(共59张PPT)
7.3 复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
探究点一 复数三角形式的有关概念
探究点二 复数的代数形式与三角形式的互化
探究点三 复数的乘除法运算的三角表示
探究点四 复数乘除法运算的三角表示的几何意义
的应用
【学习目标】
1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解辐角、辐角的
主值的概念.
2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系,会进行复数的代
数表示式和三角表示式之间的互化.
3.了解复数三角形式的乘、除运算法则,并能够进行简单运算.
4.了解复数三角表示的几何意义,并能够进行简单应用.
知识点一 复数的三角表示式
1.定义：如图，一般地，任何一个复数
都可以表示成
的形式.其中，是复数的____； 是以 轴的非负
半轴为始边，向量所在射线（射线 ）为终边
模
辐角
三角形式
代数形式
的角，叫作复数的______. 叫作复数
的三角表示式，简称__________.为了与三角形式区分开来，
叫作复数的代数表示式，简称__________.
2.辐角的主值：规定在___________范围内的辐角 的值为辐角的主
值，记作______，即 .
3.两个非零复数相等当且仅当它们的模与____________分别相等.
辐角的主值
知识点二 复数三角形式的乘、除法运算及其几何意义
1.复数三角形式的乘法运算与除法运算
若,,且 ,则
（1） __________
______________________.
（）
（2） _____________________________.
乘法规则：两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于
各复数的辐角的和.
除法规则：两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得
的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
2.复数三角表示乘法、除法的几何意义乘法的几何意义：
两个复数,相乘时，如图所示，画出与, 对应的向
量,，然后把向量绕点 按____时针方向旋转
角___（如果，就要把绕点 按顺时针方向旋
逆
类比复数乘法的几何意义，复数除法的几何意义如下：
转角_____），再把它的模变为原来的___倍，得到向量， 表示的
复数就是积 .
除法的几何意义:两个复数,进行除法运算
时，如图所示，画出与,对应的向量， ，然后
把向量绕点 按____时针方向旋转角___（如果
顺
，就要把绕点 按逆时针方向旋转角_____），再把它的模变
为原来的___，得到向量，表示的复数就是 .
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若, ，则
.( )
×
（2）若,，则 的辐角的
主值是 .( )
√
（3）若,， ，
则 .( )
√
（4）若,，则 的辐角的主
值是 .( )
√
探究点一 复数三角形式的有关概念
例1（1） 下列复数中是用三角形式表示的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 复数的三角形式为 ，其满足的条件为：
；②加号连接； 在前， 在后； 前后一致，
可取任意值
不满足②，故A不正确；
B不满足③，故B不正确；
C不满足①，故C不正确.故选D.
√
（2）复数 的辐角的主值是( )
A. B. C. D.
[解析] 由辐角的主值的定义，知复数 的辐角的主值
是 .故选B.
√
（3）复数 的辐角的主值是______.
[解析] 因为复数 ，
所以复数的辐角的主值是 ．
［素养小结］
要严格按照复数的三角表示式来判断复数的三角形式和求解复数的
辐角的主值.对于不是以复数的三角形式表示的式子，要根据复数三
角形式的定义将其转化，再进一步判断.
探究点二 复数的代数形式与三角形式的互化
例2 画出下列复数所对应的向量，并把这些复数表示成三角形式.
（1） ；
①
解：复数 所对应的向量如图①所示，则
，.
因为与复数 对应的点在第一象限，
所以 ，所以 .
（2） .
②
解：复数 所对应的向量如图②所示，则
， .
因为与复数 对应的点在第二象限，
所以 ，
所以 .
例3 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并
把这些复数表示成代数形式.
（1） ；
①
解：复数的模，一个辐角 ，对
应的向量如图①所示， .
（2） .
②
解：复数的模 ，一个辐角
，对应的向量如图②所示， .
变式（1） 复数 的三角形式是( )
A. B. C. D.
[解析] 复数的模为1，一个辐角为，所以复数 的三角
形式为 .故选A.
√
（2）复数 的代数形式为( )
A. B.
C. D.
[解析]
,故选B.
√
［素养小结］
1.将复数的代数形式 化为三角形式
时，要注意：
（1） ；
（2），（或），其中角 的终边
所在象限与点所在象限相同.当，时， .
2.将复数的三角形式化为代数形式
时， ， .
探究点三 复数的乘除法运算的三角表示
例4 计算下列复数,并将结果化为代数形式.
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
变式 计算：
（1） ___；
[解析]
.
（2） _________；
[解析] 原式 .
（3） _ _______.
[解析] 原式 .
［素养小结］
（1）积的模等于模的积，积的辐角等于辐角之和；做复数乘法运算
时，三角形式和代数形式可以交替使用，但是结果一般保留代数形式.
（2）商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的
辐角减去除数的辐角，结果一般保留代数形式，商的辐角的主值不
一定等于被除数的辐角的主值减去除数的辐角的主值所得的差.实际
上，与， 的关系是
.
探究点四 复数乘除法运算的三角表示的几何意义的应用
例5 如图所示，四边形是矩形，点和点 对应的复数分别为
，，并且，求点和点 对应的复数.
解：连接，，要求点对应的复数，即求向量 对应的复数，
结合图形知，故可以先求向量对应的复数.
向量 可以看作由向量的长度扩大为原来的倍，并绕点 按顺
时针方向旋转 后得到的，
因为向量 对应的复数为，所以向量
对应的复数为，
于是点 对应的复数为 .
同理可得点对应的复数为 .
例6 已知在复平面内，复数对应的点为，
对应的点为，把向量绕点按顺时针方向旋转 后，得到向量
，求向量和点 对应的复数.
解：由题意知向量 对应的复数是
.
由复数乘法的几何意义得，向量 对应的复数是
.
设为坐标原点，连接， ，由复数加法的几何意义及向量
，得向量 对应的复数是
，
故点对应的复数为 .
棣莫弗定理
棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立,指的是设两个复数
（用三角形式表示） ，
，则
.棣莫弗定理与瑞士数学家
欧拉提出的欧拉公式之间有重要联系.
定理证明： ，
， .
该定理可以推广为一般形式.
， ，，则 .
乘方形式:在一般形式中如果令 ，则能导出
复数乘方公式 .
乘方形式证明:对 ，采用数学归纳法证明.
①当 时，等式明显成立；
②假设当时等式成立，则当 时，
，
即当 时等式也成立.
综上，对于任意正整数 ，都有
.
与欧拉公式的联系:
如果把棣莫弗定理和欧拉公式 放在一起看，
那么可以用来理解欧拉公式的意义.
利用棣莫弗定理有
，若可以把所有的复数改写成指数的形式，即 ，
， ， ，则
，这和指数的可加性一致.
1.（1）复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一.
（2）复数三角形式的特点：非负、同角、加号、前余后正.
（3）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
2.任何一个不为零的复数的辐角都有无限多个值，且这些值相差
的整数倍，但辐角的主值只有一个.例如复数的辐角是 ，
其中 可以取任何整数.几类特殊复数的辐角的主值，一定要在理解
的基础上记熟.如：当为正实数时，有, ,
, .
3.与代数形式中有序实数对确定复数 一样，复数的三角形
式实质上是用一个有序实数对来确定一个复数 ，
此式即为三角形式.要准确地掌握它，必须注意其下述三个特征：（1）
模；（2）的实部是 ，虚部是 ；（3） 与
之间用加号连接.
4.两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意
义是模的伸缩及对应向量的旋转.当推广到 个复数相乘的时候，可
得 ，
特别地，复数的次幂的模等于这个复数的模的 次幂，它的辐角
等于这个复数的辐角的 倍，这个定理就是棣莫弗定理.
5.两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商
的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，其几何意义是
模的伸缩及对应向量的旋转.
6.利用复数三角形式乘除运算的几何意义，可解决向量或图形的旋转
问题，如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形顶点
间的几何关系都可利用复数的乘除运算来表示.
1.求复数的辐角的主值
例1 当时，复数 的辐角的主值是( )
A. B. C. D.
[解析] ，故选B.
√
2.将复数的代数形式化为三角形式
例2 将复数 化成三角形式.
解： .
3.复数的模与辐角的主值
例3 将复数的共轭复数 表示成代数形式，并
写出 的模和辐角的主值.
解：因为 ，所以
， 的模 ，
，所以的辐角的主值 .
练习册
一、选择题
1.复数 的辐角的主值是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,所以
的辐角的主值是 .
√
2.把复数 化成三角形式，正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，，所以 ，故
选B.
√
3.若复数，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，故选D.
√
4.将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量 ，
则 对应的复数是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，绕原点按顺时针方向旋转，得到 ，
则对应的复数的辐角的主值为，所以 对应的复数是
.故选A.
√
5.计算： ( )
A. B. C. D.
[解析]
.故选A.
√
6.设，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，则复数 在
复平面内对应的点的坐标是 ，该点位于第三象限，且
，所以 .故选B.
√
7.（多选题）已知复数 ，则下列结论中正确的是
( )
A.
B.
C.复数是方程 的一个根
D.复数的辐角的主值为
√
√
√
[解析] ， ，故A正确；
，故B正确；
， ，故C正确；
， 复数的辐角的主值为，故D错误.故选 .
二、填空题
8.复数 的模是____，辐角的主值是__，三角形式是___________
______.
[解析] 复数的模是.
对应的点在第一象限，且，，
三角形式为 .
9. _______.
[解析] .
10.在复平面中，已知为坐标原点，向量对应的复数为,将
绕点按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量 ，则
对应的复数是_ ___________.
[解析] 因为，所以由题意可得 对应的复
数为 .
三、解答题
11.（1）在复平面内画出复数所对应的向量，并将复数
表示成三角形式.
①
解：复数 所对应的向量如图①所示，则
， .
因为与 对应的点在第四象限，所以
，
所以 .
（2）在复平面内画出复数所对应的向量，并将复数
表示成三角形式.
解：复数 所对应的向量如图②所示，
则， .
因为与 对应的点在第三象限，
所以 ，
所以 .
②
12.[2024·重庆育才中学高一期中] 棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗
创立.设两个复数用三角形式表示为 ，
，则
.如果 ，
令 ，那么能导出复数乘方公式：
.请用以上知识解决以下问题：
试应用复数乘方公式推导三倍角公式： ；
.
解：设模为1的复数为 ，
则 ，
由复数乘方公式可得 ，
故 , .7.3* 复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
【课前预习】
知识点一
1.模 辐角 三角形式 代数形式
2.0≤θ<2π arg z 3.辐角的主值
知识点二
1.(1)r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
(2)[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]
2.逆 θ2 |θ2| r2 顺 θ2 |θ2|
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)B (3)190° [解析] (1)复数的三角形式为z=r(cos θ+isin θ),其满足的条件为:①r≥0;②加号连接;③cos θ在前,sin θ在后;④θ前后一致,可取任意值.A不满足②,故A不正确;B不满足③,故B不正确;C不满足①,故C不正确.故选D.
(2)由辐角的主值的定义,知复数z=cos+isin 的辐角的主值是.故选B.
(3)因为复数z=-sin 100°+icos 100°=cos 190°+isin 190°,所以复数z的辐角的主值是190°.
探究点二
例2 解:(1)复数1+i所对应的向量如图①所示,则r==,cos θ=.因为与复数1+i对应的点在第一象限,所以arg(1+i)=,所以1+i=.
①
(2)复数-+i所对应的向量如图②所示,则r==1,cos θ=-.因为与复数-+i对应的点在第二象限,所以arg=,所以-+i=cos+isin.
②
例3 解:(1)复数cos+isin的模r=1,一个辐角θ=,对应的向量如图①所示,cos+isin=0+i=i.
①
(2)复数2的模r=2,一个辐角θ=,对应的向量如图②所示,2=2cos+i=2×+2×i=+i.
②
变式 (1)A (2)B [解析] (1)复数+i的模为1,一个辐角为,所以复数+i的三角形式为cos+isin.故选A.
(2)z=4=4×+4×i=-2+2i,故选B.
探究点三
例4 解:(1)原式====+i.
(2)原式==2=2=-+i.
变式 (1)3i (2)4+4i (3)+i
[解析] (1)(cos 60°-isin 240°)×6(cos 30°-isin 210°)=(cos 60°+isin 60°)×6(cos 30°+isin 30°)=3[cos(60°+30°)+isin (60°+30°)]=3(cos 90°+isin 90°)=3i.
(2)原式=2×4=8=8=4+4i.
(3)原式=10÷==5=5=+i.
探究点四
例5 解:连接OC,OB,要求点C对应的复数,即求向量对应的复数,结合图形知=+,故可以先求向量对应的复数.向量可以看作由向量的长度扩大为原来的倍,并绕点B按顺时针方向旋转90°后得到的,因为向量对应的复数为(-1+2i)-(1+i)=-2+i,所以向量对应的复数为(-2+i)××[cos(-90°)+isin(-90°)]=+2i,于是点C对应的复数为(+2i)+(1+i)=(+1)+(2+1)i.
同理可得点D对应的复数为(-1)+(2+2)i.
例6 解:由题意知向量对应的复数是z2-z1=(-3+4i)-(-2+i)=-1+3i.
由复数乘法的几何意义得,向量对应的复数是(-1+3i)·=3+i.
设O为坐标原点,连接OP,OP1,由复数加法的几何意义及向量=+,得向量对应的复数是(-2+i)+(3+i)=1+2i,
故点P对应的复数为1+2i.7.3* 复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
1.A [解析] 因为1-i=2×=2,所以1-i的辐角的主值是.
2.B [解析] 因为cos=,sin=,所以+i=cos+isin,故选B.
3.D [解析] z2=()2×=2i,故选D.
4.A [解析] 因为arg i=,绕原点O按顺时针方向旋转,得到,则对应的复数的辐角的主值为,所以对应的复数是cos+isin=+i.故选A.
5.A [解析] =2=2=-1-i.故选A.
6.B [解析] z2===(-1+i)2=--i,则复数z2在复平面内对应的点的坐标是,该点位于第三象限,且tan θ=,所以arg z2=.故选B.
7.ABC [解析] ∵z=-+i,∴|z|==1,故A正确;=--i=cos+isin,故B正确;∵z3=cos+isin=1,∴z3-1=0,故C正确;∵-z=-i,∴复数-z的辐角的主值为,故D错误.故选ABC.
8. [解析] 复数1+i的模是=.∵1+i对应的点在第一象限,且tan θ=1,∴arg(1+i)=,∴三角形式为.
9.-243 [解析] =35=243(cos π+isin π)=-243.
10.--i [解析] 因为-2i=2,所以由题意可得对应的复数为2·=3=3=3×=-i.
11.解:(1)复数2-2i所对应的向量如图①所示,则r==2,cos θ=.因为与2-2i对应的点在第四象限,所以arg(2-2i)=,
所以2-2i=2.
①
(2)复数--i所对应的向量如图②所示,
则r==2,cos θ=-.
因为与--i对应的点在第三象限,
所以arg(--i)=,
所以--i=2.
②
12.解:设模为1的复数为z=cos θ+isin θ,
则z3=(cos θ+isin θ)3=cos3θ+3(cos2θ)·(isin θ)+3(cos θ)·(isin θ)2+(isin θ)3=cos3θ+i(3cos2θ·sin θ)-3cos θsin2θ-isin3θ=(cos3θ-3cos θsin2θ)+i(3cos2θ·sin θ-sin3θ)=[cos3θ-3cos θ(1-cos2θ)]+i[3(1-sin2θ)sin θ-sin3θ]=(4cos3θ-3cos θ)+i(3sin θ-4sin3θ),
由复数乘方公式可得z3=cos 3θ+isin 3θ,
故sin 3θ=3sin θ-4sin3θ,cos 3θ=4cos3θ-3cos θ.7.3* 复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
【学习目标】
1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解辐角、辐角的主值的概念.
2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系,会进行复数的代数表示式和三角表示式之间的互化.
3.了解复数三角形式的乘、除运算法则,并能够进行简单运算.
4.了解复数三角表示的几何意义,并能够进行简单应用.
◆ 知识点一 复数的三角表示式
1.定义:如图,一般地,任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式.其中,r是复数z的 ;θ是以x轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线OZ)为终边的角,叫作复数z=a+bi的 .r(cos θ+isin θ)叫作复数z=a+bi的三角表示式,简称 .为了与三角形式区分开来,a+bi叫作复数的代数表示式,简称 .
2.辐角的主值:规定在 范围内的辐角θ的值为辐角的主值,记作 ,即0≤arg z<2π.
3.两个非零复数相等当且仅当它们的模与 分别相等.
◆ 知识点二 复数三角形式的乘、除法运算及
其几何意义
1.复数三角形式的乘法运算与除法运算
若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z2≠0,则
(1)z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)= .
(2)== .
乘法规则:两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.
除法规则:两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
2.复数三角表示乘法、除法的几何意义
乘法的几何意义:两个复数z1,z2相乘时,如图所示,画出与z1,z2对应的向量,,然后把向量绕点O按 时针方向旋转角 (如果θ2<0,就要把绕点O按顺时针方向旋转角 ),再把它的模变为原来的 倍,得到向量,表示的复数就是积z1z2.
类比复数乘法的几何意义,复数除法的几何意义如下:
除法的几何意义:两个复数z1,z2(z2≠0)进行除法运算时,如图所示,画出与z1,z2对应的向量,,然后把向量绕点O按 时针方向旋转角 (如果θ2<0,就要把绕点O按逆时针方向旋转角 ),再把它的模变为原来的 ,得到向量,表示的复数就是.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2-isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]. ( )
(2)若z1=2,z2=2,则z1z2的辐角的主值是. ( )
(3)若z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),z1≠0,则=[cos(θ2-θ1)+isin(θ2-θ1)]. ( )
(4)若z1=2,z2=2,则的辐角的主值是. ( )
◆ 探究点一 复数三角形式的有关概念
例1 (1)下列复数中是用三角形式表示的是 ( )
A.2(cos α-isin α)
B.2(sin α+icos α)
C.-2(cos α+isin α)
D.2[cos(-α)+isin (-α)]
(2)复数z=cos+isin 的辐角的主值是 ( )
A. B.
C.- D.-
(3)复数z=-sin 100°+icos 100°的辐角的主值是 .
[素养小结]
要严格按照复数的三角表示式来判断复数的三角形式和求解复数的辐角的主值.对于不是以复数的三角形式表示的式子,要根据复数三角形式的定义将其转化,再进一步判断.
◆ 探究点二 复数的代数形式与三角形式的互化
例2 画出下列复数所对应的向量,并把这些复数表示成三角形式.
(1)1+i;(2)-+i.
例3 分别指出下列复数的模和一个辐角,画出它们对应的向量,并把这些复数表示成代数形式.
(1)cos+isin;(2)2.
变式 (1)复数+i的三角形式是 ( )
A.cos+isin B.sin+icos
C.cos+isin D.sin+icos
(2)复数z=4的代数形式为 ( )
A.z=2+2i
B.z=-2+2i
C.z=2-2i
D.z=-2-2i
[素养小结]
1.将复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(cos θ+isin θ)时,要注意:
(1)r=;
(2)cos θ=,sin θ=,其中角θ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同.当a=0,b>0时,arg z=.
2.将复数的三角形式r(cos θ+isin θ)化为代数形式a+bi(a,b∈R)时,a=rcos θ,b=rsin θ.
◆ 探究点三 复数的乘除法运算的三角表示
例4 计算下列复数,并将结果化为代数形式.
(1)×;
(2)8÷.
变式 计算:(1)(cos 60°-isin 240°)×6(cos 30°-isin 210°)= ;
(2)2×4= ;
(3)10÷= .
[素养小结]
(1)积的模等于模的积,积的辐角等于辐角之和;做复数乘法运算时,三角形式和代数形式可以交替使用,但是结果一般保留代数形式.
(2)商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角,结果一般保留代数形式,商的辐角的主值不一定等于被除数的辐角的主值减去除数的辐角的主值所得的差.实际上,arg与arg z1,arg z2的关系是arg=arg z1-arg z2+2kπ(k∈Z).
◆ 探究点四 复数乘除法运算的三角表示的几何意义的应用
例5 如图所示,四边形ABCD是矩形,点A和点B对应的复数分别为-1+2i,1+i,并且|BA|∶|DA|=1∶,求点C和点D对应的复数.
例6 已知在复平面内,复数z1=-2+i对应的点为P1,z2=-3+4i对应的点为P2,把向量绕点P1按顺时针方向旋转后,得到向量,求向量和点P对应的复数.7.3* 复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
一、选择题
1.复数1-i的辐角的主值是 ( )
A. B. C. D.
2.把复数+i化成三角形式,正确的是 ( )
A.cos+isin B.cos+isin
C.cos+isin D.cos+isin
3.若复数z=,则z2= ( )
A.-2i B.1+i
C.1-i D.2i
4.将复数i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转,得到向量,则对应的复数是 ( )
A.+i B.-+i
C.--i D.-i
5.计算:= ( )
A.-1-I B.1+i
C.--i D.+i
6.设z1=-1+i,z2=,则arg z2= ( )
A. B. C. D.
7.(多选题)已知复数z=cos+isin,则下列结论中正确的是 ( )
A.|z|=1
B.=cos+isin
C.复数z是方程x3-1=0的一个根
D.复数-z的辐角的主值为-
二、填空题
8.复数1+i的模是 ,辐角的主值是 ,三角形式是 .
9.= .
10.在复平面中,已知O为坐标原点,向量对应的复数为-2i,将绕点O按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量,则对应的复数是 .
三、解答题
11.(1)在复平面内画出复数2-2i所对应的向量,并将复数2-2i表示成三角形式.
(2)在复平面内画出复数--i所对应的向量,并将复数--i表示成三角形式.
12.[2024·重庆育才中学高一期中] 棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立.设两个复数用三角形式表示为z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].如果z=r(cos θ+isin θ),令z1=z2=…=zn=z,那么能导出复数乘方公式:zn=rn(cos nθ+isin nθ).请用以上知识解决以下问题:
试应用复数乘方公式推导三倍角公式:sin 3θ=3sin θ-4sin3θ;cos 3θ=4cos3θ-3cos θ.
