本章总结提升
【知识辨析】
1.× [解析] 规定a,b都为实数才行.
2.× [解析] 两个虚数不能比较大小.
3.× [解析] 实数的共轭复数是其本身,两数之差为零,是实数.
4.× [解析] z的虚部大于零,但是实部可正、可负、也可以为零.
5.√ 6.√ 7.√
8.× [解析] 由题意可得|z|==5,=4-3i,则==-i.
【素养提升】
题型一
例1 (1)A (2)C [解析] (1)因为z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,所以则所以m=2.故选A.
(2)因为x+y+(x-y)i=2,所以解得所以xy=1.故选C.
变式 (1)A (2)AD [解析] (1)3i-的虚部为3,3i2+i=-3+i的实部为-3,故选A.
(2)因为复数z与其共轭复数的实部相等,虚部互为相反数,所以z+∈R,A正确;当z为实数时,也为实数,则z-是实数,B错误;若z=cos+isin,则|z|=≠1,C错误;若|z-i|=1,则|z|表示以(0,1)为圆心,以1为半径的圆上的点到原点的距离,其最大值为2,D正确.故选AD.
题型二
例2 (1)A (2)BC (3)四 [解析] (1)因为z====-i,所以=i,所以z-=-i-i=-i,故选A.
(2)对于A,例如z1=2+i,z2=1+i,满足z1-z2=1>0,但由于虚数不能比较大小,所以选项A错误;对于B,若z1=,则z1和z2互为共轭复数,所以=z2,所以选项B正确;对于C,只有复数0的模才等于0,所以z1-z2=0,即z1=z2,所以选项C正确;对于D,由于|z1|=|z2|,不妨设z1=1+i,z2=,此时=(1+i)2=2i,=2,显然≠,所以选项D错误.故选BC.
(3)∵z=(i4)506+i4×506+3=1+i3=1-i,∴z在复平面内对应的点位于第四象限.
变式 (1)B (2)1 (3)-2 ±2 [解析] (1)因为z====1-2i,所以=1+2i,故选B.
(2)由题意知,z===-i,则|z|==1.
(3)∵z1=1+i,z2=2+ai,∴z1·z2=(1+i)(2+ai)=(2-a)+(a+2)i,若z1·z2为实数,则a+2=0,解得a=-2.由|z1·z2|=4,得=4,解得a=±2.
题型三
例3 (1)A (2)A [解析] (1)因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以(1+3i)(3-i)在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A.
(2)在复平面内,∵A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,2-i,-3+i,∴A(1,3),B(2,-1),C(-3,1).设D(x,y),∵=(1,-4),=(-3-x,1-y),四边形ABCD是平行四边形,∴解得∴点D对应的复数为-4+5i,故选A.
变式 (1)A (2) [解析] (1)因为复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标是(2,1),所以z=2-i,则z(1-i)=(2-i)(1-i)=2-2i-i-1=1-3i.故选A.
(2)∵z1=i(-4+3i)=-3-4i,z2=7+i,∴=(-3,-4),=(7,1),∴·=-21-4=-25,||=5,||=5,∴cos∠Z1OZ2==-,∴∠Z1OZ2=.
例4 (1)2 (2)3 [解析] (1)方法一:设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=+i-(a+bi)=(-a)+(1-b)i,
故
即又z1-z2=(2a-)+(2b-1)i,∴|z1-z2|2=(2a-)2+(2b-1)2=4a2+4b2-4a-4b+4=2(a2+b2)+2(a2+b2-2a-2b)+4=2×4+4=12,∴|z1-z2|=2.
方法二:在复平面内,设z1,z2对应的向量分别为a,b,则|a|=|b|=2,且a+b=(,1).∵(a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,∴4+(a-b)2=16,得|a-b|=2,即|z1-z2|=2.
(2)复数z满足1≤|z+1+i|≤,即1≤|z-(-1-i)|≤,即复数z对应的点Z到点C(-1,-1)的距离d满足1≤d≤,即点Z的集合是以C(-1,-1)为圆心,以1和为半径的两个圆所夹的圆环,如图中阴影部分所示.设P(1,1),|z-1-i|表示复数z对应的点Z到点P(1,1)的距离,数形结合可知|z-1-i|的最大值为|CP|+=+=3.
变式 (1)A (2)A [解析] (1)因为z=1+i,所以z2=(1+i)2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z+1|=|2i-2-2i+1|=|-1|=1.故选A.
(2)设z=a+bi(a,b∈R),则|z-i|+|z+i|=2表示z在复平面内对应的点(a,b)到点A(0,1)和点B(0,-1)的距离之
和为2,∴点(a,b)的集合是线段AB.∵|z|表示点(a,b)到点(0,0)的距离,∴|z|max=1.故选A.
题型四
例5 (1)A [解析] z1z2=2(cos π+isin π)×=2(cos π+isin π)×=2×=2=2=2=-+i,故选A.
(2)解:z1=-+i=2=2(cos 150°+isin 150°),则根据题设条件得z2=2(cos 150°+isin 150°)×[cos(-120°)+isin(-120°)]=2[cos(150°-120°)+isin(150°-120°)]=2(cos 30°+isin 30°)=+i.
变式 (1)C [解析] 由已知得=cos+isin =--i,∴复数在复平面内对应的点的坐标为,该点位于第三象限.故选C.
(2)解:①8×2=16=16=8+8i.
②8(cos 240°+isin 240°)÷[2(cos 150°-isin 150°)]==4(cos 390°+isin 390°)=4(cos 30°+isin 30°)=2+2i.本章总结提升
判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
1.形如a+bi的数叫作复数,其中a,b分别是它的实部和虚部. ( )
2.4+2i>3-i. ( )
3.互为共轭复数的两数之差一定是纯虚数. ( )
4.设z=(t2+5t-3)+(t2-2t+3)i(t∈R),则z在复平面内对应的点Z在第一象限. ( )
5.在复平面内,复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|==||,它表示点Z(a,b)到原点O的距离.一般地,|z1-z2|表示z1与z2对应的两点间的距离. ( )
6.若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是(4,-2). ( )
7.若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=0.( )
8.若z=4+3i,则=+i. ( )
◆ 题型一 复数的概念与分类
[类型总述] (1)设z=a+bi(a,b∈R),则①z是虚数 b≠0;②z是纯虚数 ③z是实数 b=0.(2)掌握复数相等的充要条件和共轭复数的概念.
例1 (1)若复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,则实数m的值为 ( )
A.2 B.3
C.2或3 D.0或3
(2)若实数x,y满足x+y+(x-y)i=2,则xy的值是 ( )
A.-2 B.2
C.1 D.-3
变式 (1)以3i-的虚部为实部,以3i2+i的实部为虚部的复数是 ( )
A.3-3i B.3+i
C.-+i D.+i
(2)(多选题)[2024·惠州三校高一月考] 设复数z的共轭复数为,i为虚数单位,则下列说法正确的是 ( )
A.z+∈R
B.z-是纯虚数
C.若z=cos+isin,则|z|=1
D.若|z-i|=1,则|z|的最大值为2
◆ 题型二 复数代数形式的四则运算
[类型总述] (1)复数代数形式的加减乘除运算;(2)in(n∈N*)的周期性.
例2 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 已知z=,则z-= ( )
A.-i B.i
C.0 D.1
(2)(多选题)[2024·永州一中高一月考] 设z1,z2是复数,则下列说法中正确的是 ( )
A.若z1-z2>0,则z1>z2
B.若z1=,则=z2
C.若|z1-z2|=0,则z1=z2
D.若|z1|=|z2|,则=
(3)已知复数z=i2024+i2027(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于第 象限.
变式 (1)[2023·全国乙卷] 设z=,则= ( )
A.1-2i B.1+2i
C.2-i D.2+i
(2)若z(2+i)=2-i,i为虚数单位,则|z|= .
(3)已知复数z1=1+i,z2=2+ai(其中i为虚数单位),若z1·z2为实数,则实数a的值为 ;若|z1·z2|=4,则实数a的值为 .
◆ 题型三 复数的几何意义及其应用
[类型总述] (1)复数的表示(点和向量);(2)复数的模;(3)复数加、减法的几何意义.
例3 (1)[2023·新课标Ⅱ卷] 在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,2-i,-3+i,则点D对应的复数为( )
A.-4+5i B.-2-3i
C.6+i D.2+3i
变式 (1)若复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标是(2,1),则z(1-i)= ( )
A.1-3i B.3-i
C.-3+i D.-3-i
(2)在复平面内,O为坐标原点,复数z1=i(-4+3i),z2=7+i对应的点分别为Z1,Z2,则∠Z1OZ2的大小为 .
例4 (1)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|= .
(2)[2024·台州十校高一期中] 若i为虚数单位,复数z满足1≤|z+1+i|≤,则|z-1-i|的最大值为 .
变式 (1)若z=1+i,则|z2-2z+1|= ( )
A.1 B.
C.2 D.4
(2)设复数z满足|z-i|+|z+i|=2,其中i为虚数单位,则|z|的最大值为 ( )
A.1 B.2 C. D.
◆ 题型四 复数的三角形式
[类型总述] (1)复数三角形式的乘除运算法则;(2)复数三角形式的乘除运算的几何意义.
例5 (1)若复数z1=2(cos π+isin π),复数z2=,则z1z2= ( )
A.-+i B.-i
C.+i D.-i
(2)在复平面内,设z1=-+i对应的向量为(O为坐标原点),将绕点O按顺时针方向旋转120°,并将其模变为原来的,求所得向量对应的复数z2(用代数形式表示).
变式 (1)复数在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)计算:①8×2;
②8(cos 240°+isin 240°)÷[2(cos 150°-isin 150°)].(共38张PPT)
本章总结提升
题型一 复数的概念与分类
题型二 复数代数形式的四则运算
题型三 复数的几何意义及其应用
题型四 复数的三角形式
判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
1.形如的数叫作复数,其中, 分别是它的实部和虚部.( )
×
[解析] 规定, 都为实数才行.
2. .( )
×
[解析] 两个虚数不能比较大小.
3.互为共轭复数的两数之差一定是纯虚数.( )
×
[解析] 实数的共轭复数是其本身，两数之差为零，是实数.
4.设,则 在复平面内对应的
点 在第一象限.( )
×
[解析] 的虚部大于零，但是实部可正、可负、也可以为零.
5.在复平面内，复数的模 ,
它表示点到原点的距离.一般地,表示与 对应的两
点间的距离.( )
√
6.若复数满足，则在复平面内， 对应的点的坐标是
.( )
√
7.若为实数，且，则 .( )
√
8.若，则 .( )
×
[解析] 由题意可得， ，则
.
题型一 复数的概念与分类
［类型总述］（1）设,则是虚数;
是纯虚数是实数 .（2）掌握复数相等的充要条
件和共轭复数的概念.
例1（1） 若复数 是纯虚数，则实
数 的值为( )
A.2 B.3 C.2或3 D.0或3
[解析] 因为 是纯虚数，所以
则所以 .故选A.
√
（2）若实数，满足，则 的值是( )
A. B.2 C.1 D.
[解析] 因为，所以解得 所以
.故选C.
√
变式（1） 以的虚部为实部，以 的实部为虚部的复
数是( )
A. B. C. D.
[解析] 的虚部为3,的实部为 ，故选A.
√
（2）（多选题）[2024·惠州三校高一月考] 设复数 的共轭复数为
， 为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A.
B. 是纯虚数
C.若，则
D.若，则 的最大值为2
√
√
[解析] 因为复数与其共轭复数 的实部相等，虚部互为相反数，所
以，A正确；
当为实数时，也为实数，则 是实数，B错误；
若，则 ，C错误；
若，则表示以 为圆心，以1为半径的圆上的点到原
点的距离，其最大值为2，D正确.故选 .
题型二 复数代数形式的四则运算
［类型总述］（1）复数代数形式的加减乘除运算;（2）
的周期性.
例2（1）［2023· 新课标Ⅰ卷］ 已知,则 ( )
A. B. C.0 D.1
[解析] 因为，所以 ，所以
，故选A.
√
（2）（多选题）[2024·永州一中高一月考] 设, 是复数，则下列
说法中正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
√
√
[解析] 对于A，例如,，满足 ，但
由于虚数不能比较大小，所以选项A错误；
对于B，若，则 和互为共轭复数，所以 ，所以选项
B正确；
对于C，只有复数0的模才等于0，所以，即 ，所以
选项C正确；
对于D，由于，不妨设, ，此时
,，显然，所以选项D错误.故选 .
（3）已知复数（为虚数单位），则 在复平面内对
应的点位于第____象限.
四
[解析] ， 在复平面内对
应的点位于第四象限.
变式（1） [2023·全国乙卷]设，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,所以 ,故
选B.
√
（2）若,为虚数单位，则 ___.
1
[解析] 由题意知， ,则
．
（3）已知复数，（其中为虚数单位），若
为实数，则实数的值为_____；若，则实数 的值为____.
[解析] ， ，
，
若 为实数，则，解得.
由 ，得，解得 .
题型三 复数的几何意义及其应用
［类型总述］（1）复数的表示（点和向量）;（2）复数的模;（3）
复数加、减法的几何意义.
例3（1）［2023· 新课标Ⅱ卷］ 在复平面内， 对应的
点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 因为 ,所以
在复平面内对应的点为 ，位于第一象限，故选A.
√
（2）四边形是复平面内的平行四边形，，， 三点对应的
复数分别是,,,则点 对应的复数为( )
A. B. C. D.
[解析] 在复平面内，，B，C三点对应的复数分别是, ,
,，，.
设， ，，四边形是
平行四边形， 解得 点D对应的复数为
，故选A.
√
变式（1） 若复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标是 ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标是 ，
所以，则 .
故选A.
√
（2）在复平面内，为坐标原点，复数，
对应的点分别为，，则 的大小为____.
[解析] ,, ，
，， ，
，， .
例4（1） 设复数,满足, ,则
_____.
[解析] 方法一：设 ,则
,
故
即
又 , , .
方法二：在复平面内，设,对应的向量分别为, ，则
,且
,
,得，即 .
（2）[2024·台州十校高一期中] 若为虚数单位，复数 满足
，则 的最大值为_____.
[解析] 复数满足 ，即
，即复数对应的点
到点的距离满足 ，即点
的集合是以为圆心，以1和 为半
径的两个圆所夹的圆环，如图中阴影部分所示.
设，表示复数对应的点到点 的距离，数形结合
可知的最大值为 .
变式（1） 若，则 ( )
A.1 B. C.2 D.4
[解析] 因为，所以， ，所以
.故选A.
√
（2）设复数满足，其中为虚数单位，则 的最
大值为( )
A.1 B.2 C. D.
[解析] 设，则表示 在复平面
内对应的点到点和点 的距离之和为2，
点的集合是线段
表示点到点 的距离， .故选A.
√
题型四 复数的三角形式
［类型总述］（1）复数三角形式的乘除运算法则;（2）复数三角形
式的乘除运算的几何意义.
例5（1） 若复数 ,复数
，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析]
，故选A.
（2）在复平面内，设对应的向量为（ 为坐标原
点），将绕点按顺时针方向旋转 ，并将其模变为原来的 ，
求所得向量对应的复数 （用代数形式表示）.
解： ，
则根据题设条件得
.
变式（1） 复数 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[解析] 由已知得，
复数在复平面内对应的点的坐标为 ，该点
位于第三象限.故选C.
√
（2）计算： ；
解： .
.
.
