.
2
[解析] 因为，，，，且 ，
所以，
则 ,所以 .
［素养小结］
两个复数的乘法运算的常用公式
（1） .
（2） .
（3） .
探究点二 复数的除法运算
例2 计算：
（1） ；
解： .
（2） .
解：
.
变式（1） [2024·丽水五校高一月考]若复数满足， 是
虚数单位，则在复平面内 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 由题意，复数 ，所以在
复平面内对应的点为 ，位于第二象限.故选B.
√
（2）已知,设，则 __．
[解析] , ，
，， ．
（3）已知为虚数单位，则 _______.
[解析]
.
［素养小结］
1.两个复数的除法运算的一般步骤
（1）首先将除式写为分式；
（2）再将分子、分母同乘分母的共轭复数；
（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数
形式.
2.常用公式
（1）；（2）；（3） .
探究点三 复数范围内的方程根的问题
例3 已知是方程的一个根，为实数 .
（1）求， 的值；
解：由题知，即 ，
所以解得
（2）试判断 是否为该方程的根.
解：由（1）知，原方程为 ，因为
，所以 是该方程的根.
变式（1） 在复数范围内解方程 .
解：由，得，故 ，解得
， .
（2）已知关于的方程的一个虚根为
（其中为虚数单位），求实数 .
解：依题意，关于的方程的根为 ，
由根与系数的关系得 .
［素养小结］
解决实系数一元二次方程问题的注意点
（1）解决实系数一元二次方程问题的基本依据是复数相等的充要条件.
（2）与在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程
问题，根与系数的关系和求根公式仍然适用，但是用判别式判断方
程根的功能就发生改变了.
1.复数的乘法与多项式的乘法的区别
复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果
中把换成 ，再把实部、虚部分别合并.
2.复数代数形式的除法运算的实质是分母“实数化”,即分子以及分母
同乘分母的“实数化”因式.类似于以前所学的把分母“有理化”.
3.有关虚数单位 的运算
虚数的乘方及其规律:,,,,, ,
,, .可见,, ,
,即 的乘方具有周期性且最小正周期为4.
4.复数常见的运算小结论
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
5.常用公式
； ；
.
6.（1）设出复数的代数形式 ，用代入法解题是
一种基本而常用的方法;
（2）复数的相等 是实
现复数运算转化为实数运算的重要方法.
这两种方法必须切实掌握.
7.在复数范围内，实系数一元二次方程 的求
根公式为
（1）当时，；
（2）当 时， .
1.共轭复数及其应用
（1） ，利用这个性质可证明一个复数为实数.
（2）若且，则 为纯虚数，利用这个性质可证明一个
复数为纯虚数.
（3） .
（4）若，则， .
（5），, .
例1 已知复数，是的共轭复数，则 等于( )
A. B. C.1 D.2
[解析] 方法一：
，
， .
方法二：， ，
.
√
2.复数与方程
例2 已知复数,，为虚数单位 ．
（1）若，求 ；
解：若，则, ,
.
（2）若是关于的实系数方程 的一个复数根，求
.
解：是关于的实系数方程 的一个复数根，
，
又， ，
,,
则 ,
．
练习册
一、选择题
1.已知复数,则 的虚部为( )
A.3 B. C.4 D.
[解析] , 的虚部为4.故选C.
√
2. ( )
A. B. C. D.
[解析] .故选C.
√
3.[2024·广州增城一中高一月考]已知 是虚数单位，则复数
的模为( )
A.2 B. C.10 D.
[解析] 因为 ，所以复数
的模为 .故选D.
√
4.若复数满足，则 的共轭复数在复平面内对应的
点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 由 ，得
，则，所以 的共轭复数在复平面
内对应的点的坐标为 ，该点位于第一象限.故选A.
√
5.已知是关于的方程的一个根，其中 ,
，则 ( )
A.18 B.16 C.9 D.8
√
[解析] 方法一：由题意得 ，化简得
，所以解得
所以 .故选A.
方法二：因为是关于的实系数方程 的一个
根，所以也是方程 的根，所以由根与系数的
关系得，，解得 ，
，所以 .
6.定义运算，则符合条件
是虚数单位的复数 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 由题意可知，，则 ，
可得，所以复数 在复平面内对应的点
的坐标为 ，该点位于第三象限.故选C.
√
7.（多选题）[2024·长沙雅礼中学高一月考] 设， 为复数，则下
列结论中正确的是( )
A.
B.
C.若，则
D.若，则 的最大值为3
√
√
[解析] 设, ，则
， ，故A正确;
，而 ，故B错误；
当，取任意的复数时，都有，但 ，
故C错误；
的几何意义为单位圆上的点与点 之间的距离，易知
的最大值为3，故D正确.故选 .
8.（多选题）已知集合,，其中 为虚数单位，
则下列元素属于集合 的是( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意，,，当
时，，当时， ，当
时，，当时， ，,1,,}.
对于选项A， ；
对于选项B，；
对于选项C， ；
对于选项D，.故选 .
√
√
二、填空题
9.已知复数满足为虚数单位，则 _ ___ .
[解析] 因为 ，所以
，所以
.
10.写出一个虚数，使得为纯虚数，则 _________________
____.
（答案不唯一）
[解析] 设 ，则
为纯虚数，
且，可取，，此时 .
11.[2024·宁波镇海中学高一期中] 已知复数满足方程 ，
其中为虚数单位，,.若，则 的最小值为__.
[解析] ，，即， ，
，的最小值为 .
三、解答题
12.计算： .
解：原式 .
13.[2024·新余一中高一月考] 已知关于的方程 ，
其中， 为实数.
（1）设是虚数单位是该方程的根，求， 的值；
解：是该方程的根， 也是该方程的根，由一
元二次方程根与系数的关系得 ，
，解得， .
（2）证明：当，且 时，该方程无实数根.
证明：，且， ，
，即 ，
， 原方程无实数根.
14.已知复数，，其中 是虚数单位．
（1）若，求实数 的值；
解：因为，， ，所以
，所以解得 ，故实
数 的值为2．
（2）若是纯虚数，是正实数，求。。。。．
解：依题意得 ，
因为是纯虚数，所以解得或 ，
又因为是正实数，所以，所以 ,所以
.7.2.2 复数的乘、除运算
【课前预习】
知识点一
1.(ac-bd)+(ad+bc)i 2.z2z1 z1(z2z3) z1z2+z1z3
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)× [解析] (3)例如|i|2=1,而i2=-1.
(4)取z1=0,z2=i,z3=-i,显然有z1z2=z1z3=0,但z2=z3不成立.
知识点二
诊断分析
1.2-i [解析] ===2-i.
2.解:实数的除法可以直接约分化简得出结果,但复数的除法中分母为复数,一般不能直接约分化简.因为两个共轭复数的积是一个实数,所以两个复数相除时,可以先把它们的商写成分式的形式,然后把分子、分母同乘分母的共轭复数(注意是分母的共轭复数),再把结果化简即可.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)(1+2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.
(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25.
(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=22-14i+(25-25i)=47-39i.
变式 (1)B (2)D (3)2 [解析] (1)(1-i)(1+i)=(1-i)(1+i)·=(1-i2)=2=-1+i,故选B.
(2)因为a-i与2+bi互为共轭复数,所以a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.故选D.
(3)因为i=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,且i+i2+i3+i4=0,所以z=i+i2+i3+…+i10=i+i2+i3+i4+i4(i+i2+i3+i4)+i8·i+i8·i2=i+i2=-1+i,则=-1-i,所以z·=(-1+i)·(-1-i)=2.
探究点二
例2 解:(1)+(--i)3+=-i++=-i-8i+i=-8i.
(2)=====-2-2i.
变式 (1)B (2) (3)-1+i [解析] (1)由题意,复数z====-+i,所以在复平面内z对应的点为,位于第二象限.故选B.
(2)∵z=4+i,∴=====a+bi,∴a=,b=,∴a+b=.
(3)-=-=-i1012=-1+i.
探究点三
例3 解:(1)由题知(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,所以解得
(2)由(1)知,原方程为x2-2x+2=0,因为(1-i)2-2(1-i)+2=0,所以1-i是该方程的根.
变式 解:(1)由x2-4x+5=0,得(x-2)2=-1,故x-2=±i,解得x1=2+i,x2=2-i.
(2)依题意,关于x的方程x2-2x+c=0的根为1±2i,
由根与系数的关系得c=(1+2i)(1-2i)=12-(2i)2=5.7.2.2 复数的乘、除运算
1.C [解析] ∵z=(2+i)2=4+4i+i2=3+4i,∴z的虚部为4.故选C.
2.C [解析] ==2+i.故选C.
3.D [解析] 因为(1-i)(2+i)=2+i-2i-i2=3-i,所以复数(1-i)(2+i)的模为=.故选D.
4.A [解析] 由z(1+i)=|-i|==2,得z===1-i,则=1+i,所以z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1),该点位于第一象限.故选A.
5.A [解析] 方法一:由题意得2(-2+i)2+m(-2+i)+n=0,化简得-2m+n+6+(m-8)i=0,所以解得所以m+n=18.故选A.
方法二:因为-2+i是关于x的实系数方程2x2+mx+n=0的一个根,所以-2-i也是方程2x2+mx+n=0的根,所以由根与系数的关系得-2+i-2-i=-,(-2+i)(-2-i)=,解得m=8,n=10,所以m+n=18.
6.C [解析] 由题意可知,=0,则z·2i-(-i)×(1+i)=0,可得z===--i,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为,该点位于第三象限.故选C.
7.AD [解析] 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|z1|2=a2+b2,故A正确;=(c+di)2=c2-d2+2cdi,而|z2|2=c2+d2,故B错误;当z1=0,z2(z2≠0)取任意的复数时,都有z1z2=|z1|2,但≠z2,故C错误;|z1+2i|的几何意义为单位圆上的点与点(0,-2)之间的距离,易知|z1+2i|的最大值为3,故D正确.故选AD.
8.BC [解析] 根据题意,M={m|m=in,n∈N*},当n=4k+1(k∈N)时,in=i,当n=4k+2(k∈N)时,in=-1,当n=4k+3(k∈N)时,in=-i,当n=4k+4(k∈N)时,in=1,∴M={-1,1,i,-i}.对于选项A,(1-i)(1+i)=2 M;对于选项B,==-i∈M;对于选项C,==i∈M;对于选项D,(1-i)2=-2i M.故选BC.
9. [解析] 因为(1-i)z=2i-1,所以z====,所以|z|==.
10.1+2i(答案不唯一) [解析] 设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2+3=(a+bi)2+3=a2-b2+3+2abi为纯虚数,∴a2-b2+3=0且2ab≠0,可取a=1,b=2,此时z=1+2i.
11. [解析] ∵z·=|z|2=1,∴|z|=1,即=1,∴b2=a2+1,∴b2+a=a2+a+1=+≥,∴b2+a的最小值为.
12.解:原式=(2-3i)·++=(2-3i)(1+i)+1+1=5-i+1+1=7-i.
13.解:(1)∵x=1-i是该方程的根,∴1+i也是该方程的根,由一元二次方程根与系数的关系得1-i+1+i=a,(1-i)(1+i)=ab,解得a=2,b=2.
(2)证明:∵>,且a>0,∴-=>0,
∴4a(4b-a)>0,即4ab-a2>0,
∴Δ=a2-4ab<0,∴原方程无实数根.
14.解:(1)因为z1=(a+i)2,z2=4-3i,z1=iz2,所以(a+i)2=a2-1+2ai=3+4i,所以解得a=2,故实数a的值为2.
(2)依题意得===,因为是纯虚数,所以解得a=2或a=-,又因为a是正实数,所以a=2,所以=i,所以+++…+=i+i2+i3+i4+…+i2024=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2021+i2022+i2023+i2024)=(i-1-i+1)+(i-1-i+1)+…+(i-1-i+1)=0+0+…+0=0.7.2.2 复数的乘、除运算
【学习目标】
掌握复数代数表示式的乘、除运算法则,并能熟练地进行计算.
◆ 知识点一 复数的乘法法则及运算律
1.复数的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2= .
2.复数乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1z2=
结合律 (z1z2)z3=
乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)互为共轭复数的两个复数的和与积都是实数.( )
(2)若z1,z2∈C,且+=0,则z1=z2=0. ( )
(3)|z|2=z2. ( )
(4)已知z1,z2,z3∈C,若z1z2=z1z3,则z2=z3. ( )
◆ 知识点二 复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)= + i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
【诊断分析】 1.计算:= .
2.复数的除法与实数的除法有何不同
◆ 探究点一 复数的乘法运算
例1 计算:(1)(1+2i)2;
(2)(3+4i)(3-4i).
(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).
变式 (1)(1-i)(1+i)= ( )
A.1+i B.-1+i
C.+i D.-+i
(2)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2= ( )
A.5-4i B.5+4i
C.3-4i D.3+4i
(3)若复数z=i+i2+i3+…+i10,则z·= .
[素养小结]
两个复数的乘法运算的常用公式
(1)(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R).
(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R).
(3)(1±i)2=±2i.
◆ 探究点二 复数的除法运算
例2 计算:
(1)+(--i)3+;
(2).
变式 (1)[2024·丽水五校高一月考] 若复数z满足z(2-i)=2i,i是虚数单位,则在复平面内z对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知z=4+i,设=a+bi(a,b∈R),则a+b= .
(3)已知i为虚数单位,则-= .
[素养小结]
1.两个复数的除法运算的一般步骤
(1)首先将除式写为分式;
(2)再将分子、分母同乘分母的共轭复数;
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式.
2.常用公式
(1)=-i;(2)=i;(3)=-i.
◆ 探究点三 复数范围内的方程根的问题
例3 已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).
(1)求b,c的值;
(2)试判断1-i是否为该方程的根.
变式 (1)在复数范围内解方程x2-4x+5=0.
(2)已知关于x的方程x2-2x+c=0的一个虚根为1+2i(其中i为虚数单位),求实数c.
[素养小结]
解决实系数一元二次方程问题的注意点
(1)解决实系数一元二次方程问题的基本依据是复数相等的充要条件.
(2)与在实数范围内对比,在复数范围内解决实系数一元二次方程问题,根与系数的关系和求根公式仍然适用,但是用判别式判断方程根的功能就发生改变了.7.2.2 复数的乘、除运算
一、选择题
1.已知复数z=(2+i)2,则z的虚部为 ( )
A.3 B.3i C.4 D.4i
2.= ( )
A.1+2i B.1-2i
C.2+i D.2-i
3.[2024·广州增城一中高一月考] 已知i是虚数单位,则复数(1-i)(2+i)的模为 ( )
A.2 B. C.10 D.
4.若复数z满足z(1+i)=|-i|,则z的共轭复数在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.已知-2+i是关于x的方程2x2+mx+n=0的一个根,其中m,n∈R,则m+n= ( )
A.18 B.16 C.9 D.8
6.定义运算=ad-bc,则符合条件=0(i是虚数单位)的复数z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.(多选题)[2024·长沙雅礼中学高一月考] 设z1,z2为复数,则下列结论中正确的是 ( )
A.z1=|z1|2
B.=|z2|2
C.若z1z2=|z1|2,则=z2
D.若|z1|=1,则|z1+2i|的最大值为3
8.(多选题)已知集合M={m|m=in,n∈N*},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是 ( )
A.(1-i)(1+i) B.
C. D.(1-i)2
二、填空题
9.已知复数z满足(1-i)z=2i-1(i为虚数单位),则|z|= .
10.写出一个虚数z,使得z2+3为纯虚数,则z= .
11.[2024·宁波镇海中学高一期中] 已知复数z满足方程(1+ai)z=bi,其中i为虚数单位,a,b∈R.若z·=1,则b2+a的最小值为 .
三、解答题
12.计算:(2-3i)·++.
13.[2024·新余一中高一月考] 已知关于x的方程x2-ax+ab=0,其中a,b为实数.
(1)设x=1-i(i是虚数单位)是该方程的根,求a,b的值;
(2)证明:当>,且a>0时,该方程无实数根.
14.已知复数z1=(a+i)2(a∈R),z2=4-3i,其中i是虚数单位.
(1)若z1=iz2,求实数a的值;
(2)若是纯虚数,a是正实数,求+++…+.
