滚动习题(四)
1.C [解析] 由题意,得解得m=-2,故选C.
2.A [解析] (1+i)(1-i)2=(1+i)(12-2i+i2)=-2i(1+i)=2-2i.故选A.
3.A [解析] 因为z=2+3i,所以=2-3i,所以z-=(2+3i)-(2-3i)=6i,因此|z-|=|6i|=6.故选A.
4.D [解析] z====2-i,则z在复平面内对应的点(2,-1)位于第四象限.故选D.
5.D [解析] 由复数相等的充要条件可得解得所以z=(1+i)a-b=(1+i)2=2i,z的虚部是2,所以A中结论正确;|z|=|2i|=2,所以B中结论正确;=-2i,所以C中结论正确;z在复平面内对应的点在虚轴上,所以D中结论错误.故选D.
6.C [解析] 设z=a+bi(a,b∈R且b≠0),由题可得a2-b2-2a+m+(2ab-2b)i=0,所以可得因为|z|==,所以b2=1,m=2.故选C.
7.AD [解析] 当k=2n,n∈Z时,z====,z在复平面内对应的点位于第一象限;当k=2n+1,n∈Z时,z====,z在复平面内对应的点位于第四象限.故选AD.
8.BCD [解析] 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1+z2=a+c+(b+d)i,所以|z1+z2|=,|z1|+|z2|=+,则|z1+z2|=|z1|+|z2|不一定成立,故A错误;|z1·z2|=|(a+bi)(c+di)|=|ac-bd+(ad+bc)i|==,|z1|·|z2|=·=,所以|z1·z2|=|z1|·|z2|,故B正确;因为=a+c-(b+d)i,+=a+c-(b+d)i,所以=+,故C正确;因为z1·z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,所以=ac-bd-(ad+bc)i,而·=(a-bi)(c-di)=ac-bd-(ad+bc)i,所以=·,故D正确.故选BCD.
9. [解析] z=(1+bi)(2-i)=2+b+(2b-1)i,由z=(1+bi)(2-i)是实数,得2b-1=0,解得b=.
10.1 [解析] 由(1+i)z=1+3i,得z====2+i,故z的虚部为1.
11.19 [解析] 由z+||=8+4i可设z=a+4i,a∈R,则a+4i+=8+4i,所以a+=8,所以a=3,所以z=3+4i,代入x2+bx+c=0得(3+4i)2+3b+4bi+c=0,即3b+c-7+(4b+24)i=0,所以解得所以b+c=19.
12.4 [解析] 设复数z在复平面内对应的点为Z,∵|z|=1,∴点Z在以原点为圆心,1为半径的圆上.|z-3-4i|表示点Z与点(3,4)之间的距离,∵原点到点(3,4)的距离d=5,∴|z-3-4i|的最小值为5-1=4.
13.解:(1)∵z为实数,∴m2-9=0,解得m=±3.
(2)∵z为纯虚数,∴解得m=5,∴z=16i,∴===8i(1-i)=8+8i,故的虚部为8.
14.解:(1)依题意,点(1,b)在第四象限,则b<0,由z=4,得(1+bi)(1-bi)=4,即b2=3,所以b=-.
(2)由(1)知,z=1-i,由复数z是关于x的方程px2+2x+q=0的根,得p(1-i)2+2(1-i)+q=0,整理得(-2p+q+2)+(-2p-2)i=0,而p,q∈R,
因此解得所以p+q=-5.
15.解:(1)在复平面中,由O为坐标原点,A(3,2),C(-2,4),得=(3,2),=(-2,4).连接OB,∵四边形OABC为平行四边形,∴=+=(3,2)+(-2,4)=(1,6),
∴点B的坐标为(1,6),则点B对应的复数为1+6i.
(2)由已知及(1)得z1=3+2i,z2=1+6i,z3=-2+4i.
①由z·z3=z1·z2,得z====-i.
②设z=x+yi,x,y∈R,由|z-z1|=|z-z2|,得=,整理得x-2y+6=0,∴x=2y-6,
∴|z-z3|====,∴当y=时,|z-z3|取得最小值,最小值为.滚动习题(四)
(时间:45分钟 分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.已知i为虚数单位,若复数z=4-m2-(m-2)i为纯虚数,则实数m= ( )
A.0 B.2
C.-2 D.4
2.[2024·杭州二中高一月考] (1+i)(1-i)2的值为 ( )
A.2-2i B.-2-2i
C.2+2i D.-2+2i
3.若z=2+3i,则|z-|= ( )
A.6 B.4
C. D.0
4.[2024·昆明一中高一月考] 已知z=,则z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.已知a,b∈R,(a-1)i-b=3-2i,z=(1+i)a-b,则下列结论错误的是 ( )
A.z的虚部是2
B.|z|=2
C.=-2i
D.z在复平面内对应的点在第二象限
6.若虚数z是关于x的方程x2-2x+m=0(m∈R)的一个根,且|z|=,则m= ( )
A.6 B.4 C.2 D.1
二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知i为虚数单位,若复数z满足(2+i)z=1+i2k+1(k∈Z),则z在复平面内对应的点可能位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8.[2024·金华一中高一期中] 已知z1,z2∈C,则下列结论正确的有 ( )
A.|z1+z2|=|z1|+|z2|
B.|z1·z2|=|z1|·|z2|
C.=+
D.=·
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.若复数z=(1+bi)(2-i)是实数,其中i是虚数单位,则实数b的值是 .
10.若复数z满足(1+i)z=1+3i,则z的虚部为 .
11.[2024·浙江精诚联盟高一月考] 已知复数z满足z+||=8+4i,若复数z是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根,则b+c= .
12.若z∈C,且|z|=1,则|z-3-4i|的最小值为 .
四、解答题(本大题共3小题,共38分)
13.(10分)已知复数z=m2-2m-15+(m2-9)i,其中m∈R.
(1)若z为实数,求m的值;
(2)若z为纯虚数,求的虚部.
14.(13分)[2024·福州高一期中] 已知复数z=1+bi(b∈R,i为虚数单位),z在复平面上对应的点在第四象限,且满足z=4(为z的共轭复数).
(1)求实数b的值;
(2)若复数z是关于x的方程px2+2x+q=0(p≠0,且p,q∈R)的一个复数根,求p+q的值.
15.(15分)如图,在复平面中,O为坐标原点,已知平行四边形OABC的顶点A(3,2),C(-2,4).
(1)求点B对应的复数.
(2)记点A,B,C对应的复数分别为z1,z2,z3.
①若z·z3=z1·z2,求复数z;
②若复数z满足|z-z1|=|z-z2|,求|z-z3|的最小值.(共21张PPT)
滚动习题（四）范围 7.1~7.2
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.已知为虚数单位，若复数 为纯虚数，则实
数 ( )
A.0 B.2 C. D.4
[解析] 由题意，得解得 ,故选C.
√
2.[2024·杭州二中高一月考] 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] .
故选A.
√
3.若，则 ( )
A.6 B.4 C. D.0
[解析] 因为，所以 ，所以
，因此 .故选A.
√
4.[2024·昆明一中高一月考]已知，则 在复平面内对应的点位
于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] ，则 在复平面内对应的点
位于第四象限.故选D.
√
5.已知,，， ，则下列结论
错误的是( )
A. 的虚部是2 B.
C. D. 在复平面内对应的点在第二象限
[解析] 由复数相等的充要条件可得解得 所以
， 的虚部是2，所以A中结论正确；
，所以B中结论正确；
，所以C中结论正确；
在复平面内对应的点在虚轴上，所以D中结论错误.故选D.
√
6.若虚数是关于的方程 的一个根，且
，则 ( )
A.6 B.4 C.2 D.1
[解析] 设,且 ，由题可得
，所以
可得
因为，所以 , ． 故选C．
√
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
7.已知为虚数单位，若复数满足，则 在
复平面内对应的点可能位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 当,时，， 在
复平面内对应的点位于第一象限；
当, 时，， 在复平
面内对应的点位于第四象限.故选 .
√
√
8.[2024·金华一中高一期中]已知, ，则下列结论正确的有
( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 设, ，则
，所以 ，
，则 不一定
成立，故A错误；
，
，
所以 ，故B正确；
因为 ,
，所以 ，故C正确；
因为 ，
所以 ，而
，
所以，故D正确.故选 .
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.若复数是实数,其中是虚数单位,则实数 的值是__.
[解析] ,由
是实数,得，解得 .
10.若复数满足，则 的虚部为___.
1
[解析] 由，得 ，
故 的虚部为1.
11.[2024·浙江精诚联盟高一月考] 已知复数满足 ，
若复数是实系数一元二次方程的一个根，则
____.
19
[解析] 由可设， ，则
，所以，所以 ，
所以，
代入得 ，即
，所以解得 所以 .
12.若，且，则 的最小值为___.
4
[解析] 设复数在复平面内对应的点为，， 点 在以原点
为圆心，1为半径的圆上.
表示点与点之间的距离，
原点到点的距离，的最小值为 .
四、解答题（本大题共3小题，共38分）
13.（10分）已知复数，其中 .
（1）若为实数，求 的值；
解：为实数，，解得 .
（2）若为纯虚数，求 的虚部.
解：为纯虚数，解得， ，
，故 的虚部为8.
14.（13分）[2024·福州高一期中] 已知复数, 为虚
数单位，在复平面上对应的点在第四象限，且满足
为的共轭复数 .
（1）求实数 的值;
解：依题意，点在第四象限，则，由 ，得
，即，所以 .
（2）若复数是关于的方程，且, 的
一个复数根，求 的值.
解：由（1）知，，由复数是关于 的方程
的根，得 ，整理
得，而, ，
因此解得所以 .
15.（15分）如图，在复平面中， 为坐标原
点，已知平行四边形的顶点 ，
．
（1）求点 对应的复数.
解:在复平面中，由为坐标原点， ，
，得， .
连接， 四边形 为平行四边形，
，
点的坐标为，则点对应的复数为 ．
（2）记点，，对应的复数分别为，， ．
①若，求复数 ；
解:由已知及（1）得，，
.
由 ，得
．
②若复数满足，求 的最小值．
解: 设，，，由 ，得
，整理得
， ，
，
当时，取得最小值，最小值为 .
