3.5 对数函数 习题课学案（含答案）

3.5
对数函数
习题课学案
课时目标　1.巩固对数的概念及对数的运算.2.提高对对数函数及其性质的综合应用能力．
1．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是________．
2．已知03．函数y＝＋的定义域是________．
4．给定函数①y＝，②y＝(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．(填序号)
5．设函数f(x)＝loga|x|，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是________________．
6．若log32＝a，则log38－2log36＝________.
一、填空题
1．下列不等号连接正确的是________．(填序号)
①log0.52.7>log0.52.8；
②log34>log65；
③log34>log56；
④logπe>logeπ.
2．若log37·log29·log49m＝log4，则m＝________.
3．设函数f(x)＝若f(3)＝2，f(－2)＝0，则b＝________.
4．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调增区间为_____________________________．
5．若函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是________．
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(x)<0的解集为________．
7．已知loga(ab)＝，则logab＝________.
8．若log236＝a，log210＝b，则log215＝________.
9．设函数f(x)＝若f(a)＝，则f(a＋6)＝________.
二、解答题
10．已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|log4(x＋a)<1}，若A∩B＝ ，求实数a的取值范围．
11．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg
2≈0.301
0)
能力提升
12．设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，求不等式loga(x－1)>0的解集．
13．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，其中a>1.
(1)比较[f(0)＋f(1)]与f()的大小；
(2)探索[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f(－1)对任意x1>0，x2>0恒成立．
1．比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：
(1)利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；
(2)利用对数函数图象的相互位置关系比较大小．
2．指数函数与对数函数的区别与联系
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是两类不同的函数．二者的自变量不同．前者以指数为自变量，而后者以真数为自变量；但是，二者也有一定的联系，y＝ax(a>0，且a≠1)和y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域．二者的图象关于直线y＝x对称．
习题课答案
双基演练
1．p解析　01，p<0，故p2．1解析　∵0由logamn>1.
3．(1,2)
解析　由题意得：解得：14．②③
解析　①y＝在(0,1)上为单调递增函数，
∴①不符合题意，②，③符合，
④y＝2x＋1在(0,1)上也是单调递增函数．
5．f(a＋1)>f(2)
解析　当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上递增，
又∵a＋1>2，∴f(a＋1)>f(2)；
当0又∵a＋1<2，∴f(a＋1)>f(2)．
综上可知，f(a＋1)>f(2)．
6．a－2
解析　log38－2log36＝log323－2(1＋log32)
＝3a－2－2a＝a－2.
作业设计
1．①②③
解析　对①，根据y＝log0.5x为单调减函数易知正确．
对②，由log34>log33＝1＝log55>log65可知正确．
对③，由log34＝1＋log3>1＋log3>1＋log5＝log56可知正确．
对④，由π>e>1可知，logeπ>1>logπe错误．
2.
解析　左边＝··＝，
右边＝＝－，
∴lg
m＝lg
＝lg，
∴m＝.
3．0
解析　∵f(3)＝2，∴loga(3＋1)＝2，
解得a＝2，又f(－2)＝0，∴4－4＋b＝0，b＝0.
4．(－∞，－)
解析　令y＝2x2＋x，其图象的对称轴x＝－<0，
所以(0，)为y的增区间，所以00，所以0f(x)的定义域为2x2＋x>0的解集，即x>0或x<－，
由x＝－>－得，(－∞，－)为y＝2x2＋x的递减区间，
又由05．(－1,0)∪(1，＋∞)
解析　①若a>0，则f(a)＝log2a，f(－a)＝a，
∴log2a>a＝log2，
∴a>，∴a>1.
②若a<0，则f(a)＝(－a)，
f(－a)＝log2(－a)，
∴(－a)>log2(－a)＝(－)，
∴－a<－，
∴－1由①②可知，－11.
6．(，1)∪(2，＋∞)
解析　∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，
在(0，＋∞)上f(x)<0 f(x)同理可求f(x)在(－∞，0)上是增函数，且f(－)＝0，得x>2.
综上所述，x∈(，1)∪(2，＋∞)．
7．2p－1
解析　∵logaba＝p，logabb＝logab＝1－p，
∴logab＝logaba－logabb
＝p－(1－p)＝2p－1.
8.a＋b－2
解析　因为log236＝a，log210＝b，
所以2＋2log23＝a,1＋log25＝b.
即log23＝(a－2)，log25＝b－1，
所以log215＝log23＋log25＝(a－2)＋b－1＝a＋b－2.
9．－3
解析　(1)当a≤4时，2a－4＝，
解得a＝1，此时f(a＋6)＝f(7)＝－3；
(2)当a>4时，－log2(a＋1)＝，无解．
10．解　由log4(x＋a)<1，得0解得－a即B＝{x|－a∵A∩B＝ ，∴解得1≤a≤2，
即实数a的取值范围是[1,2]．
11．解　设至少抽n次才符合条件，则
a·(1－60%)n<0.1%·a(设原来容器中的空气体积为a)．
即0.4n<0.001，两边取常用对数，得
n·lg
0.40.001，
所以n>.
所以n>≈7.5.
故至少需要抽8次，才能使容器内的空气少于原来的0.1%.
12．解　设u(x)＝x2－2x＋3，则u(x)在定义域内有最小值．
由于f(x)在定义域内有最小值，所以a>1.
所以loga(x－1)>0 x－1>1 x>2，
所以不等式loga(x－1)>0的解集为{x|x>2}．
13．解　(1)∵[f(0)＋f(1)]＝(loga1＋loga2)＝loga，
又∵f()＝loga，且>，由a>1知
函数y＝logax为增函数，所以loga即[f(0)＋f(1)](2)由(1)知，当x1＝1，x2＝2时，不等式成立．
接下来探索不等号左右两边的关系：
[f(x1－1)＋f(x2－1)]＝loga，
f(－1)＝loga，
因为x1>0，x2>0，
所以－＝≥0，
即≥.又a>1，
所以loga≥loga，
即[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f(－1)．
综上可知，不等式对任意x1>0，x2>0恒成立．